9. Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Natural

Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Natural

Definición

Una potencia es una expresión matemática que indica la multiplicación de un número (llamado base) por sí mismo tantas veces como lo indica otro número (llamado exponente). En esta lección, la base será una fracción y el exponente un número natural (entero y positivo).

📐 Fórmula General

La potencia de una fracción \( \frac{a}{b} \) elevada a un exponente natural \( n \) se calcula elevando tanto el numerador como el denominador a ese exponente:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

⚠️ ¡Importante! El denominador de la fracción, 'b', nunca puede ser cero, ya que la división por cero no está definida en matemáticas.

Ejemplo de Cálculo

Para calcular \( \left(\frac{2}{3}\right)^4 \), multiplicamos la fracción por sí misma 4 veces:

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{16}{81} \]

Propiedades Fundamentales

💡 Propiedad 1: El Signo de la Potencia

El signo del resultado depende de dos factores: el signo de la base y si el exponente es par o impar.

Si la base es positiva (\( \frac{a}{b} > 0 \)), el resultado siempre será positivo.
Si la base es negativa (\( \frac{a}{b} < 0 \)):
- Con exponente par, el resultado es positivo.
- Con exponente impar, el resultado es negativo.

🤓 Demostración Detallada:

El signo del resultado depende de los signos del numerador y denominador finales (\(a^n\) y \(b^n\)).

Si la base \( \frac{a}{b} \) es positiva, \(a\) y \(b\) tienen el mismo signo. Al elevarlos a cualquier exponente \(n\), \(a^n\) y \(b^n\) conservarán el mismo signo entre ellos, por lo que el resultado \( \frac{a^n}{b^n} \) siempre será positivo.
Si la base \( \frac{a}{b} \) es negativa, \(a\) y \(b\) tienen signos opuestos.
- Si el exponente \(n\) es par, tanto \(a^n\) como \(b^n\) se volverán positivos (ej: \((-2)^2=4\) y \((+3)^2=9\)). Al dividir dos positivos, el resultado es positivo.
- Si el exponente \(n\) es impar, \(a^n\) y \(b^n\) mantendrán sus signos opuestos (ej: \((-2)^3=-8\) y \((+3)^3=27\)). Al dividir dos números de signo opuesto, el resultado es negativo.

Ejemplos: Signo de la Potencia según el Exponente

Base positiva: El resultado siempre es positivo.

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} > 0 \]

Base negativa, exponente PAR: El resultado se vuelve positivo.

\[ \underbrace{\left(-\frac{2}{3}\right)^{\color{blue}2}}_{\color{blue}{\text{exponente par } \Rightarrow > 0}} = \color{blue}{+}\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} > 0 \]

Base negativa, exponente IMPAR: El resultado se mantiene negativo.

\[ \underbrace{\left(-\frac{3}{4}\right)^{\color{red}3}}_{\color{red}{\text{exponente impar } \Rightarrow < 0}} = \color{red}{-}\left(\frac{3}{4}\right)^3 = -\frac{3^3}{4^3} = -\frac{27}{64} < 0 \]

1. Ejercicios de Signo de la Potencia

Determina el signo y aplica la propiedad de la potencia de una fracción. No es necesario calcular el valor final si los números son muy grandes.

\( \left( \frac{3}{5} \right)^3 \)
\( \left( \frac{1}{4} \right)^6 \)
\( \left( \frac{2}{7} \right)^9 \)
\( \left( -\frac{2}{3} \right)^4 \)
\( \left( -\frac{5}{6} \right)^2 \)
\( \left( -\frac{1}{2} \right)^5 \)
\( \left( -\frac{3}{4} \right)^7 \)
\( \left( \frac{x}{y} \right)^{2} \) (con \(x,y \neq 0\))
\( \left( \frac{-2a}{3} \right)^{4} \) (con \(a \neq 0\))
\( \left( \frac{5m}{-n} \right)^{3} \) (con \(m,n \neq 0\))

📐 Propiedad 2: Producto de Potencias de Igual Base

Para multiplicar potencias que tienen la misma base, se conserva la base y se suman los exponentes.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \]

🤓 Demostración:

La demostración es bastante directa. Se basa en aplicar las propiedades ya conocidas de las potencias con números enteros para extender la propiedad de la multiplicación de potencias de igual base, \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\), al conjunto de los números racionales.

Para ello, aplicamos la regla por separado, tanto en el numerador como en el denominador de la fracción.

\[ \underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n}_{\text{Expresión inicial}} = \underbrace{\frac{a^m}{b^m} \cdot \frac{a^n}{b^n}}_{\text{Definición de Potencia}} = \underbrace{\frac{a^m \cdot a^n}{b^m \cdot b^n}}_{\text{Multiplicar Fracciones}} = \underbrace{\frac{a^{m+n}}{b^{m+n}}}_{\text{Aplicar Propiedad de Enteros}} = \underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)^{m+n}}_{\text{Resultado Final}} \]

Ejemplo: Producto con Base Negativa (Exponente Final Impar)

Resolver: \( \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 \)

Paso 1: Se conserva la base y se suman los exponentes.

\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^{2+3} = \left(-\frac{1}{2}\right)^5 \]

Paso 2: Como la base es negativa y el exponente final (5) es impar, el resultado es negativo.

\[ -\left(\frac{1}{2}\right)^5 = -\frac{1^5}{2^5} = -\frac{1}{32} \]

2. Ejercicios de Producto de Potencias

Resuelve aplicando la propiedad de multiplicación de potencias de igual base. No es necesario calcular el valor final si los números son muy grandes.

\( \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 \)
\( \left( \frac{3}{4} \right)^4 \cdot \left( \frac{3}{4} \right) \)
\( \left( \frac{2}{5} \right)^1 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^3 \)
\( \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \)
\( \left(-\frac{2}{5}\right)^3 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)^2 \)
\( \left(-\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^1 \)
\( \left(-\frac{3}{2}\right)^1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^4\)
\( \left(\frac{a}{b}\right)^2 \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^3 \) (con \(a, b \neq 0\))
\( \left(\frac{2x}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2x}{3}\right)^2 \) (con \(x \neq 0\))
\( \left(\frac{-m}{2n}\right)^3 \cdot \left(\frac{-m}{2n}\right)^1 \) (con \(m,n \neq 0\))

📐 Propiedad 3: Cociente de Potencias de Igual Base

Para dividir potencias que tienen la misma base, se conserva la base y se restan los exponentes.

\[ \frac{\left(\frac{a}{b}\right)^m}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} \]

🤓 Demostración (Cociente):

Igual que en la demostración anterior, para probar esta propiedad nos basaremos en su análoga para números enteros: \(x^m \div x^n = x^{m-n}\).

El procedimiento combina la regla de división de fracciones (que es invertir el divisor y multiplicar) con la propiedad de potencias que ya conocemos.

\[ \underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^n}_{\text{Inicio}} = \underbrace{\frac{a^m}{b^m} \div \frac{a^n}{b^n}}_{\text{Definición}} = \underbrace{\frac{a^m}{b^m} \cdot \frac{b^n}{a^n}}_{\text{Invertir y Multiplicar}} = \underbrace{\frac{a^{m-n}}{b^{m-n}}}_{\text{Aplicar Propiedad}} = \underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)^{m-n}}_{\text{Final}} \]

Ejemplo: Cociente con Base Negativa (Exponente Final Par)

Resolver: \( \frac{\left(-\frac{3}{4}\right)^5}{\left(-\frac{3}{4}\right)^3} \)

Paso 1: Se conserva la base y se restan los exponentes.

\[ \left(-\frac{3}{4}\right)^{5-3} = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 \]

Paso 2: Como la base es negativa y el exponente final (2) es par, el resultado es positivo.

\[ +\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} \]

3. Ejercicios de Cociente de Potencias

Resuelve aplicando la propiedad de división de potencias de igual base. Simplifica las expresiones y calcula el resultado.

\( \left( \frac{4}{5} \right)^5 \div \left( \frac{4}{5} \right)^3 \)
\( \left( \frac{2}{3} \right)^6 \div \left( \frac{2}{3} \right)^2 \)
\( \left( \frac{1}{2} \right)^4 \div \left( \frac{1}{2} \right)^4 \)
\( \left( -\frac{3}{5} \right)^3 \div \left( -\frac{3}{5} \right)^1 \)
\( \left( -\frac{2}{7} \right)^5 \div \left( -\frac{2}{7} \right)^4 \)
\( \left( -\frac{1}{4} \right)^4 \div \left( -\frac{1}{4} \right)^2 \)
\( \left( -\frac{5}{3} \right)^6 \div \left( -\frac{5}{3} \right)^3 \)
\( \left( \frac{x}{y} \right)^7 \div \left( \frac{x}{y} \right)^4 \) (con \(x,y \neq 0\))
\( \left( \frac{3a}{2} \right)^5 \div \left( \frac{3a}{2} \right)^3 \) (con \(a \neq 0\))
\( \left( \frac{-2m}{n} \right)^8 \div \left( \frac{-2m}{n} \right)^4 \) (con \(m,n \neq 0\))

📐 Propiedad 4: Potencia de una Potencia

Para elevar una potencia a otra potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

\[ \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m \cdot n} \]

🤓 Demostración (Potencia de una Potencia):

Siguiendo la misma lógica, esta demostración extiende la propiedad \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\), que conocemos de los enteros, al mundo de las fracciones.

El método consiste en aplicar esta regla al numerador y al denominador, los cuales ya se encontraban elevados a la potencia 'm'.

\[ \underbrace{\left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n}_{\text{Inicial}} = \underbrace{\left(\frac{a^m}{b^m}\right)^n}_{\text{Potencia Interior}} = \underbrace{\frac{(a^m)^n}{(b^m)^n}}_{\text{Distribuir}} = \underbrace{\frac{a^{m \cdot n}}{b^{m \cdot n}}}_{\text{Aplicar Propiedad}} = \underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)^{m \cdot n}}_{\text{Final}} \]

Ejemplo: Potencia de Potencia (Exponente Final Impar)

Resolver: \( \left( \left(-\frac{2}{5}\right)^3 \right)^3 \)

Paso 1: Se conserva la base y se multiplican los exponentes.

\[ \left(-\frac{2}{5}\right)^{3 \cdot 3} = \left(-\frac{2}{5}\right)^9 \]

Paso 2: La base es negativa y el exponente final (9) es impar, por lo que el resultado es negativo. Dejamos el resultado expresado.

\[ -\left(\frac{2}{5}\right)^9 = -\frac{2^9}{5^9} \]

4. Ejercicios de Potencia de una Potencia

Aplica la propiedad de la potencia de una potencia para simplificar las siguientes expresiones. No es necesario calcular el valor final si los números son muy grandes.

\( \left( \left( \frac{2}{3} \right)^2 \right)^3 \)
\( \left( \left( \frac{1}{5} \right)^4 \right)^2 \)
\( \left( \left( \frac{4}{3} \right)^3 \right)^3 \)
\( \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^3 \right)^2 \)
\( \left( \left( -\frac{3}{5} \right)^5 \right)^1 \)
\( \left( \left( -\frac{2}{3} \right)^3 \right)^3 \)
\( \left( \left( -\frac{1}{4} \right)^1 \right)^3 \)
\( \left( \left( \frac{x}{2} \right)^2 \right)^3 \) (con \(x \neq 0\))
\( \left( \left( \frac{-3}{a} \right)^3 \right)^3 \) (con \(a \neq 0\))
\( \left( \left( \frac{m}{-2n} \right)^5 \right)^2 \) (con \(m,n \neq 0\))

📐 Propiedad 5: Exponente Cero

Cualquier fracción (no nula) elevada al exponente cero es siempre igual a 1.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{0} = 1 \]

⚠️ Condiciones Importantes

Esta regla requiere que la base (\(\frac{a}{b}\)) no sea cero. Esto implica dos condiciones separadas y fundamentales:

El denominador 'b' nunca puede ser cero. Esto es una regla fundamental de las fracciones, ya que la división por cero es indefinida.
El numerador 'a' tampoco puede ser cero (para esta propiedad). Esto es para evitar la forma \(0^0\), que es una 'indeterminación' en matemáticas y no tiene un valor universalmente aceptado (no es 1).

🤓 Justificación: La regla del exponente cero se puede deducir de la propiedad del cociente de potencias. Si dividimos un número por sí mismo, el resultado es 1. Usando potencias, esto sería: \( \frac{x^n}{x^n} = x^{n-n} = x^0 \). Por lo tanto, se define que \(x^0 = 1\) (para \(x \neq 0\)).

Ejemplo: Exponente Cero con Base Negativa

Resolver: \( \left(-\frac{4}{7}\right)^0 \)

Toda fracción no nula elevada al exponente cero es igual a 1, sin importar si la base es positiva o negativa.

\[ \left(-\frac{4}{7}\right)^0 = 1 \]

5. Ejercicios de Exponente Cero y Combinados

Resuelve las siguientes potencias. En los últimos dos ejercicios, deberás simplificar primero usando otras propiedades que ya conoces.

\( \left(-\frac{2}{3}\right)^0 \)
\( \left(\frac{10}{11}\right)^0 \)
\( \left(\frac{4x}{y}\right)^0 \) (con \(x, y \neq 0\))
\( \left( \frac{4}{5} \right)^3 \div \left( \frac{4}{5} \right)^3 \)
\( \frac{\left(-\frac{2}{7}\right)^5}{\left(-\frac{2}{7}\right)^5} \)

📐 Propiedad 6: Exponente Uno

Cualquier fracción elevada al exponente uno es igual a la misma fracción. Es el elemento de identidad de la potenciación.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^1 = \frac{a}{b} \]

🤓 Justificación: Por definición, el exponente indica cuántas veces la base se multiplica por sí misma. Un exponente de 1 significa que la base aparece una sola vez, sin multiplicaciones adicionales, por lo que el resultado es la propia base.

Ejemplo: Exponente Uno con Base Negativa

Resolver: \( \left(-\frac{8}{3}\right)^1 \)

Al elevar cualquier fracción a la potencia 1, el resultado no cambia y conserva su signo.

\[ \left(-\frac{8}{3}\right)^1 = -\frac{8}{3} \]

6. Ejercicios de Exponente Uno y Combinados

Resuelve las siguientes potencias. En los últimos ejercicios, deberás simplificar primero usando otras propiedades.

\( \left(\frac{5}{9}\right)^1 \)
\( \left(-\frac{x}{y}\right)^1 \) (con \(x, y \neq 0\))
\( \left( \frac{2}{3} \right)^5 \div \left( \frac{2}{3} \right)^4 \)
\( \frac{\left(-\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)^3}{\left(-\frac{4}{5}\right)^4} \)

Síntesis: Combinando Todas las Propiedades

¡Excelente trabajo hasta ahora! Ya has dominado cada una de las propiedades de las potencias por separado. Sin embargo, en la práctica, los problemas matemáticos a menudo requieren que utilicemos varias de estas reglas en un solo ejercicio para llegar a la solución.

En esta sección final, pondremos a prueba tu comprensión integral del tema. Primero, te mostraremos un par de ejemplos resueltos paso a paso donde se combinan las propiedades, y luego te enfrentarás a una serie de ejercicios de síntesis que mezclan todo lo que hemos aprendido. ¡Vamos a ello!

📐 Tabla Resumen de Propiedades

Propiedad	Fórmula
Producto de Potencias	\( \left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \)
Cociente de Potencias	\( \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} \)
Potencia de una Potencia	\( \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m \cdot n} \)
Exponente Cero	\( \left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1 \) (para \(a, b \neq 0\))
Exponente Uno	\( \left(\frac{a}{b}\right)^1 = \frac{a}{b} \)

Ejemplo de Síntesis A: Combinando Producto y Cociente

Resolver: \( \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^2}{\left(-\frac{2}{3}\right)^6} \)

Paso 1: Resolvemos el numerador aplicando la propiedad del producto (sumar exponentes).

\[ \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^{5+2}}{\left(-\frac{2}{3}\right)^6} = \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^7}{\left(-\frac{2}{3}\right)^6} \]

Paso 2: Resolvemos la división aplicando la propiedad del cociente (restar exponentes).

\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{7-6} = \left(-\frac{2}{3}\right)^1 \]

Paso 3: El resultado final es:

\[ -\frac{2}{3} \]

Ejemplo de Síntesis B: Combinando Múltiples Propiedades

Resolver: \( \left( \frac{(x^4)^2 \cdot y^5}{x^5 \cdot y^2} \right)^3 \)

Paso 1: Resolvemos la "potencia de una potencia" que está en el numerador.

\[ \left( \frac{x^{4 \cdot 2} \cdot y^5}{x^5 \cdot y^2} \right)^3 = \left( \frac{x^8 \cdot y^5}{x^5 \cdot y^2} \right)^3 \]

Paso 2: Simplificamos la fracción interna, aplicando la propiedad del cociente a cada base por separado.

\[ \left( x^{8-5} \cdot y^{5-2} \right)^3 = \left( x^3 y^3 \right)^3 \]

Paso 3: Aplicamos la propiedad de la potencia de una potencia al resultado para obtener la respuesta final.

\[ (x^3)^3 \cdot (y^3)^3 = x^{3 \cdot 3} y^{3 \cdot 3} = x^9 y^9 \]

Ejercicios de Síntesis: ¡Aplica todo lo que aprendiste!

Resuelve las siguientes expresiones combinando todas las propiedades de las potencias. Simplifica al máximo. No es necesario calcular el valor numérico final si es muy complejo.

\( \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 \div \left( \frac{1}{2} \right)^4 \)
\( \left( \left( -\frac{2}{3} \right)^2 \right)^3 \)
\( \frac{\left( \frac{a}{b} \right)^5}{\left( \frac{a}{b} \right)^2 \cdot \left( \frac{a}{b} \right)^3} \)
\( \left( \frac{x^4}{y^2} \right)^2 \)
\( \left( -\frac{3}{5} \right)^7 \div \left( -\frac{3}{5} \right)^5 \)
\( \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)}{\left( \frac{2}{3} \right)^4} \)
\( \left( \left( \frac{1}{4} \right)^3 \div \left( \frac{1}{4} \right)^2 \right)^5 \)
\( \left( \frac{-m}{n} \right)^3 \cdot \left( \frac{-m}{n} \right)^4 \div \left( \frac{-m}{n} \right)^7 \)
\( \frac{a^3 \cdot b^5}{a^2 \cdot b^2} \)
\( \left( \frac{2x^3}{y} \right)^2 \cdot \left( \frac{y^2}{x^2} \right)^2 \)
\( \frac{\left( \left(-\frac{1}{2}\right)^5 \div \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \right)^3}{\left(-\frac{1}{2}\right)^8} \)
\( \frac{\left( (-2)^3 \right)^2}{(-2)^5} \)
\( \left( \frac{a^2 b^3}{c^4} \right)^2 \cdot \frac{c^9}{a^4 b^5} \)
\( \left( \frac{3^4 \cdot 2^5}{3^2 \cdot 2^3} \right)^2 \)
\( \left( \frac{x^2 \cdot y^3}{x \cdot y^2} \right)^0 \cdot x^2 y \)

Media 1

Capitulo 1.1 N° Racional, escribiendo en fracciones

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