Capitulo 1.1 N° Racional, escribiendo en fracciones
10. Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Entero (Negativos y Propiedades Distributivas)
Exponente Negativo
Un exponente negativo es una de las ideas que más confusiones causa, pero en realidad su concepto es muy simple: se relaciona directamente con la idea del "inverso multiplicativo".
En simple, el inverso multiplicativo (o recíproco) de un número es aquel que, al multiplicarlo por el número original, da como resultado 1 (el elemento neutro de la multiplicación).
Por ejemplo, para la fracción \( \frac{2}{3} \), su inverso multiplicativo es \( \frac{3}{2} \), porque al multiplicarlos, el resultado es 1:
\[ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{6} = 1 \]
En general, el inverso multiplicativo de \( \frac{a}{b} \) es siempre \( \frac{b}{a} \).
Elevar una fracción a -1 equivale a encontrar su inverso multiplicativo o recíproco. En la práctica, esto significa simplemente intercambiar (invertir) el numerador y el denominador.
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \]
(Válido para \(a \neq 0\) y \(b \neq 0\))
Ahora que entendemos el concepto, podemos ver su relación con las potencias. En el lenguaje de los exponentes, la instrucción para calcular el inverso multiplicativo de una base es elevarla al exponente -1.
Ejemplo: Exponente -1 (Inverso Multiplicativo)
Resolver: \( \left(-\frac{2}{3}\right)^{-1} \)
El exponente -1 nos pide el inverso multiplicativo (recíproco) de la base. Simplemente invertimos la fracción, manteniendo su signo.
\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{-1} = -\frac{3}{2} \]
Recuerda que cualquier número entero 'c' se puede escribir como la fracción \( \frac{c}{1} \). Al aplicar la regla del exponente -1, obtenemos su inverso:
\[ c^{-1} = \left(\frac{c}{1}\right)^{-1} = \frac{1}{c} \]
Ejemplo: \( 5^{-1} = \frac{1}{5} \)
Ejercicios de Exponente -1 (Inverso Multiplicativo)
Escribe el inverso multiplicativo (recíproco) de las siguientes expresiones.
- \( \left( 4 \right)^{-1} \)
- \( \left( -6 \right)^{-1} \)
- \( \left( -10 \right)^{-1} \)
- \( \left( \frac{1}{5} \right)^{-1} \)
- \( \left(- \frac{1}{3} \right)^{-1} \)
- \( \left( \frac{-1}{7} \right)^{-1} \)
- \( \left( \frac{5}{7} \right)^{-1} \)
- \( \left( -\frac{2}{3} \right)^{-1} \)
- \( \left( \frac{9}{4} \right)^{-1} \)
- \( \left( \frac{x}{y} \right)^{-1} \) (con \(x,y \neq 0\))
- \( \left( \frac{-2a}{5b} \right)^{-1} \) (con \(a,b \neq 0\))
- \( \frac{1}{4} \)
- \( -\frac{1}{6} \)
- \( -\frac{1}{10} \)
- \( 5 \)
- \( -3 \)
- \( -7 \)
- \( \frac{7}{5} \)
- \( -\frac{3}{2} \)
- \( \frac{4}{9} \)
- \( \frac{y}{x} \)
- \( -\frac{5b}{2a} \)
Generalización para Cualquier Exponente Negativo
Para resolver una potencia con cualquier exponente negativo (-n), se debe invertir la base y luego elevar el resultado al mismo exponente, pero en positivo .
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \]
Podemos demostrar esta propiedad usando dos reglas que ya conocemos: la "Potencia de una Potencia" y la del "Exponente -1".
La clave está en reescribir el exponente \(-n\) como \( (-1) \cdot n \).
\[ \underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}}_{\text{Expresión inicial}} = \underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)^{(-1) \cdot n}}_{\text{Reescribimos el exponente}} = \underbrace{\left(\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}\right)^n}_{\text{Aplicamos Potencia de Potencia}} = \underbrace{\left(\frac{b}{a}\right)^n}_{\text{Resolvemos el exponente -1}} \]
Como vemos, elevar a "-n" es simplemente la combinación de dos pasos: invertir la base (por el -1) y luego elevar a la potencia n.
Para que esta propiedad sea válida, tanto 'a' como 'b' deben ser distintos de cero. 'b' no puede ser cero por ser denominador, y 'a' tampoco porque al invertir la fracción, se convertirá en el nuevo denominador.
Ejemplo: Exponente Negativo General
Resolver: \( \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} \)
Paso 1: Invertimos la base para cambiar el signo del exponente de negativo a positivo.
\[ \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{3}\right)^{2} \]
Paso 2: Resolvemos la potencia como de costumbre.
\[ \left(\frac{5}{3}\right)^{2} = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9} \]
Ejercicios de Exponentes Negativos Generales
Aplica la propiedad del exponente negativo para invertir la base y luego resuelve la potencia resultante.
- \( \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \)
- \( \left( \frac{1}{4} \right)^{-2} \)
- \( \left( \frac{5}{2} \right)^{-4} \)
- \( \left( -\frac{3}{4} \right)^{-3} \)
- \( \left( -\frac{2}{5} \right)^{-2} \)
- \( \left( -\frac{1}{3} \right)^{-5} \)
- \( \left( -\frac{4}{3} \right)^{-4} \)
- \( \left( \frac{x}{y} \right)^{-2} \) (con \(x,y \neq 0\))
- \( \left( \frac{-2a}{3} \right)^{-3} \) (con \(a \neq 0\))
- \( \left( \frac{m}{-n} \right)^{-4} \) (con \(m,n \neq 0\))
- \( \left( \frac{3}{2} \right)^{3} = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8} \)
- \( \left( \frac{4}{1} \right)^{2} = 4^2 = 16 \)
- \( \left( \frac{2}{5} \right)^{4} = \frac{2^4}{5^4} = \frac{16}{625} \)
- \( \left( -\frac{4}{3} \right)^{3} = -\left( \frac{4}{3} \right)^3 = -\frac{4^3}{3^3} = -\frac{64}{27} \)
- \( \left( -\frac{5}{2} \right)^{2} = +\left( \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{5^2}{2^2} = \frac{25}{4} \)
- \( \left( -\frac{3}{1} \right)^{5} = (-3)^5 = -243 \)
- \( \left( -\frac{3}{4} \right)^{4} = +\left( \frac{3}{4} \right)^4 = \frac{3^4}{4^4} = \frac{81}{256} \)
- \( \left( \frac{y}{x} \right)^{2} = \frac{y^2}{x^2} \)
- \( \left( \frac{3}{-2a} \right)^{3} = -\left( \frac{3}{2a} \right)^3 = -\frac{3^3}{(2a)^3} = -\frac{27}{8a^3} \)
- \( \left( \frac{-n}{m} \right)^{4} = +\left( \frac{n}{m} \right)^4 = \frac{n^4}{m^4} \)
Propiedades Distributivas de la Potenciación
La potenciación también se puede "distribuir" cuando la base es una multiplicación o una división. Esto nos permite separar operaciones complejas en partes más sencillas.
Propiedad 7: Potencia de un Producto
La potencia de una multiplicación de fracciones es igual a la multiplicación de cada fracción elevada a esa potencia.
\[ \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n \]
Esta propiedad se extiende de la regla para enteros \((x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n\). La aplicamos a los numeradores y denominadores.
\[ \left(\frac{a \cdot c}{b \cdot d}\right)^n = \frac{(a \cdot c)^n}{(b \cdot d)^n} = \frac{a^n \cdot c^n}{b^n \cdot d^n} = \frac{a^n}{b^n} \cdot \frac{c^n}{d^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n \]
Ejemplo: Producto con Factor Negativo
Resolver: \( \left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\right)^3 \)
Opción 1 (Distribuir primero): Distribuimos el exponente a cada factor. Como el primer factor es negativo y el exponente (3) es impar, su resultado es negativo.
\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^3 = \left(-\frac{1^3}{2^3}\right) \cdot \left(\frac{4^3}{3^3}\right) = \left(-\frac{1}{8}\right) \cdot \left(\frac{64}{27}\right) = -\frac{64}{216} = -\frac{8}{27} \]
Opción 2 (Resolver primero el paréntesis): Esta suele ser la vía más rápida.
\[ \left(-\frac{4}{6}\right)^3 = \left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{2^3}{3^3} = -\frac{8}{27} \]
Ejercicios de Potencia de un Producto
Aplica la propiedad distributiva de la potencia sobre el producto. Simplifica la base primero si es conveniente.
- \( \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \right)^2 \)
- \( \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} \right)^3 \)
- \( \left( \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} \right)^4 \)
- \( \left( -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \right)^2 \)
- \( \left( -\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \right)^3 \)
- \( \left( -\frac{2}{7} \cdot \frac{-1}{2} \right)^2 \)
- \( \left( \frac{-4}{3} \cdot \frac{3}{-2} \right)^3 \)
- \( \left( \frac{a}{2} \cdot \frac{3}{b} \right)^2 \) (con \(b \neq 0\))
- \( \left( \frac{2x}{-3} \cdot \frac{1}{y} \right)^3 \) (con \(y \neq 0\))
- \( \left( \frac{m}{n} \cdot \frac{-p}{2} \right)^4 \) (con \(n \neq 0\))
- \( \left( \frac{3}{8} \right)^2 = \frac{9}{64} \)
- \( \left( \frac{2}{15} \right)^3 = \frac{2^3}{15^3} = \frac{8}{3375} \)
- \( \left( \frac{12}{6} \right)^4 = (2)^4 = 16 \)
- \( \left( -\frac{2}{12} \right)^2 = \left( -\frac{1}{6} \right)^2 = \frac{1}{36} \)
- \( \left( -\frac{3}{10} \right)^3 = -\frac{3^3}{10^3} = -\frac{27}{1000} \)
- \( \left( \frac{2}{14} \right)^2 = \left( \frac{1}{7} \right)^2 = \frac{1}{49} \)
- \( \left( \frac{-12}{-6} \right)^3 = (2)^3 = 8 \)
- \( \left( \frac{3a}{2b} \right)^2 = \frac{9a^2}{4b^2} \)
- \( \left( \frac{2x}{-3y} \right)^3 = -\left( \frac{2x}{3y} \right)^3 = -\frac{8x^3}{27y^3} \)
- \( \left( \frac{-mp}{2n} \right)^4 = +\left( \frac{mp}{2n} \right)^4 = \frac{m^4p^4}{16n^4} \)
Propiedad 8: Potencia de un Cociente
La potencia de una división de fracciones es igual a la división de cada fracción elevada a esa potencia.
\[ \left(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \div \left(\frac{c}{d}\right)^n \]
La demostración combina la regla de la división de fracciones (invertir y multiplicar) con la propiedad de la "Potencia de un Producto" que vimos anteriormente.
\[ \left(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\right)^n = \left(\frac{a \cdot d}{b \cdot c}\right)^n = \frac{(a \cdot d)^n}{(b \cdot c)^n} = \frac{a^n \cdot d^n}{b^n \cdot c^n} = \frac{a^n}{b^n} \div \frac{c^n}{d^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \div \left(\frac{c}{d}\right)^n \]
Ejemplo: Cociente con Factor Negativo y Exponente Impar
Resolver: \( \left(\frac{3}{4} \div -\frac{3}{2}\right)^3 \)
Opción 1 (Resolver primero el paréntesis): Generalmente es la vía más simple.
\[ \left(\frac{3}{4} \cdot -\frac{2}{3}\right)^3 = \left(-\frac{6}{12}\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 \]
Como la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo:
\[ -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8} \]
Opción 2 (Distribuir primero):
\[ \left(\frac{3}{4}\right)^3 \div \left(-\frac{3}{2}\right)^3 = \left(\frac{27}{64}\right) \div \left(-\frac{27}{8}\right) = \frac{27}{64} \cdot \left(-\frac{8}{27}\right) = -\frac{\cancel{27} \cdot 8}{64 \cdot \cancel{27}} = -\frac{8}{64} = -\frac{1}{8} \]
Ejercicios de Potencia de un Cociente
Aplica la propiedad distributiva de la potencia sobre el cociente. Se recomienda simplificar primero la división dentro del paréntesis.
- \( \left( \frac{2}{3} \div \frac{1}{2} \right)^3 \)
- \( \left( \frac{5}{4} \div \frac{3}{2} \right)^2 \)
- \( \left( \frac{1}{5} \div \frac{2}{5} \right)^4 \)
- \( \left( -\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} \right)^2 \)
- \( \left( \frac{-2}{5} \div \frac{3}{-2} \right)^3 \)
- \( \left( -\frac{4}{3} \div \frac{-2}{5} \right)^2 \)
- \( \left( \frac{1}{6} \div \frac{-5}{12} \right)^3 \)
- \( \left( \frac{x}{3} \div \frac{2}{y} \right)^2 \) (con \(y \neq 0\))
- \( \left( \frac{4a}{b} \div \frac{2c}{3} \right)^3 \) (con \(b,c \neq 0\))
- \( \left( \frac{-m}{2n} \div \frac{p}{-3q} \right)^2 \) (con \(n,p,q \neq 0\))
- \( \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} \right)^3 = \left( \frac{4}{3} \right)^3 = \frac{64}{27} \)
- \( \left( \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{3} \right)^2 = \left( \frac{10}{12} \right)^2 = \left( \frac{5}{6} \right)^2 = \frac{25}{36} \)
- \( \left( \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16} \)
- \( \left( -\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} \right)^2 = \left( -\frac{6}{4} \right)^2 = \left( -\frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} \)
- \( \left( \frac{-2}{5} \cdot \frac{-2}{3} \right)^3 = \left( \frac{4}{15} \right)^3 = \frac{4^3}{15^3} = \frac{64}{3375} \)
- \( \left( -\frac{4}{3} \cdot \frac{-5}{2} \right)^2 = \left( \frac{20}{6} \right)^2 = \left( \frac{10}{3} \right)^2 = \frac{100}{9} \)
- \( \left( \frac{1}{6} \cdot \frac{-12}{5} \right)^3 = \left( -\frac{12}{30} \right)^3 = \left( -\frac{2}{5} \right)^3 = -\frac{8}{125} \)
- \( \left( \frac{x}{3} \cdot \frac{y}{2} \right)^2 = \left( \frac{xy}{6} \right)^2 = \frac{x^2y^2}{36} \)
- \( \left( \frac{4a}{b} \cdot \frac{3}{2c} \right)^3 = \left( \frac{12a}{2bc} \right)^3 = \left( \frac{6a}{bc} \right)^3 = \frac{216a^3}{b^3c^3} \)
- \( \left( \frac{-m}{2n} \cdot \frac{-3q}{p} \right)^2 = \left( \frac{3mq}{2np} \right)^2 = \frac{9m^2q^2}{4n^2p^2} \)
Síntesis: Combinando Todas las Propiedades
Ahora que hemos añadido los exponentes negativos y las propiedades distributivas a nuestro repertorio, estamos listos para resolver problemas más complejos que combinan todo lo que hemos visto.
Ejemplo de Síntesis A (Bases Recíprocas)
Resolver: \( \left( \frac{3}{2} \right)^{2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^4 \)
Paso 1: Notamos que las bases son inversos multiplicativos. Reescribimos \( \frac{3}{2} \) como \( \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \) para tener la misma base.
\[ \left( \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \right)^{2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^4 \]
Paso 2: Aplicamos la regla de "potencia de una potencia" (multiplicar exponentes).
\[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^4 \]
Paso 3: Aplicamos la regla del producto (sumar exponentes).
\[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2+4} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]
Ejemplo de Síntesis B
Resolver: \( \left( \left( \frac{1}{5} \right)^{-1} \right)^2 \)
Opción 1: Resolvemos el paréntesis primero.
\[ \left( 5 \right)^2 = 25 \]
Opción 2: Aplicamos la regla de potencia de potencia (multiplicar exponentes).
\[ \left( \frac{1}{5} \right)^{-1 \cdot 2} = \left( \frac{1}{5} \right)^{-2} = \left( \frac{5}{1} \right)^2 = 25 \]
Ejemplo de Síntesis C (Agrupación por Exponente)
Resolver: \( \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3}{\left(\frac{2}{5}\right)^3} \)
Paso 1: Como todas las potencias tienen el mismo exponente (3), podemos agrupar las bases usando las propiedades distributivas en sentido inverso.
\[ \left( \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}}{\frac{2}{5}} \right)^3 = \left( \frac{\frac{4}{10}}{\frac{2}{5}} \right)^3 = \left( \frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}} \right)^3 \]
Paso 2: Simplificamos la fracción interna. Como el numerador y el denominador son iguales, la división es 1.
\[ \left( 1 \right)^3 = 1 \]
Ejemplo de Síntesis D (Agrupación por Bases)
Resolver: \( \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2}{\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2} \)
Paso 1: Agrupamos las potencias que tienen la misma base y aplicamos la propiedad del cociente (restar exponentes) a cada grupo.
\[ \left( \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^4}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} \right) \cdot \left( \frac{\left(\frac{1}{5}\right)^2}{\left(\frac{1}{5}\right)^2} \right) = \left(\frac{2}{3}\right)^{4-2} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{2-2} \]
Paso 2: Resolvemos cada potencia.
\[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^0 = \frac{4}{9} \cdot 1 = \frac{4}{9} \]
Ejercicios de Síntesis
Simplifica al máximo las siguientes expresiones. Los primeros 9 ejercicios se centran en las propiedades de esta lección; los últimos 6 combinan todo lo aprendido.
- \( \left(\frac{2}{5}\right)^{-2} \)
- \( \left(-\frac{1}{3}\right)^{-3} \)
- \( \left( \frac{1}{4} \cdot 2 \right)^{-2} \)
- \( \left( \frac{6}{5} \div \frac{3}{5} \right)^{3} \)
- \( \left( \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} \right)^{-2} \)
- \( \left( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} \right)^{-1} \)
- \( \left( \frac{2x}{y} \cdot \frac{y}{x} \right)^{-5} \)
- \( \left( \frac{-a}{b} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{b}{a} \right)^{-2} \)
- \( \left( \frac{x^2}{y} \right)^{-3} \)
- \( \left( \frac{4}{5} \right)^3 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{-2} \)
- \( \left( \left(-\frac{2}{3}\right)^{-2} \right)^{-1} \)
- \( \frac{a^5 \cdot a^{-2}}{a^3} \) (con \(a \neq 0\))
- \( \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2}{\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2} \)
- \( \left( \left(\frac{1}{2}\right)^3 \div \left(\frac{1}{2}\right)^5 \right)^{-1} \)
- \( \left( \left( \frac{x}{y} \right)^2 \cdot \left( \frac{y}{x} \right) \right)^{-3} \)
- \( \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} \)
- \( \left(-\frac{3}{1}\right)^3 = (-3)^3 = -27 \)
- \( \left(\frac{2}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4 \)
- \( \left(\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{3}\right)^3 = (2)^3 = 8 \)
- \( \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1}\right)^{-2} = \left(\frac{6}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \)
- \( \left(\frac{ad}{bc}\right)^{-1} = \frac{bc}{ad} \)
- \( (2)^{-5} = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} \)
- \( \left(\frac{-a}{b} \cdot \frac{b}{a}\right)^{-2} = (-1)^{-2} = 1^2 = 1 \)
- \( \left(\frac{y}{x^2}\right)^3 = \frac{y^3}{(x^2)^3} = \frac{y^3}{x^6} \)
- \( \left( \frac{4}{5} \right)^{3+(-2)} = \left( \frac{4}{5} \right)^1 = \frac{4}{5} \)
- \( \left(-\frac{2}{3}\right)^{(-2) \cdot (-1)} = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \)
- \( \frac{a^{5-2}}{a^3} = \frac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0 = 1 \)
- \( \left(\frac{2}{3}\right)^{-2 - (-3)} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{2-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^0 = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} \)
- \( \left( \left(\frac{1}{2}\right)^{3-5} \right)^{-1} = \left( \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \right)^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)
- \( \left( \frac{x^2}{y^2} \cdot \frac{y}{x} \right)^{-3} = \left( \frac{x}{y} \right)^{-3} = \left( \frac{y}{x} \right)^3 = \frac{y^3}{x^3} \)