11. Ejercitación con Potencias: Aplicaciones

En esta página, aplicaremos las propiedades de las potencias que hemos aprendido para resolver dos tipos de problemas más avanzados: encontrar términos desconocidos en ecuaciones y resolver problemas de la vida real.

1. Ecuaciones con Potencias

Una forma de evaluar nuestra comprensión de las propiedades es usarlas para resolver ecuaciones donde la incógnita está en el exponente.

Ejemplo: Determinando un término desconocido

Encuentra el valor de \(x\) en la siguiente ecuación:

\[ \left( \frac{3}{5} \right)^4 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^x = \left( \frac{3}{5} \right)^7 \]

Paso 1: Aplicamos la propiedad del producto para combinar el lado izquierdo de la ecuación.

\[ \left( \frac{3}{5} \right)^{4+x} = \left( \frac{3}{5} \right)^7 \]

Paso 2: Como las bases a ambos lados de la igualdad son idénticas, podemos igualar los exponentes.

\[ 4 + x = 7 \]

Paso 3: Resolvemos la ecuación lineal para \(x\).

\[ x = 7 - 4 \Rightarrow x = 3 \]

Ejercicios: Determinando términos desconocidos

  1. Encuentra \(x\) si: \( \left( \frac{1}{4} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^x = \left( \frac{1}{4} \right)^5 \)
  2. Encuentra \(y\) si: \( \left( \frac{2}{3} \right)^y \div \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{3} \right)^4 \)
  3. Encuentra \(z\) si: \( \left[ \left( \frac{3}{5} \right)^{-2} \right]^z = \left( \frac{3}{5} \right)^6 \)
  4. Encuentra \(n\) si: \( \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^n \)
  5. Encuentra \(m\) si: \( \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^{-3} = \left(\frac{a}{b}\right)^5 \) (con \(a,b \neq 0\))

2. Problemas de Aplicación en Contexto

Las potencias son una herramienta muy útil para modelar situaciones del mundo real, como cálculos de áreas, volúmenes, crecimiento o decrecimiento.

Ejemplo: Problema de aplicación de área

Un terreno rectangular mide \( \left(\frac{5}{2}\right)^3 \) metros de largo y \( \left(\frac{5}{2}\right)^2 \) metros de ancho. ¿Cuál es el área del terreno?

Paso 1: Recordamos que el área de un rectángulo se calcula como \( \text{largo} \cdot \text{ancho} \).

\[ \text{Área} = \left(\frac{5}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2 \]

Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto de potencias de igual base.

\[ \text{Área} = \left(\frac{5}{2}\right)^{3+2} = \left(\frac{5}{2}\right)^5 \]

Respuesta: El área del terreno es \( \left(\frac{5}{2}\right)^5 \) metros cuadrados (o \( \frac{5^5}{2^5} \) m²).

Ejercicios: Problemas de aplicación

  1. Un campo rectangular tiene un área de \( \left( \frac{3}{4} \right)^5 \) kilómetros cuadrados. Si el ancho del campo es \( \left( \frac{3}{4} \right)^2 \) kilómetros, ¿cuál es su longitud?
  2. Una receta para un pastel requiere \( \left( \frac{2}{3} \right)^2 \) tazas de azúcar. Si quieres hacer la mitad de la receta, ¿cuánta azúcar necesitas?
  3. Una botella contiene \( \left( \frac{4}{5} \right)^3 \) litros de jugo. Si se reparte el jugo en vasos de \( \left( \frac{4}{5} \right) \) litros de capacidad, ¿cuántos vasos se pueden llenar?
  4. El lado de una caja cúbica mide \( \left(\frac{5}{2}\right)^2 \) centímetros. ¿Cuál es el volumen de la caja? (Recuerda: Volumen = lado³).
  5. Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay 1000 bacterias, ¿cuántas habrá después de \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \) horas?
  6. Un equipo tecnológico cuesta $512.000. Si su valor disminuye a la mitad cada año, ¿cuál será su valor después de 3 años?
  7. Un trozo de tela mide \( \left(\frac{9}{2}\right)^4 \) centímetros de largo. Si se corta en 3 trozos iguales, ¿cuánto mide cada trozo?
  8. Una piscina cúbica se llena a una velocidad de \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} \) litros por hora. ¿Cuántos litros de agua tendrá la piscina después de 2 horas?