3. Ejercicios Combinados con Potencias: Enteros, Fracciones y Decimales

Propiedades fundamentales de las potencias

Para resolver estos ejercicios, es importante dominar las siguientes propiedades:

  • Producto de potencias de igual base: se conserva la base y se suman los exponentes. \[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]
  • Cociente de potencias de igual base: se conserva la base y se restan los exponentes. \[a^m : a^n = a^{m-n}, \quad a\neq 0\]
  • Potencia de una potencia: se conserva la base y se multiplican los exponentes. \[(a^m)^n = a^{m\cdot n}\]
  • Potencia de un producto: se eleva cada factor al exponente. \[(a\cdot b)^n = a^n\cdot b^n\]
  • Potencia de un cociente: se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente. \[\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \quad b\neq 0\]
  • Exponente cero: toda base no nula elevada a cero es 1. \[a^0=1, \quad a\neq 0\]
  • Exponente negativo: se invierte la base para escribir el exponente positivo. \[a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \quad a\neq 0\]

Estrategia útil

Cuando aparezcan enteros, fracciones y decimales en un mismo ejercicio, conviene transformar todo a una forma común antes de aplicar las propiedades de potencias.

Por ejemplo:

\[0,5=\frac{1}{2}, \qquad 0,2=\frac{1}{5}, \qquad 0,25=\frac{1}{4}\]

Sección 1: ejercicios de cálculo directo

Cuidado con el signo negativo

No es lo mismo \((-a)^n\) que \(-a^n\).

  • En \((-a)^n\), la base completa es negativa.
  • En \(-a^n\), la potencia se calcula primero y luego se aplica el signo negativo.

Instrucciones

Resuelve los siguientes ejercicios. En cada uno se combinan al menos dos formas de representar números racionales: enteros, fracciones o decimales.

Ejercicio 1

Resuelve: \((-0,1)^2+\frac{1}{100}\)

Ejercicio 2

Resuelve: \(2\cdot (0,5)^2-\frac{1}{4}\)

Ejercicio 3

Resuelve: \(\left(-\frac{1}{2}\right)^4+(0,5)^4\)

Ejercicio 4

Resuelve: \(-\left(\frac{1}{2}\right)^4+(0,25)^2\)

Ejercicio 5

Resuelve: \(-3\left(-\frac{1}{3}\right)^2+0,1\overline{6}\)

Ejercicio 6

Resuelve: \(-3\left[-\left(\frac{1}{3}\right)^2\right]+0,\overline{6}\)

Ejercicio 7

Resuelve: \(25\cdot (0,2)^3\cdot (0,2)^{-1}\)

Ejercicio 8

Resuelve: \(\left(\frac{3}{5}\right)^5:\left(\frac{3}{5}\right)^3+0,64\)

Ejercicio 9

Resuelve: \(\left((-2)^3\right)^2\cdot (0,5)^6\)

Ejercicio 10

Resuelve: \((0,1)^5:(0,1)^3\cdot (0,1)^{-4}-99\)

Ejercicio 11

Resuelve: \((0,5)^3\cdot 2^3+\frac{1}{4}\)

Ejercicio 12

Resuelve: \(\left(\frac{10}{3}\right)^{-2}:\left(\frac{5}{3}\right)^{-2}+0,75\)

Ejercicio 13

Resuelve: \(\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5}{\left(\frac{2}{3}\right)^2}+0,\overline{3}\)

Ejercicio 14

Resuelve: \(\frac{(0,25)^2\cdot 4^3}{4^0}-\frac{7}{2}\)

Ejercicio 15

Resuelve: \(\left((-3)^2\cdot (-3)^{-1}\right)^2\cdot \frac{1}{9}+0,25\)

Ejercicio 16

Resuelve: \(\frac{5^3\cdot 5^{-1}}{5^4:5^3}-4,5\)

Ejercicio 17

Resuelve: \(\frac{2^4\cdot 3^4}{6^3}\cdot 0,5-\frac{1}{2}\)

Ejercicio 18

Resuelve: \(\left[\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\cdot (0,5)^3}{2^4}\right]^{-1}:16\)

Sección 2: encontrando la incógnita

Instrucciones

Despeja el valor de la incógnita \(x\) para que se cumpla cada igualdad. En cada ejercicio se combinan distintas formas de escribir números racionales.

Ejercicio 1

Resuelve: \(3^x\cdot 3^2=3^5\cdot (0,5)^0\)

Ejercicio 2

Resuelve: \(\left(\frac{1}{2}\right)^x:(0,5)^3=\left(\frac{1}{2}\right)^4\)

Ejercicio 3

Resuelve: \((0,7)^x\cdot (0,7)^{-2}=\left(\frac{7}{10}\right)^2\)

Ejercicio 4

Resuelve: \(\left((2,5)^2\right)^x=\left(\frac{5}{2}\right)^6\)

Ejercicio 5

Resuelve: \(\left(\frac{5}{4}\right)^x:(1,25)^{-3}=\left(\frac{5}{4}\right)^5\)

Ejercicio 6

Resuelve: \((0,2)^2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x=(0,2)^{-1}\)

Ejercicio 7

Resuelve: \(x^2\cdot (0,4)^2=\frac{1}{1}\)