Capitulo 1 cierre: Combinando enteros, fracciones y decimales
2. Ejercicios Combinados con Potencias: Enteros, Fracciones y Decimales
Para resolver estos ejercicios, es crucial dominar las siguientes propiedades:
- Producto de potencias de igual base: Se conserva la base y se suman los exponentes. \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
- Cociente de potencias de igual base: Se conserva la base y se restan los exponentes. \(a^m : a^n = a^{m-n}\)
- Potencia de una potencia: Se conserva la base y se multiplican los exponentes. \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
- Potencia de un producto: Se eleva cada factor al exponente. \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\)
- Potencia de un cociente: Se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente. \((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\)
- Exponente cero: Toda base no nula elevada a cero es 1. \(a^0 = 1\) (si \(a \neq 0\))
- Exponente negativo: Invierte la base para hacer el exponente positivo. \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) y \((\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n\)
Cuando encuentres decimales en los ejercicios (como 0,5 o 1,5), a menudo es más fácil convertirlos a su fracción equivalente (\(\frac{1}{2}\) o \(\frac{3}{2}\)) antes de aplicar las propiedades de las potencias. Esto simplifica mucho los cálculos.
Sección 1: Ejercicios de Cálculo Directo
Presta mucha atención a la posición del signo negativo y los paréntesis. No es lo mismo \((-a)^n\) donde la base es negativa, que \(-a^n\), donde solo el resultado de la potencia es negativo.
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de las potencias para simplificar al máximo.
- \( (-0,1)^2 \)
- \( -(0,1)^2 \)
- \( (-\frac{1}{2})^4 \)
- \( -(\frac{1}{2})^4 \)
- \( -3(-\frac{1}{3})^2 \)
- \( -3[-(\frac{1}{3})^2] \)
- \( (0,2)^3 \cdot (0,2)^{-1} \)
- \( (\frac{3}{5})^5 : (\frac{3}{5})^3 \)
- \( ((-2)^3)^2 \)
- \( (0,1)^5 : (0,1)^3 \cdot (0,1)^{-4} \)
- \( (0,5)^3 \cdot 2^3 \)
- \( (\frac{10}{3})^{-2} : (\frac{5}{3})^{-2} \)
- \( \frac{(\frac{2}{3})^{-2} \cdot (\frac{2}{3})^5}{(\frac{2}{3})^2} \)
- \( \frac{(0,25)^2 \cdot 4^3}{4^0} \)
- \( ((-3)^2 \cdot (-3)^{-1})^2 \)
- \( \frac{5^3 \cdot 5^{-1}}{5^4 : 5^3} \)
- \( \frac{2^4 \cdot 3^4}{6^3} \)
- \( [ \frac{(\frac{1}{2})^{-2} \cdot (0,5)^3}{2^4} ]^{-1} \)
- Solución: \( (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01 \)
- Solución: \( -(0,1 \cdot 0,1) = -0,01 \)
- Solución: \( (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} \)
- Solución: \( -(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) = -\frac{1}{16} \)
- Solución: \( -3 \cdot (\frac{1}{9}) = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3} \)
- Solución: \( -3 \cdot [-\frac{1}{9}] = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
- Solución: \( (0,2)^{3-1} = (0,2)^2 = 0,04 \)
- Solución: \( (\frac{3}{5})^{5-3} = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25} \)
- Solución: \( (-2)^{3 \cdot 2} = (-2)^6 = 64 \)
- Solución: \( (0,1)^{5-3-4} = (0,1)^{-2} = 100 \)
- Solución: \( (0,5 \cdot 2)^3 = 1^3 = 1 \)
- Solución: \( (\frac{10}{3} : \frac{5}{3})^{-2} = (\frac{10}{5})^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4} \)
- Solución: \( \frac{(\frac{2}{3})^{-2+5}}{(\frac{2}{3})^2} = \frac{(\frac{2}{3})^3}{(\frac{2}{3})^2} = (\frac{2}{3})^{3-2} = \frac{2}{3} \)
- Solución: \( \frac{(\frac{1}{4})^2 \cdot 4^3}{1} = (4^{-1})^2 \cdot 4^3 = 4^{-2} \cdot 4^3 = 4^{-2+3} = 4 \)
- Solución: \( ((-3)^{2-1})^2 = ((-3)^1)^2 = (-3)^2 = 9 \)
- Solución: \( \frac{5^{3-1}}{5^{4-3}} = \frac{5^2}{5^1} = 5^{2-1} = 5 \)
- Solución: \( \frac{(2 \cdot 3)^4}{6^3} = \frac{6^4}{6^3} = 6^{4-3} = 6 \)
- Solución: \( [ \frac{2^2 \cdot (\frac{1}{2})^3}{2^4} ]^{-1} = [ \frac{2^2 \cdot 2^{-3}}{2^4} ]^{-1} = [ \frac{2^{-1}}{2^4} ]^{-1} = (2^{-5})^{-1} = 2^5 = 32 \)
Sección 2: Encontrando la Incógnita
Instrucciones: Despeja el valor de la incógnita (x) para que se cumpla cada igualdad, utilizando las propiedades de las potencias.
- \( 3^x \cdot 3^2 = 3^5 \)
- \( (\frac{1}{2})^x : (\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^4 \)
- \( (0,7)^x \cdot (0,7)^{-2} = (0,7)^2 \)
- \( ((2,5)^2)^x = (2,5)^6 \)
- \( (\frac{5}{4})^x : (\frac{5}{4})^{-3} = (\frac{5}{4})^5\)
- \( (0,2)^2 \cdot (0,2)^x = (0,2)^{-1} \)
- \( (x)^2 \cdot (0,4)^2 = 1 \)
- \( x + 2 = 5 \Rightarrow x = 3 \)
- \( x - 3 = 4 \Rightarrow x = 7 \)
- \( x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4 \)
- \( 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \)
- \( x - (-3) = 5 \Rightarrow x + 3 = 5 \Rightarrow x = 2 \)
- \( 2 + x = -1 \Rightarrow x = -3 \)
- \( (0,4x)^2 = 1 \Rightarrow 0,4x = \pm 1 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{0,4} \Rightarrow x = \pm 2,5 \)
En este último ejercicio, la ecuación es \( (0,4x)^2 = 1 \). Al sacar la raíz cuadrada en ambos lados para despejar, debemos recordar que tanto \(1^2\) como \((-1)^2\) dan como resultado 1. Por eso, \(0,4x\) puede ser igual a 1 o a -1, lo que nos da dos posibles soluciones para \(x\).