Libro Formas Racionales
1. Operatoria Combinada
Guía de ejercicios: operatoria combinada con números racionales
Contexto
Ya se trabajaron los números racionales en forma fraccionaria y decimal. En esta guía se combinan enteros, fracciones, decimales finitos y decimales periódicos en un mismo ejercicio, respetando el orden de las operaciones.
PAPOMUDAS: orden de las operaciones
Para resolver una operatoria combinada se debe respetar este orden:
- PAréntesis: primero se resuelve lo que está dentro de paréntesis, corchetes o llaves.
- POtencias: luego se calculan potencias y raíces.
- MUltiplicación y División: se resuelven de izquierda a derecha.
- Adición y Sustracción: se resuelven al final, también de izquierda a derecha.
Estrategia útil
Cuando un ejercicio mezcla fracciones con decimales periódicos, conviene transformar los decimales periódicos a fracción para evitar errores de aproximación.
Errores comunes
- No respetar la prioridad de multiplicaciones y divisiones antes de sumas y restas.
- Resolver de derecha a izquierda cuando hay divisiones y multiplicaciones seguidas.
- Usar aproximaciones decimales en números periódicos cuando se necesita un resultado exacto.
Ejemplos resueltos
Ejemplo A: sin paréntesis
Resolver:
\[4-2,8+\frac{2}{5}\cdot 10\]
Primero se resuelve la multiplicación:
\[\frac{2}{5}\cdot 10=\frac{20}{5}=4\]
Luego se resuelve de izquierda a derecha:
\[ \begin{aligned} 4-2,8+4&=1,2+4\\ &=5,2 \end{aligned} \]
Ejemplo B: con paréntesis
Resolver:
\[0,6\cdot (0,4+1,8)-\frac{5}{4}\]
Primero se resuelve el paréntesis:
\[0,4+1,8=2,2\]
Luego la multiplicación y finalmente la resta:
\[ \begin{aligned} 0,6\cdot (0,4+1,8)-\frac{5}{4} &=0,6\cdot 2,2-1,25\\ &=1,32-1,25\\ &=0,07 \end{aligned} \]
Ejemplo C: con paréntesis anidados y decimal periódico
Resolver:
\[\{(2-0,8)\cdot [\frac{1}{4}+0,\overline{5}]\}:\frac{1}{3}\]
Transformamos el decimal periódico:
\[0,\overline{5}=\frac{5}{9}\]
Luego resolvemos respetando el orden de los paréntesis:
\[ \begin{aligned} \{(2-0,8)\cdot [\frac{1}{4}+0,\overline{5}]\}:\frac{1}{3} &=\{(2-\frac{4}{5})\cdot [\frac{1}{4}+\frac{5}{9}]\}:\frac{1}{3}\\ &=\{\frac{6}{5}\cdot [\frac{9+20}{36}]\}:\frac{1}{3}\\ &=\{\frac{6}{5}\cdot \frac{29}{36}\}:\frac{1}{3}\\ &=\frac{29}{30}:\frac{1}{3}\\ &=\frac{29}{30}\cdot 3\\ &=\frac{29}{10}\\ &=2,9 \end{aligned} \]
Sección 1: ejercicios sin paréntesis
Ejercicio 1
Resuelve: \(5-2\cdot 1,5+\frac{3}{4}\)
\[ \begin{aligned} 5-2\cdot 1,5+\frac{3}{4} &=5-3+0,75\\ &=2+0,75\\ &=2,75 \end{aligned} \]
Resultado: \(2,75\).
Ejercicio 2
Resuelve: \(\frac{3}{4}\cdot 2-1,5:0,5\)
\[ \begin{aligned} \frac{3}{4}\cdot 2-1,5:0,5 &=1,5-3\\ &=-1,5 \end{aligned} \]
Resultado: \(-1,5\).
Ejercicio 3
Resuelve: \(-3+2,7-\frac{1}{2}\cdot 4\)
\[ \begin{aligned} -3+2,7-\frac{1}{2}\cdot 4 &=-3+2,7-2\\ &=-0,3-2\\ &=-2,3 \end{aligned} \]
Resultado: \(-2,3\).
Ejercicio 4
Resuelve: \(3\cdot 0,\overline{3}+5\)
Convertimos \(0,\overline{3}=\frac{1}{3}\).
\[ \begin{aligned} 3\cdot 0,\overline{3}+5 &=3\cdot \frac{1}{3}+5\\ &=1+5\\ &=6 \end{aligned} \]
Resultado: \(6\).
Ejercicio 5
Resuelve: \(1,2:0,3\cdot 2+\frac{5}{2}\)
La división y la multiplicación se resuelven de izquierda a derecha.
\[ \begin{aligned} 1,2:0,3\cdot 2+\frac{5}{2} &=4\cdot 2+2,5\\ &=8+2,5\\ &=10,5 \end{aligned} \]
Resultado: \(10,5\).
Ejercicio 6
Resuelve: \(0,6\cdot 0,4+1,8-\frac{5}{4}\)
\[ \begin{aligned} 0,6\cdot 0,4+1,8-\frac{5}{4} &=0,24+1,8-1,25\\ &=2,04-1,25\\ &=0,79 \end{aligned} \]
Resultado: \(0,79\).
Ejercicio 7
Resuelve: \(4,5+1,1\overline{6}\cdot 3\)
Convertimos \(1,1\overline{6}=\frac{7}{6}\).
\[ \begin{aligned} 4,5+1,1\overline{6}\cdot 3 &=4,5+\frac{7}{6}\cdot 3\\ &=4,5+\frac{7}{2}\\ &=4,5+3,5\\ &=8 \end{aligned} \]
Resultado: \(8\).
Ejercicio 8
Resuelve: \(\frac{7}{3}+2,1:0,7-4\)
\[ \begin{aligned} \frac{7}{3}+2,1:0,7-4 &=\frac{7}{3}+3-4\\ &=\frac{7}{3}-1\\ &=\frac{4}{3} \end{aligned} \]
Resultado: \(\frac{4}{3}\).
Ejercicio 9
Resuelve: \(2\cdot (0,5)^2-\frac{1}{4}\)
Primero se calcula la potencia.
\[ \begin{aligned} 2\cdot (0,5)^2-\frac{1}{4} &=2\cdot 0,25-0,25\\ &=0,5-0,25\\ &=0,25 \end{aligned} \]
Resultado: \(0,25\).
Ejercicio 10
Resuelve: \(1,6+0,4^2-\frac{3}{2}\cdot 0,2\)
\[ \begin{aligned} 1,6+0,4^2-\frac{3}{2}\cdot 0,2 &=1,6+0,16-0,3\\ &=1,76-0,3\\ &=1,46 \end{aligned} \]
Resultado: \(1,46\).
Sección 2: ejercicios con paréntesis
Ejercicio 1
Resuelve: \((5-2)\cdot 1,5+\frac{3}{4}\)
\[ \begin{aligned} (5-2)\cdot 1,5+\frac{3}{4} &=3\cdot 1,5+0,75\\ &=4,5+0,75\\ &=5,25 \end{aligned} \]
Resultado: \(5,25\).
Ejercicio 2
Resuelve: \(1,2:(0,3\cdot 2)+\frac{5}{2}\)
\[ \begin{aligned} 1,2:(0,3\cdot 2)+\frac{5}{2} &=1,2:0,6+2,5\\ &=2+2,5\\ &=4,5 \end{aligned} \]
Resultado: \(4,5\).
Ejercicio 3
Resuelve: \(\frac{3}{4}\cdot (2-1,5):0,5\)
\[ \begin{aligned} \frac{3}{4}\cdot (2-1,5):0,5 &=\frac{3}{4}\cdot 0,5:0,5\\ &=0,375:0,5\\ &=0,75 \end{aligned} \]
Resultado: \(0,75\).
Ejercicio 4
Resuelve: \(-3+(2,7-\frac{1}{2})\cdot 4\)
\[ \begin{aligned} -3+(2,7-\frac{1}{2})\cdot 4 &=-3+(2,7-0,5)\cdot 4\\ &=-3+2,2\cdot 4\\ &=-3+8,8\\ &=5,8 \end{aligned} \]
Resultado: \(5,8\).
Ejercicio 5
Resuelve: \(4-(2,8+\frac{2}{5}\cdot 10)\)
Dentro del paréntesis también se respeta que la multiplicación va antes que la suma.
\[ \begin{aligned} 4-(2,8+\frac{2}{5}\cdot 10) &=4-(2,8+4)\\ &=4-6,8\\ &=-2,8 \end{aligned} \]
Resultado: \(-2,8\).
Ejercicio 6
Resuelve: \((0,5)^2\cdot (4-3,8)\)
\[ \begin{aligned} (0,5)^2\cdot (4-3,8) &=0,25\cdot 0,2\\ &=0,05 \end{aligned} \]
Resultado: \(0,05\).
Ejercicio 7
Resuelve: \((8\cdot 0,\overline{6})-2\)
Convertimos \(0,\overline{6}=\frac{2}{3}\).
\[ \begin{aligned} (8\cdot 0,\overline{6})-2 &=8\cdot \frac{2}{3}-2\\ &=\frac{16}{3}-\frac{6}{3}\\ &=\frac{10}{3} \end{aligned} \]
Resultado: \(\frac{10}{3}\).
Ejercicio 8
Resuelve: \(\frac{7}{3}+(2,1:0,7-4)\)
\[ \begin{aligned} \frac{7}{3}+(2,1:0,7-4) &=\frac{7}{3}+(3-4)\\ &=\frac{7}{3}-1\\ &=\frac{4}{3} \end{aligned} \]
Resultado: \(\frac{4}{3}\).
Ejercicio 9
Resuelve: \(2,5-(\frac{1}{3}+0,8-\frac{1}{5})\)
Conviene transformar \(2,5=\frac{5}{2}\) y \(0,8=\frac{4}{5}\).
\[ \begin{aligned} 2,5-(\frac{1}{3}+0,8-\frac{1}{5}) &=\frac{5}{2}-(\frac{1}{3}+\frac{4}{5}-\frac{1}{5})\\ &=\frac{5}{2}-(\frac{1}{3}+\frac{3}{5})\\ &=\frac{5}{2}-\frac{14}{15}\\ &=\frac{75}{30}-\frac{28}{30}\\ &=\frac{47}{30} \end{aligned} \]
Resultado: \(\frac{47}{30}\).
Ejercicio 10
Resuelve: \(10-(0,8\overline{3}:\frac{1}{6})\)
Convertimos \(0,8\overline{3}=\frac{5}{6}\).
\[ \begin{aligned} 10-(0,8\overline{3}:\frac{1}{6}) &=10-(\frac{5}{6}:\frac{1}{6})\\ &=10-(\frac{5}{6}\cdot 6)\\ &=10-5\\ &=5 \end{aligned} \]
Resultado: \(5\).
Sección 3: ejercicios con paréntesis anidados y de distinto tipo
Ejercicio 1
Resuelve: \(1,2:[0,3\cdot (2+\frac{5}{2})]\)
\[ \begin{aligned} 1,2:[0,3\cdot (2+\frac{5}{2})] &=1,2:[0,3\cdot 4,5]\\ &=1,2:1,35\\ &=\frac{120}{100}:\frac{135}{100}\\ &=\frac{120}{135}\\ &=\frac{8}{9} \end{aligned} \]
Resultado: \(\frac{8}{9}\).
Ejercicio 2
Resuelve: \([(5-2\cdot 1,5)+\frac{3}{4}]-(0,5)^2\)
\[ \begin{aligned} [(5-2\cdot 1,5)+\frac{3}{4}]-(0,5)^2 &=[(5-3)+0,75]-0,25\\ &=[2+0,75]-0,25\\ &=2,75-0,25\\ &=2,5 \end{aligned} \]
Resultado: \(2,5\).
Ejercicio 3
Resuelve: \(2,5+[\frac{1}{2}-(3\cdot 0,4-1)]\)
\[ \begin{aligned} 2,5+[\frac{1}{2}-(3\cdot 0,4-1)] &=2,5+[0,5-(1,2-1)]\\ &=2,5+[0,5-0,2]\\ &=2,5+0,3\\ &=2,8 \end{aligned} \]
Resultado: \(2,8\).
Ejercicio 4
Resuelve: \(\frac{3}{4}\cdot [2-(1,5:0,5+0,5)]\)
\[ \begin{aligned} \frac{3}{4}\cdot [2-(1,5:0,5+0,5)] &=\frac{3}{4}\cdot [2-(3+0,5)]\\ &=\frac{3}{4}\cdot [2-3,5]\\ &=\frac{3}{4}\cdot (-1,5)\\ &=-\frac{9}{8} \end{aligned} \]
Resultado: \(-\frac{9}{8}\).
Ejercicio 5
Resuelve: \(-3+\{2,7-[(\frac{1}{2}\cdot 4)-1,8]\}\)
\[ \begin{aligned} -3+\{2,7-[(\frac{1}{2}\cdot 4)-1,8]\} &=-3+\{2,7-[2-1,8]\}\\ &=-3+\{2,7-0,2\}\\ &=-3+2,5\\ &=-0,5 \end{aligned} \]
Resultado: \(-0,5\).
Ejercicio 6
Resuelve: \(\{9\cdot [0,\overline{1}+\frac{1}{3}]\}-1\)
Convertimos \(0,\overline{1}=\frac{1}{9}\).
\[ \begin{aligned} \{9\cdot [0,\overline{1}+\frac{1}{3}]\}-1 &=\{9\cdot [\frac{1}{9}+\frac{1}{3}]\}-1\\ &=\{9\cdot [\frac{1}{9}+\frac{3}{9}]\}-1\\ &=9\cdot \frac{4}{9}-1\\ &=4-1\\ &=3 \end{aligned} \]
Resultado: \(3\).
Ejercicio 7
Resuelve: \(4-\{2,8+\frac{2}{5}\cdot [10-2,5]\}\)
\[ \begin{aligned} 4-\{2,8+\frac{2}{5}\cdot [10-2,5]\} &=4-\{2,8+\frac{2}{5}\cdot 7,5\}\\ &=4-\{2,8+3\}\\ &=4-5,8\\ &=-1,8 \end{aligned} \]
Resultado: \(-1,8\).
Ejercicio 8
Resuelve: \(1,6+\{0,4^2-[(\frac{3}{2}\cdot 0,2)-0,1]\}\)
\[ \begin{aligned} 1,6+\{0,4^2-[(\frac{3}{2}\cdot 0,2)-0,1]\} &=1,6+\{0,16-[0,3-0,1]\}\\ &=1,6+\{0,16-0,2\}\\ &=1,6-0,04\\ &=1,56 \end{aligned} \]
Resultado: \(1,56\).
Ejercicio 9
Resuelve: \((0,2\overline{7}\cdot \frac{9}{5})+[3:(1+0,5)]\)
Convertimos \(0,2\overline{7}=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}\).
\[ \begin{aligned} (0,2\overline{7}\cdot \frac{9}{5})+[3:(1+0,5)] &=(\frac{5}{18}\cdot \frac{9}{5})+[3:1,5]\\ &=\frac{1}{2}+2\\ &=\frac{5}{2}\\ &=2,5 \end{aligned} \]
Resultado: \(\frac{5}{2}\).
Ejercicio 10
Resuelve: \(\{(2-0,8)\cdot [\frac{1}{4}+0,\overline{5}]\}:\frac{1}{3}\)
Convertimos \(0,\overline{5}=\frac{5}{9}\), \(0,8=\frac{4}{5}\) y \(2-0,8=\frac{6}{5}\).
\[ \begin{aligned} \{(2-0,8)\cdot [\frac{1}{4}+0,\overline{5}]\}:\frac{1}{3} &=\{\frac{6}{5}\cdot [\frac{1}{4}+\frac{5}{9}]\}:\frac{1}{3}\\ &=\{\frac{6}{5}\cdot \frac{29}{36}\}:\frac{1}{3}\\ &=\frac{29}{30}:\frac{1}{3}\\ &=\frac{29}{30}\cdot 3\\ &=\frac{29}{10}\\ &=2,9 \end{aligned} \]
Resultado: \(\frac{29}{10}\).