Libro Crecimiento Exponencial
2. Crecimiento Exponencial: La Multiplicación Constante
Objetivos
- Reconocer situaciones de crecimiento exponencial como aquellas en que una cantidad se multiplica por un factor constante.
- Construir tablas de valores para representar crecimiento exponencial.
- Escribir y evaluar funciones de la forma \(f(t)=a\cdot b^t\), con \(b>1\).
- Interpretar el factor de crecimiento en situaciones con porcentajes, duplicación o triplicación.
Idea central
El crecimiento exponencial ocurre cuando una cantidad aumenta multiplicándose por un mismo factor en cada período de tiempo.
A diferencia del crecimiento lineal, aquí no se suma siempre la misma cantidad. En cada paso, la cantidad se multiplica por un valor constante.
Modelo de crecimiento exponencial
Una función de crecimiento exponencial se puede escribir como:
\[ f(t)=a\cdot b^t \]
- \(a\): cantidad inicial.
- \(b\): factor de crecimiento.
- \(t\): tiempo o número de períodos.
Para que exista crecimiento exponencial, se cumple:
\[ b>1 \]
Cómo reconocer el factor de crecimiento
El factor de crecimiento indica por cuánto se multiplica la cantidad en cada período.
| Situación | Factor de crecimiento | Ejemplo de modelo |
|---|---|---|
| Se duplica | \(2\) | \(f(t)=a\cdot 2^t\) |
| Se triplica | \(3\) | \(f(t)=a\cdot 3^t\) |
| Aumenta un \(10\%\) | \(1,10\) | \(f(t)=a\cdot 1,10^t\) |
| Aumenta un \(25\%\) | \(1,25\) | \(f(t)=a\cdot 1,25^t\) |
| Aumenta un \(50\%\) | \(1,50\) | \(f(t)=a\cdot 1,50^t\) |
Porcentajes y factor de crecimiento
Si una cantidad aumenta en una tasa \(r\), escrita en forma decimal, entonces el factor de crecimiento es:
\[ b=1+r \]
Por ejemplo, si una cantidad aumenta un \(20\%\), entonces:
\[ r=0,20 \]
Por lo tanto:
\[ b=1+0,20=1,20 \]
Ejemplo 1: población que se duplica
Una población de bacterias comienza con 10 bacterias y se duplica cada hora.
| Tiempo (horas) | Cálculo | Población de bacterias |
|---|---|---|
| 0 | \(10\) | 10 |
| 1 | \(10\cdot 2\) | 20 |
| 2 | \(10\cdot 2^2\) | 40 |
| 3 | \(10\cdot 2^3\) | 80 |
| 4 | \(10\cdot 2^4\) | 160 |
La cantidad inicial es \(10\) y el factor de crecimiento es \(2\).
La función que modela esta situación es:
\[ P(t)=10\cdot 2^t \]
Ejemplo 2: inversión con interés compuesto anual
Una inversión inicial de $1000 aumenta un \(10\%\) anual.
Como aumenta un \(10\%\), el factor de crecimiento es:
\[ b=1+0,10=1,10 \]
| Tiempo (años) | Cálculo | Valor de la inversión ($) |
|---|---|---|
| 0 | \(1000\) | 1000 |
| 1 | \(1000\cdot 1,10\) | 1100 |
| 2 | \(1000\cdot 1,10^2\) | 1210 |
| 3 | \(1000\cdot 1,10^3\) | 1331 |
| 4 | \(1000\cdot 1,10^4\) | 1464,1 |
La función que modela el valor de la inversión es:
\[ V(t)=1000\cdot 1,10^t \]
Ejemplo 3: aumento porcentual
Una población de insectos comienza con 500 individuos y aumenta un \(15\%\) mensual.
Primero transformamos la tasa porcentual en factor:
\[ b=1+0,15=1,15 \]
Entonces, el modelo es:
\[ I(t)=500\cdot 1,15^t \]
Después de 4 meses:
\[ I(4)=500\cdot 1,15^4 \]
\[ I(4)=500\cdot 1,74900625=874,503125 \]
Por lo tanto, después de 4 meses habrá aproximadamente \(875\) insectos.
Error común
Si una cantidad aumenta un \(20\%\), no se multiplica por \(20\).
Se multiplica por:
\[ 1+0,20=1,20 \]
Por eso, un aumento del \(20\%\) se representa con factor \(1,20\).
Cuando el intervalo de tiempo no es 1
A veces el crecimiento ocurre cada cierta cantidad de tiempo. En ese caso, el exponente debe contar cuántos períodos de crecimiento han ocurrido.
Por ejemplo, si una población aumenta un \(25\%\) cada 2 horas, entonces el factor es \(1,25\), pero el exponente no es \(t\), sino \(\frac{t}{2}\), porque cada período dura 2 horas.
El modelo sería:
\[ P(t)=a\cdot 1,25^{\frac{t}{2}} \]
donde \(t\) se mide en horas.
Ejemplo 4: crecimiento cada 2 horas
Un cultivo de células comienza con 100 células y aumenta un \(25\%\) cada 2 horas.
El factor de crecimiento es:
\[ b=1+0,25=1,25 \]
Como el crecimiento ocurre cada 2 horas, el modelo es:
\[ C(t)=100\cdot 1,25^{\frac{t}{2}} \]
Después de 6 horas han ocurrido:
\[ \frac{6}{2}=3 \]
períodos de crecimiento.
Entonces:
\[ C(6)=100\cdot 1,25^3 \]
\[ C(6)=100\cdot 1,953125=195,3125 \]
Después de 6 horas habrá aproximadamente \(195\) células.
Ejercicios
Ejercicios con tabla
Ejercicio 1
Una población de conejos se triplica cada año. Si inicialmente hay 5 conejos, completa la tabla y escribe la función que modela la población en función del tiempo.
| Tiempo (años) | Cálculo | Población de conejos |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
La cantidad inicial es \(5\) y cada año se multiplica por \(3\).
| Tiempo (años) | Cálculo | Población de conejos |
|---|---|---|
| 0 | \(5\) | 5 |
| 1 | \(5\cdot 3\) | 15 |
| 2 | \(5\cdot 3^2\) | 45 |
| 3 | \(5\cdot 3^3\) | 135 |
La función es:
\[ P(t)=5\cdot 3^t \]
Ejercicio 2
Una inversión inicial de $2000 aumenta un \(6\%\) anual. Completa la tabla y escribe la función que modela el valor de la inversión.
| Tiempo (años) | Cálculo | Valor de la inversión ($) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
Como la inversión aumenta un \(6\%\), el factor de crecimiento es:
\[ b=1+0,06=1,06 \]
| Tiempo (años) | Cálculo | Valor de la inversión ($) |
|---|---|---|
| 0 | \(2000\) | 2000 |
| 1 | \(2000\cdot 1,06\) | 2120 |
| 2 | \(2000\cdot 1,06^2\) | 2247,2 |
| 3 | \(2000\cdot 1,06^3\) | 2382,032 |
La función es:
\[ V(t)=2000\cdot 1,06^t \]
Ejercicios sin tabla
Ejercicio 3
Una población de insectos crece a una tasa del \(15\%\) mensual. Si inicialmente hay 500 insectos, ¿cuántos habrá después de 4 meses?
La cantidad inicial es \(500\).
Como aumenta un \(15\%\), el factor de crecimiento es:
\[ b=1+0,15=1,15 \]
El modelo es:
\[ I(t)=500\cdot 1,15^t \]
Después de 4 meses:
\[ I(4)=500\cdot 1,15^4 \]
\[ I(4)=500\cdot 1,74900625=874,503125 \]
Por lo tanto, después de 4 meses habrá aproximadamente \(875\) insectos.
Ejercicio 4
Una población de bacterias comienza con 1000 bacterias y se triplica cada 5 horas. ¿Cuántas bacterias habrá después de 15 horas?
La cantidad inicial es \(1000\) y el factor de crecimiento es \(3\).
Como la población se triplica cada 5 horas, después de 15 horas han pasado:
\[ \frac{15}{5}=3 \]
períodos de crecimiento.
Entonces:
\[ B(15)=1000\cdot 3^3 \]
\[ B(15)=1000\cdot 27=27000 \]
Después de 15 horas habrá \(27000\) bacterias.
Ejercicio 5
Un banco ofrece una tasa de interés compuesto del \(4\%\) anual. Si se depositan $3000, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de 5 años?
La cantidad inicial es \(3000\).
Como aumenta un \(4\%\) anual, el factor de crecimiento es:
\[ b=1+0,04=1,04 \]
El modelo es:
\[ C(t)=3000\cdot 1,04^t \]
Después de 5 años:
\[ C(5)=3000\cdot 1,04^5 \]
\[ C(5)=3000\cdot 1,2166529024=3649,9587072 \]
Después de 5 años habrá aproximadamente $3650.
Ejercicio 6
El valor de una obra de arte es de $8000 y aumenta un \(7\%\) cada año. ¿Cuál será su valor estimado después de 6 años?
La cantidad inicial es \(8000\).
Como aumenta un \(7\%\) anual, el factor de crecimiento es:
\[ b=1+0,07=1,07 \]
El modelo es:
\[ V(t)=8000\cdot 1,07^t \]
Después de 6 años:
\[ V(6)=8000\cdot 1,07^6 \]
\[ V(6)=8000\cdot 1,500730351849=12005,842814792 \]
Después de 6 años, el valor estimado será aproximadamente $12006.
Ejercicios de identificación
Ejercicio 7
Indica el factor de crecimiento en cada caso.
| Situación | Factor de crecimiento |
|---|---|
| Una cantidad se duplica. | |
| Una cantidad se triplica. | |
| Una cantidad aumenta un \(8\%\). | |
| Una cantidad aumenta un \(30\%\). |
| Situación | Factor de crecimiento |
|---|---|
| Una cantidad se duplica. | \(2\) |
| Una cantidad se triplica. | \(3\) |
| Una cantidad aumenta un \(8\%\). | \(1+0,08=1,08\) |
| Una cantidad aumenta un \(30\%\). | \(1+0,30=1,30\) |
Ejercicio 8
Escribe una función exponencial para cada situación.
| Situación | Función |
|---|---|
| Una población inicial de 40 bacterias se duplica cada hora. | |
| Una inversión inicial de $5000 aumenta un \(12\%\) anual. | |
| Una colonia inicial de 200 células se triplica cada día. |
| Situación | Función |
|---|---|
| Una población inicial de 40 bacterias se duplica cada hora. | \(P(t)=40\cdot 2^t\) |
| Una inversión inicial de $5000 aumenta un \(12\%\) anual. | \(V(t)=5000\cdot 1,12^t\) |
| Una colonia inicial de 200 células se triplica cada día. | \(C(t)=200\cdot 3^t\) |
Cierre
En el crecimiento exponencial, la cantidad inicial se multiplica repetidamente por un mismo factor.
La forma general del modelo es:
\[ f(t)=a\cdot b^t \]
Cuando \(b>1\), la función representa crecimiento exponencial.