Capitulo 2 Tipos de crecimiento, lineal y exponencial
1. Crecimiento y Decrecimiento Lineal: La Suma y Resta Constante
Crecimiento y Decrecimiento Lineal: La Suma y Resta Constante
🌍 En el crecimiento lineal, una cantidad aumenta en un valor fijo en cada período de tiempo. En el decrecimiento lineal, una cantidad disminuye en un valor fijo en cada período de tiempo. A diferencia del crecimiento y decrecimiento exponencial, donde se multiplica por un factor constante, en el crecimiento y decrecimiento lineal se suma o resta una cantidad constante.
Tablas para Visualizar el Crecimiento y Decrecimiento Lineal
Las tablas son una herramienta útil para observar cómo cambia la variable dependiente a medida que la variable independiente aumenta linealmente. Veamos ejemplos con tablas que incluyen una columna de cálculos.
Ejemplo 1: Crecimiento Lineal - Ahorro Mensual
Supongamos que empiezas con $50 y decides ahorrar $10 cada mes.
Tabla:
| Tiempo (meses) | Cálculo | Cantidad Ahorrada ($) |
|---|---|---|
| 0 | - | 50 |
| 1 | 50 + 10 | 60 |
| 2 | 60 + 10 = 50 + 10 + 10 | 70 |
| 3 | 70 + 10 = 50 + 10 + 10 + 10 | 80 |
| 4 | 80 + 10 = 50 + 10 + 10 + 10 + 10 | 90 |
Observaciones:
- El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1.
- La cantidad ahorrada (variable dependiente) aumenta en $10 en cada período, mostrando un crecimiento lineal.
- La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene la cantidad en cada paso, sumando el incremento constante a la cantidad anterior o a la cantidad inicial.
📐 Modelando la Función de Crecimiento Lineal:
Podemos modelar este comportamiento con la siguiente función lineal:
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} + (Incremento \times Tiempo) $$
En este caso:
$$ Cantidad(t) = 50 + (10 \times t) $$
Donde `t` es el tiempo en meses.
Ejemplo 2: Decrecimiento Lineal - Descarga de una Batería
Imagina que la batería de tu celular tiene 100% de carga y se descarga un 5% cada hora.
Tabla:
| Tiempo (horas) | Cálculo | Carga de la Batería (%) |
|---|---|---|
| 0 | - | 100 |
| 1 | 100 - 5 | 95 |
| 2 | 95 - 5 = 100 - 5 - 5 | 90 |
| 3 | 90 - 5 = 100 - 5 - 5 - 5 | 85 |
| 4 | 85 - 5 = 100 - 5 - 5 - 5 - 5 | 80 |
Observaciones:
- El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1.
- La carga de la batería (variable dependiente) disminuye en un 5% en cada período, mostrando un decrecimiento lineal.
- La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene la carga en cada paso, restando el decremento constante a la carga anterior o a la carga inicial.
📐 Modelando la Función de Decrecimiento Lineal:
La función que describe este decrecimiento es:
$$ Carga(t) = Carga_{inicial} - (Decremento \times Tiempo) $$
En este caso:
$$ Carga(t) = 100 - (5 \times t) $$
Donde `t` es el tiempo en horas.
Ejercicios
Ejercicio 1
Un tanque de agua contiene 500 litros y se llena a razón de 25 litros por minuto. Completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la cantidad de agua en el tanque en función del tiempo.
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Cantidad de Agua (litros) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
Solución:
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Cantidad de Agua (litros) |
|---|---|---|
| 0 | - | 500 |
| 1 | 500 + 25 | 525 |
| 2 | 525 + 25 = 500 + 25 + 25 | 550 |
| 3 | 550 + 25 = 500 + 25 + 25 + 25 | 575 |
Función: $$ Cantidad(t) = 500 + (25 \times t) $$
Ejercicio 2
Un globo aerostático se encuentra a 800 metros de altura y desciende 40 metros por minuto. Completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la altura del globo en función del tiempo.
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Altura (metros) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
Solución:
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Altura (metros) |
|---|---|---|
| 0 | - | 800 |
| 1 | 800 - 40 | 760 |
| 2 | 760 - 40 = 800 - 40 - 40 | 720 |
| 3 | 720 - 40 = 800 - 40 - 40 - 40 | 680 |
Función: $$ Altura(t) = 800 - (40 \times t) $$
Ejercicio 3
Un empleado gana un salario fijo de $1500 al mes y recibe un aumento de $50 cada mes.
a) Escribe la función que modela el salario del empleado en función del tiempo (en meses).
b) ¿Cuánto ganará el empleado después de 12 meses?
Solución:
a) $$ Salario(t) = 1500 + (50 \times t) $$
b) $$ Salario(12) = 1500 + (50 \times 12) = 1500 + 600 = 2100 $$
El empleado ganará $2100 después de 12 meses.
Ejercicio 4
Un tanque de agua contiene 2000 litros y se vacía a razón de 40 litros por minuto.
a) Escribe la función que modela la cantidad de agua en el tanque en función del tiempo (en minutos).
b) ¿Cuántos litros de agua quedarán en el tanque después de 20 minutos?
c) ¿Cuánto tiempo tardará el tanque en vaciarse por completo?
Solución:
a) $$ Cantidad(t) = 2000 - (40 \times t) $$
b) $$ Cantidad(20) = 2000 - (40 \times 20) = 2000 - 800 = 1200 $$
Quedarán 1200 litros en el tanque después de 20 minutos.
c) Para encontrar el tiempo que tarda en vaciarse, igualamos la cantidad a 0:
$$ 0 = 2000 - (40 \times t) $$
$$ 40t = 2000 $$
$$ t = \frac{2000}{40} = 50 $$
El tanque tardará 50 minutos en vaciarse por completo.
Ejercicio 5
La temperatura en una ciudad es de 15°C a las 6:00 AM y aumenta 2°C cada hora.
a) Escribe la función que modela la temperatura en función del tiempo (en horas).
b) ¿Qué temperatura habrá a las 11:00 AM?
c) Si a las 6:00 AM la temperatura fuera de 20°C y disminuye 1°C cada hora, escribe la función que modela la temperatura.
Solución:
a) $$ Temperatura(t) = 15 + (2 \times t) $$
b) De 6:00 AM a 11:00 AM hay 5 horas:
$$ Temperatura(5) = 15 + (2 \times 5) = 15 + 10 = 25 $$
La temperatura será de 25°C a las 11:00 AM.
c) $$ Temperatura(t) = 20 - (1 \times t) $$
Ejercicio 6
Un ciclista recorre una ruta de 180 km. Inicia su recorrido a las 8:00 AM y avanza a una velocidad constante de 30 km/h.
a) Escribe la función que modela la distancia recorrida por el ciclista en función del tiempo (en horas).
b) ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido a las 12:00 PM?
c) Escribe la función que modela la distancia que le falta por recorrer en función del tiempo.
d) ¿A qué hora llegará a su destino?
Solución:
a) $$ Distancia(t) = 30 \times t $$
b) De 8:00 AM a 12:00 PM hay 4 horas:
$$ Distancia(4) = 30 \times 4 = 120 $$
Habrá recorrido 120 km a las 12:00 PM.
c) $$ DistanciaRestante(t) = 180 - (30 \times t) $$
d) Para encontrar la hora de llegada, igualamos la distancia recorrida a la distancia total:
$$ 180 = 30 \times t $$
$$ t = \frac{180}{30} = 6 $$
Tardará 6 horas en llegar a su destino. Si inició a las 8:00 AM, llegará a las 2:00 PM.
Ejercicio 7
⚠️ ¡Cuidado con las unidades! Recuerda expresar todas las medidas en la misma unidad antes de formular la ecuación.
Un árbol mide 5 metros de altura y crece 20 cm cada año.
a) Escribe la función que modela la altura del árbol en función del tiempo (en años).
b) ¿Qué altura tendrá el árbol después de 15 años?
Solución:
a) Primero, convertimos los centímetros a metros: 20 cm = 0.2 metros.
$$ Altura(t) = 5 + (0.2 \times t) $$
b) $$ Altura(15) = 5 + (0.2 \times 15) = 5 + 3 = 8 $$
El árbol tendrá una altura de 8 metros después de 15 años.
Ejercicio 8
Una empresa tiene 500 empleados y decide contratar 25 nuevos empleados cada mes.
a) Escribe la función que modela el número de empleados en función del tiempo (en meses).
b) ¿Cuántos empleados tendrá la empresa después de 1 año?
c) Si la empresa tiene un límite de 800 empleados, ¿en cuántos meses alcanzará ese límite?
Solución:
a) $$ Empleados(t) = 500 + (25 \times t) $$
b) 1 año equivale a 12 meses:
$$ Empleados(12) = 500 + (25 \times 12) = 500 + 300 = 800 $$
La empresa tendrá 800 empleados después de 1 año.
c) Igualamos la cantidad de empleados a 800:
$$ 800 = 500 + (25 \times t) $$
$$ 300 = 25 \times t $$
$$ t = \frac{300}{25} = 12 $$
La empresa alcanzará el límite de 800 empleados en 12 meses.
Ejercicio 9
Un submarino se encuentra a 400 metros de profundidad y asciende a una velocidad de 8 metros por minuto.
a) Escribe la función que modela la profundidad del submarino en función del tiempo (en minutos). Considera la superficie del mar como profundidad 0, y valores negativos para profundidades bajo el nivel del mar.
b) ¿A qué profundidad se encontrará el submarino después de 25 minutos?
c) ¿Cuánto tiempo tardará el submarino en llegar a la superficie?
Solución:
a) $$ Profundidad(t) = -400 + (8 \times t) $$
b) $$ Profundidad(25) = -400 + (8 \times 25) = -400 + 200 = -200 $$
El submarino se encontrará a -200 metros (200 metros de profundidad) después de 25 minutos.
c) Para llegar a la superficie, la profundidad debe ser 0:
$$ 0 = -400 + (8 \times t) $$
$$ 400 = 8 \times t $$
$$ t = \frac{400}{8} = 50 $$
El submarino tardará 50 minutos en llegar a la superficie.
Ejercicio 10
Un paciente recibe un medicamento por vía intravenosa a una razón constante de 2 mg por minuto. Si la dosis inicial fue de 5 mg.
a) Escribe la función que modela la cantidad de medicamento en el cuerpo del paciente en función del tiempo (en minutos).
b) ¿Cuántos miligramos de medicamento habrá en el cuerpo del paciente después de 30 minutos?
Solución:
a) $$ Cantidad(t) = 5 + (2 \times t) $$
b) $$ Cantidad(30) = 5 + (2 \times 30) = 5 + 60 = 65 $$
Habrá 65 miligramos de medicamento en el cuerpo del paciente después de 30 minutos.
Ejercicio 11
Un alpinista se encuentra en la cima de una montaña a 2500 metros de altura y comienza a descender a una velocidad constante de 50 metros por hora.
a) Escribe la función que modela la altura a la que se encuentra el alpinista en función del tiempo (en horas).
b) ¿A qué altura se encontrará después de 8 horas de descenso?
c) Si el campamento base se encuentra a 500 metros de altura, ¿cuánto tiempo tardará el alpinista en llegar a él?
Solución:
a) $$ Altura(t) = 2500 - (50 \times t) $$
b) $$ Altura(8) = 2500 - (50 \times 8) = 2500 - 400 = 2100 $$
El alpinista se encontrará a 2100 metros de altura después de 8 horas.
c) Igualamos la altura a 500 metros:
$$ 500 = 2500 - (50 \times t) $$
$$ 50t = 2000 $$
$$ t = \frac{2000}{50} = 40 $$
El alpinista tardará 40 horas en llegar al campamento base.
Ejercicio 12
💡 Tip: Piensa si el costo aumenta o disminuye con cada compra para determinar si debes sumar o restar el descuento.
Una tienda ofrece un descuento de $5 por cada compra realizada. Si un cliente realiza una compra inicial de $100.
a) Escribe la función que modela el costo total de las compras en función del número de compras realizadas.
b) ¿Cuál será el costo total después de 8 compras?
c) Si el cliente quiere que el costo total sea de $45, ¿cuántas compras debe realizar?
Solución:
a) $$ Costo(c) = 100 - (5 \times c) $$
b) $$ Costo(8) = 100 - (5 \times 8) = 100 - 40 = 60 $$
El costo total después de 8 compras será de $60.
c) Igualamos el costo total a $45:
$$ 45 = 100 - (5 \times c) $$
$$ 5c = 55 $$
$$ c = \frac{55}{5} = 11 $$
El cliente debe realizar 11 compras para que el costo total sea de $45.