Crecimiento y Decrecimiento Lineal: La Suma y Resta Constante

En el crecimiento lineal, una cantidad aumenta en un valor fijo en cada período de tiempo. En el decrecimiento lineal, una cantidad disminuye en un valor fijo en cada período de tiempo. A diferencia del crecimiento y decrecimiento exponencial, donde se multiplica por un factor constante, en el crecimiento y decrecimiento lineal se suma o resta una cantidad constante.

Tablas para Visualizar el Crecimiento y Decrecimiento Lineal

Las tablas son una herramienta útil para observar cómo cambia la variable dependiente a medida que la variable independiente aumenta linealmente. Veamos ejemplos con tablas que incluyen una columna de cálculos.

Ejemplo 1: Crecimiento Lineal - Ahorro Mensual

Supongamos que empiezas con $50 y decides ahorrar $10 cada mes.

Tabla:

Observaciones:

• El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1.
• La cantidad ahorrada (variable dependiente) aumenta en $10 en cada período, mostrando un crecimiento lineal.
• La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene la cantidad en cada paso, sumando el incremento constante a la cantidad anterior o a la cantidad inicial.

Modelando la Función:

Podemos modelar este comportamiento con la siguiente función lineal:

\[ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} + (Incremento \times Tiempo) \]

En este caso:

\[ Cantidad(t) = 50 + (10 \times t) \]

Donde `t` es el tiempo en meses.

Ejemplo 2: Decrecimiento Lineal - Descarga de una Batería

Imagina que la batería de tu celular tiene 100% de carga y se descarga un 5% cada hora.

Tabla:

Observaciones:

• El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1.
• La carga de la batería (variable dependiente) disminuye en un 5% en cada período, mostrando un decrecimiento lineal.
• La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene la carga en cada paso, restando el decremento constante a la carga anterior o a la carga inicial.

Modelando la Función:

La función que describe este decrecimiento es:

\[ Carga(t) = Carga_{inicial} - (Decremento \times Tiempo) \]

En este caso:

\[ Carga(t) = 100 - (5 \times t) \]

Donde `t` es el tiempo en horas.

Ejercicios con tabla:

1. Un tanque de agua contiene 500 litros y se llena a razón de 25 litros por minuto. Completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la cantidad de agua en el tanque en función del tiempo.

2. Un globo aerostático se encuentra a 800 metros de altura y desciende 40 metros por minuto. Completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la altura del globo en función del tiempo.

Ejercicios sin tabla:

1. Un empleado gana un salario fijo de $1500 al mes y recibe un aumento de $50 cada mes.

a) Escribe la función que modela el salario del empleado en función del tiempo (en meses).

b) ¿Cuánto ganará el empleado después de 12 meses?

2. Un tanque de agua contiene 2000 litros y se vacía a razón de 40 litros por minuto.

a) Escribe la función que modela la cantidad de agua en el tanque en función del tiempo (en minutos).

b) ¿Cuántos litros de agua quedarán en el tanque después de 20 minutos?

c) ¿Cuánto tiempo tardará el tanque en vaciarse por completo?

3. La temperatura en una ciudad es de 15°C a las 6:00 AM y aumenta 2°C cada hora.

a) Escribe la función que modela la temperatura en función del tiempo (en horas).

b) ¿Qué temperatura habrá a las 11:00 AM?

c) Si a las 6:00 AM la temperatura fuera de 20°C y disminuye 1°C cada hora, escribe la función que modela la temperatura.

4. Un ciclista recorre una ruta de 180 km. Inicia su recorrido a las 8:00 AM y avanza a una velocidad constante de 30 km/h.

a) Escribe la función que modela la distancia recorrida por el ciclista en función del tiempo (en horas).

b) ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido a las 12:00 PM?

c) Escribe la función que modela la distancia que le falta por recorrer en función del tiempo.

d) ¿A qué hora llegará a su destino?

5. Un árbol mide 5 metros de altura y crece 20 cm cada año.

a) Escribe la función que modela la altura del árbol en función del tiempo (en años). Recuerda expresar todas las medidas en metros

b) ¿Qué altura tendrá el árbol después de 15 años?

6. Una empresa tiene 500 empleados y decide contratar 25 nuevos empleados cada mes.

a) Escribe la función que modela el número de empleados en función del tiempo (en meses).

b) ¿Cuántos empleados tendrá la empresa después de 1 año?

c) Si la empresa tiene un límite de 800 empleados, ¿en cuántos meses alcanzará ese límite?

7. Un submarino se encuentra a 400 metros de profundidad y asciende a una velocidad de 8 metros por minuto.

a) Escribe la función que modela la profundidad del submarino en función del tiempo (en minutos). Considera la superficie del mar como profundidad 0, y valores negativos para profundidades bajo el nivel del mar.

b) ¿A qué profundidad se encontrará el submarino después de 25 minutos?

c) ¿Cuánto tiempo tardará el submarino en llegar a la superficie?

8. Un paciente recibe un medicamento por vía intravenosa a una razón constante de 2 mg por minuto. Si la dosis inicial fue de 5 mg.

a) Escribe la función que modela la cantidad de medicamento en el cuerpo del paciente en función del tiempo (en minutos).

b) ¿Cuántos miligramos de medicamento habrá en el cuerpo del paciente después de 30 minutos?

9. Un alpinista se encuentra en la cima de una montaña a 2500 metros de altura y comienza a descender a una velocidad constante de 50 metros por hora.

a) Escribe la función que modela la altura a la que se encuentra el alpinista en función del tiempo (en horas).

b) ¿A qué altura se encontrará después de 8 horas de descenso?

c) Si el campamento base se encuentra a 500 metros de altura, ¿cuánto tiempo tardará el alpinista en llegar a él?

10. Una tienda ofrece un descuento de $5 por cada compra realizada. Si un cliente realiza una compra inicial de $100.

a) Escribe la función que modela el costo total de las compras en función del número de compras realizadas.

b) ¿Cuál será el costo total después de 8 compras?

c) Si el cliente quiere que el costo total sea de $45, ¿cuántas compras debe realizar?