Capitulo 2 Tipos de crecimiento, lineal y exponencial
3. Decrecimiento Exponencial: La Disminución Multiplicativa
Decrecimiento Exponencial: La Disminución Multiplicativa
🌍 El decrecimiento exponencial ocurre cuando una cantidad disminuye en un factor constante en cada período de tiempo. A diferencia del decrecimiento lineal, donde se resta una cantidad fija, en el decrecimiento exponencial se multiplica por un valor entre 0 y 1 en cada período.
Tablas para Visualizar el Decrecimiento Exponencial
Una forma efectiva de comprender el decrecimiento exponencial es observar cómo cambia la variable dependiente a medida que la variable independiente aumenta linealmente. Usemos tablas para ilustrar esto, incluyendo una columna que muestre los cálculos realizados.
Ejemplo 1: Desintegración Radioactiva
Supongamos que tenemos 64 gramos de una sustancia radioactiva con una vida media de 1 hora. Esto significa que cada hora, la cantidad de sustancia se reduce a la mitad.
Tabla:
| Tiempo (horas) | Cálculo | Cantidad (gramos) |
|---|---|---|
| 0 | - | 64 |
| 1 | 64 * 0.5 | 32 |
| 2 | 32 * 0.5 = 64 * 0.5 * 0.5 | 16 |
| 3 | 16 * 0.5 = 64 * 0.5 * 0.5 * 0.5 | 8 |
| 4 | 8 * 0.5 = 64 * (0.5)^4 | 4 |
| 5 | 4 * 0.5 = 64 * (0.5)^5 | 2 |
| 6 | 2 * 0.5 = 64 * (0.5)^6 | 1 |
📐 Modelando la Función de Decrecimiento (Factor Directo):
Podemos modelar este comportamiento con la siguiente función exponencial:
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (Factor)^{Tiempo} $$
En este caso:
$$ Cantidad(t) = 64 \times (0.5)^{t} \quad \text{o} \quad Cantidad(t) = 64 \times (\frac{1}{2})^{t} $$
Donde `t` es el tiempo en horas. La base 0.5 representa el factor de disminución por cada unidad de tiempo.
💡 Idea Clave: Conectando con el Exponente Negativo
El factor \(0.5\) es lo mismo que la fracción \( \frac{1}{2} \). Recordando la propiedad del exponente negativo ($$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$), podemos ver que \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \).
Esto nos permite escribir la misma fórmula de una manera diferente, muy usada en ciencias:
$$ Cantidad(t) = 64 \times (2^{-1})^{t} = 64 \times 2^{-t} $$
Entonces, ¿qué significa el \(2\) en esta nueva fórmula? Representa el factor por el cual se divide la cantidad en cada período. El exponente negativo \(-t\) es la instrucción matemática que nos dice: "divide entre 2, \(t\) veces".
Ambas expresiones son idénticas y nos enseñan cómo un exponente negativo invierte el comportamiento de la base. Si la base original es mayor que 1 (como el \(2\)), el exponente negativo la convierte en una fracción (como \(1/2\)), causando decrecimiento.
Ejemplo 2: Depreciación de un Activo
Consideremos un automóvil que se deprecia un 20% de su valor cada año. Supongamos que el valor inicial del auto es de $30,000.
Tabla:
| Tiempo (años) | Cálculo | Valor del Auto ($) |
|---|---|---|
| 0 | - | 30,000 |
| 1 | 30000 * 0.8 | 24,000 |
| 2 | 24000 * 0.8 = 30000 * (0.8)^2 | 19,200 |
| 3 | 19200 * 0.8 = 30000 * (0.8)^3 | 15,360 |
| 4 | 15360 * 0.8 = 30000 * (0.8)^4 | 12,288 |
📐 Modelando la Función de Decrecimiento (Tasa de Disminución):
La función que describe este decrecimiento es:
$$ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 - Tasa)^{Tiempo} $$
En este caso:
$$ Valor(t) = 30000 \times (0.8)^{t} $$
Donde `t` es el tiempo en años. La base 0.8 (resultado de 1 - 0.20) representa el factor por el que se multiplica el valor del auto cada año.
Ejemplo 3: Enfriamiento de un Líquido
Supongamos que una taza de café caliente se enfría a una tasa del 15% por cada 5 minutos. Su temperatura inicial es de 90°C.
Tabla:
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Temperatura (°C) |
|---|---|---|
| 0 | - | 90 |
| 5 | 90 * 0.85 | 76.5 |
| 10 | 76.5 * 0.85 = 90 * (0.85)^2 | 65.025 |
| 15 | 65.025 * 0.85 = 90 * (0.85)^3 | 55.271 |
| 20 | 55.271 * 0.85 = 90 * (0.85)^4 | 46.980 |
📐 Modelando la Función (Intervalos de Tiempo):
La función que modela este enfriamiento es:
$$ Temperatura(t) = Temperatura_{inicial} \times (1 - Tasa)^{\frac{Tiempo}{Intervalo}} $$
En este caso:
$$ Temperatura(t) = 90 \times (0.85)^{\frac{t}{5}} $$
Donde `t` es el tiempo en minutos. El exponente `t/5` indica cuántos períodos de 5 minutos han transcurrido.
Ejercicios
Ejercicio 1
Una población de bacterias decrece a la mitad cada hora. Si inicialmente hay 100,000 bacterias, completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la población en función del tiempo.
| Tiempo (horas) | Cálculo | Población de Bacterias |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
Solución:
| Tiempo (horas) | Cálculo | Población de Bacterias |
|---|---|---|
| 0 | - | 100,000 |
| 1 | 100000 * 0.5 | 50,000 |
| 2 | 50000 * 0.5 = 100000 * (0.5)^2 | 25,000 |
| 3 | 25000 * 0.5 = 100000 * (0.5)^3 | 12,500 |
Función: $$ Población(t) = 100000 \times (0.5)^{t} $$
Ejercicio 2
Un medicamento en el torrente sanguíneo se reduce en un 25% cada 4 horas. Si se administra una dosis de 50 mg, completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la cantidad de medicamento en función del tiempo.
| Tiempo (horas) | Cálculo | Cantidad de Medicamento (mg) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 4 | ||
| 8 | ||
| 12 |
Solución:
| Tiempo (horas) | Cálculo | Cantidad de Medicamento (mg) |
|---|---|---|
| 0 | - | 50 |
| 4 | 50 * 0.75 | 37.5 |
| 8 | 37.5 * 0.75 = 50 * (0.75)^2 | 28.125 |
| 12 | 28.125 * 0.75 = 50 * (0.75)^3 | 21.094 |
Función: $$ Cantidad(t) = 50 \times (0.75)^{\frac{t}{4}} $$
Ejercicios sin tabla:
Ejercicio 3
La vida media de un isótopo radiactivo es de 8 horas. Si inicialmente hay 120 gramos del isótopo, ¿cuántos gramos quedarán después de 24 horas?
Solución:
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (0.5)^{\frac{Tiempo}{Vida\ Media}} $$
$$ Cantidad(24) = 120 \times (0.5)^{\frac{24}{8}} = 120 \times (0.5)^{3} = 120 \times 0.125 = 15 $$
Quedarán 15 gramos después de 24 horas.
Ejercicio 4
Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa del 20% cada hora. Si se administra una dosis de 10 mg, ¿cuántos miligramos quedarán en el cuerpo después de 5 horas?
Solución:
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (1 - Tasa)^{Tiempo} $$
$$ Cantidad(5) = 10 \times (1 - 0.20)^{5} = 10 \times (0.8)^{5} \approx 10 \times 0.32768 \approx 3.28 $$
Quedarán aproximadamente 3.28 mg después de 5 horas.
Ejercicio 5
Una población de aves disminuye un 5% cada año. Si actualmente hay 2000 aves, ¿cuántas habrá aproximadamente después de 7 años?
Solución:
$$ Población(t) = Población_{inicial} \times (1 - Tasa)^{Tiempo} $$
$$ Población(7) = 2000 \times (1 - 0.05)^{7} = 2000 \times (0.95)^{7} \approx 2000 \times 0.6983 \approx 1397 $$
Habrá aproximadamente 1397 aves después de 7 años.
Ejercicio 6
Un activo se deprecia a una tasa del 15% anual. Si su valor inicial era de $50,000, ¿cuál será su valor después de 4 años?
Solución:
$$ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 - Tasa)^{Tiempo} $$
$$ Valor(4) = 50000 \times (1 - 0.15)^{4} = 50000 \times (0.85)^{4} \approx 50000 \times 0.522 \approx 26100 $$
El valor del activo será aproximadamente $26,100 después de 4 años.
Ejercicio 7
💡 Problema Inverso: Aquí conocemos el resultado y debemos "devolvernos" para encontrar el valor inicial. Esto implica despejar la cantidad inicial de la fórmula.
Si después de 3 años, el valor de un activo es de $15,360 y se sabe que se deprecia exponencialmente a una tasa del 20% anual, ¿cuál era su valor inicial?
Solución:
$$ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 - Tasa)^{Tiempo} $$
$$ 15360 = Valor_{inicial} \times (1 - 0.20)^{3} $$
$$ 15360 = Valor_{inicial} \times (0.8)^{3} $$
$$ 15360 = Valor_{inicial} \times 0.512 $$
$$ Valor_{inicial} = \frac{15360}{0.512} = 30000 $$
El valor inicial del activo era de $30,000.
Ejercicio 8
Una sustancia radioactiva se desintegra a la mitad cada 10 años. Si después de 50 años quedan 2 gramos de la sustancia, ¿cuántos gramos había inicialmente?
Solución:
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (0.5)^{\frac{Tiempo}{Vida\ Media}} $$
$$ 2 = Cantidad_{inicial} \times (0.5)^{\frac{50}{10}} $$
$$ 2 = Cantidad_{inicial} \times (0.5)^{5} $$
$$ 2 = Cantidad_{inicial} \times 0.03125 $$
$$ Cantidad_{inicial} = \frac{2}{0.03125} = 64 $$
Había inicialmente 64 gramos de la sustancia.
Ejercicio 9
Una población de bacterias decrece exponencialmente. Si inicialmente había 50,000 bacterias y después de 3 horas quedan 6,250, ¿cuál es el factor de decrecimiento por hora?
Solución:
Aquí necesitamos encontrar el factor de decrecimiento (la base):
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (Factor)^{Tiempo} $$
$$ 6250 = 50000 \times (Factor)^{3} $$
$$ \frac{6250}{50000} = (Factor)^{3} $$
$$ 0.125 = (Factor)^{3} $$
$$ Factor = \sqrt[3]{0.125} = 0.5 $$
El factor de decrecimiento por hora es de 0.5.
Ejercicio 10
Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa constante. Si después de 4 horas queda el 40.96% de la dosis inicial, ¿cuál es la tasa de eliminación por hora?
Solución:
Sabemos que el porcentaje restante es 40.96%, que en decimal es 0.4096.
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (1 - Tasa)^{Tiempo} $$
Asumiendo una cantidad inicial de 1 (100%), tenemos:
$$ 0.4096 = 1 \times (1 - Tasa)^{4} $$
$$ \sqrt[4]{0.4096} = 1 - Tasa $$
$$ 0.8 = 1 - Tasa $$
$$ Tasa = 1 - 0.8 = 0.2 $$
La tasa de eliminación por hora es del 20%.
Ejercicio 11
🤓 Igualando bases: Este problema se puede resolver fácilmente si reconocemos la relación entre los números. ¡Es un buen truco para evitar los logaritmos cuando sea posible!
Un material radioactivo tiene una vida media de 20 minutos. Si inicialmente hay 80 gramos del material, ¿cuánto tiempo tardará en reducirse a 5 gramos?
Solución:
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (0.5)^{\frac{Tiempo}{Vida\ Media}} $$
$$ 5 = 80 \times (0.5)^{\frac{t}{20}} $$
$$ \frac{5}{80} = (0.5)^{\frac{t}{20}} $$
$$ 0.0625 = (0.5)^{\frac{t}{20}} $$
Reconocemos que $$0.0625 = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4 = (0.5)^4$$.
$$ (0.5)^{4} = (0.5)^{\frac{t}{20}} $$
Igualamos los exponentes: $$ 4 = \frac{t}{20} $$
$$ t = 4 \times 20 = 80 $$
Tomará 80 minutos para que el material se reduzca a 5 gramos.
Ejercicio 12
La depreciación de un activo es del 10% anual. Si después de un cierto número de años el valor del activo se ha reducido a aproximadamente el 34.87% de su valor original, ¿cuántos años han pasado?
Solución:
Sabemos que el valor actual es 0.3487 del original.
$$ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 - Tasa)^{Tiempo} $$
Asumiendo un valor inicial de 1:
$$ 0.3487 \approx 1 \times (1 - 0.10)^{t} $$
$$ 0.3487 \approx (0.9)^{t} $$
Probando valores, encontramos que $$ (0.9)^{10} \approx 0.3487 $$.
Por lo tanto, han pasado aproximadamente 10 años.