Libro Crecimiento Exponencial
3. Decrecimiento Exponencial: La Disminución Multiplicativa
Decrecimiento exponencial: la disminución multiplicativa
Objetivos
- Reconocer situaciones de decrecimiento exponencial como aquellas en que una cantidad se multiplica por un factor constante entre 0 y 1.
- Construir tablas de valores para representar decrecimiento exponencial.
- Escribir y evaluar funciones de la forma \(f(t)=a\cdot b^t\), con \(0<b<1\).
- Interpretar el factor de disminución en situaciones con porcentajes, vida media y depreciación.
Idea central
El decrecimiento exponencial ocurre cuando una cantidad disminuye multiplicándose por un mismo factor en cada período de tiempo.
No se resta siempre la misma cantidad. En cada paso, la cantidad se multiplica por un factor constante entre 0 y 1.
Modelo de decrecimiento exponencial
Una función de decrecimiento exponencial se puede escribir como:
\[ f(t)=a\cdot b^t \]
- \(a\): cantidad inicial.
- \(b\): factor de disminución.
- \(t\): tiempo o número de períodos.
Para que exista decrecimiento exponencial, se cumple:
\[ 0<b<1 \]
Cómo reconocer el factor de disminución
El factor de disminución indica por cuánto se multiplica la cantidad en cada período.
| Situación | Factor de disminución | Ejemplo de modelo |
|---|---|---|
| Se reduce a la mitad | \(0,5\) | \(f(t)=a\cdot 0,5^t\) |
| Disminuye un \(10\%\) | \(0,90\) | \(f(t)=a\cdot 0,90^t\) |
| Disminuye un \(20\%\) | \(0,80\) | \(f(t)=a\cdot 0,80^t\) |
| Disminuye un \(25\%\) | \(0,75\) | \(f(t)=a\cdot 0,75^t\) |
| Disminuye un \(40\%\) | \(0,60\) | \(f(t)=a\cdot 0,60^t\) |
Porcentajes y factor de disminución
Si una cantidad disminuye en una tasa \(r\), escrita en forma decimal, entonces el factor de disminución es:
\[ b=1-r \]
Por ejemplo, si una cantidad disminuye un \(20\%\), entonces:
\[ r=0,20 \]
Por lo tanto:
\[ b=1-0,20=0,80 \]
Ejemplo 1: sustancia radioactiva
Una sustancia radioactiva tiene inicialmente 64 gramos y se reduce a la mitad cada hora.
| Tiempo (horas) | Cálculo | Cantidad (gramos) |
|---|---|---|
| 0 | \(64\) | 64 |
| 1 | \(64\cdot 0,5\) | 32 |
| 2 | \(64\cdot 0,5^2\) | 16 |
| 3 | \(64\cdot 0,5^3\) | 8 |
| 4 | \(64\cdot 0,5^4\) | 4 |
| 5 | \(64\cdot 0,5^5\) | 2 |
| 6 | \(64\cdot 0,5^6\) | 1 |
La cantidad inicial es \(64\) y el factor de disminución es \(0,5\).
La función que modela esta situación es:
\[ C(t)=64\cdot 0,5^t \]
Ejemplo 2: depreciación de un activo
Un automóvil tiene un valor inicial de $30.000 y se deprecia un \(20\%\) cada año.
Como disminuye un \(20\%\), el factor de disminución es:
\[ b=1-0,20=0,80 \]
| Tiempo (años) | Cálculo | Valor del auto ($) |
|---|---|---|
| 0 | \(30000\) | 30000 |
| 1 | \(30000\cdot 0,80\) | 24000 |
| 2 | \(30000\cdot 0,80^2\) | 19200 |
| 3 | \(30000\cdot 0,80^3\) | 15360 |
| 4 | \(30000\cdot 0,80^4\) | 12288 |
La función que modela el valor del auto es:
\[ V(t)=30000\cdot 0,80^t \]
Ejemplo 3: disminución cada cierto intervalo de tiempo
Una taza de café tiene una temperatura inicial de \(90^\circ C\) y disminuye un \(15\%\) cada 5 minutos.
Como disminuye un \(15\%\), el factor de disminución es:
\[ b=1-0,15=0,85 \]
Como la disminución ocurre cada 5 minutos, el exponente debe contar cuántos períodos de 5 minutos han ocurrido:
\[ T(t)=90\cdot 0,85^{\frac{t}{5}} \]
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Temperatura \((^\circ C)\) |
|---|---|---|
| 0 | \(90\) | 90 |
| 5 | \(90\cdot 0,85\) | 76,5 |
| 10 | \(90\cdot 0,85^2\) | 65,025 |
| 15 | \(90\cdot 0,85^3\) | 55,271 |
| 20 | \(90\cdot 0,85^4\) | 46,981 |
Error común
Si una cantidad disminuye un \(20\%\), no se multiplica por \(20\) ni por \(0,20\).
Se multiplica por:
\[ 1-0,20=0,80 \]
El \(0,20\) representa la parte que se pierde. El \(0,80\) representa la parte que queda.
Vida media
La vida media es el tiempo que tarda una cantidad en reducirse a la mitad.
Si una sustancia tiene vida media de 8 horas, entonces cada 8 horas queda la mitad de la cantidad anterior.
En ese caso, el factor de disminución es \(0,5\), pero el exponente debe considerar períodos de 8 horas:
\[ C(t)=a\cdot 0,5^{\frac{t}{8}} \]
Ejercicios
Ejercicios con tabla
Ejercicio 1
Una población de bacterias decrece a la mitad cada hora. Si inicialmente hay 100.000 bacterias, completa la tabla y escribe la función que modela la población.
| Tiempo (horas) | Cálculo | Población de bacterias |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
La cantidad inicial es \(100000\) y cada hora se multiplica por \(0,5\).
| Tiempo (horas) | Cálculo | Población de bacterias |
|---|---|---|
| 0 | \(100000\) | 100000 |
| 1 | \(100000\cdot 0,5\) | 50000 |
| 2 | \(100000\cdot 0,5^2\) | 25000 |
| 3 | \(100000\cdot 0,5^3\) | 12500 |
La función es:
\[ P(t)=100000\cdot 0,5^t \]
Ejercicio 2
Un medicamento en el torrente sanguíneo se reduce en un \(25\%\) cada 4 horas. Si se administra una dosis de 50 mg, completa la tabla y escribe la función que modela la cantidad de medicamento.
| Tiempo (horas) | Cálculo | Cantidad de medicamento (mg) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 4 | ||
| 8 | ||
| 12 |
Como el medicamento se reduce en un \(25\%\), el factor de disminución es:
\[ b=1-0,25=0,75 \]
| Tiempo (horas) | Cálculo | Cantidad de medicamento (mg) |
|---|---|---|
| 0 | \(50\) | 50 |
| 4 | \(50\cdot 0,75\) | 37,5 |
| 8 | \(50\cdot 0,75^2\) | 28,125 |
| 12 | \(50\cdot 0,75^3\) | 21,094 |
Como la disminución ocurre cada 4 horas, si \(t\) se mide en horas, la función es:
\[ M(t)=50\cdot 0,75^{\frac{t}{4}} \]
Ejercicios sin tabla
Ejercicio 3
La vida media de un isótopo radioactivo es de 8 horas. Si inicialmente hay 120 gramos del isótopo, ¿cuántos gramos quedarán después de 24 horas?
Vida media significa que la cantidad se reduce a la mitad en cada período.
Como la vida media es de 8 horas, después de 24 horas han ocurrido:
\[ \frac{24}{8}=3 \]
períodos de vida media.
Entonces:
\[ C(24)=120\cdot 0,5^3 \]
\[ C(24)=120\cdot 0,125=15 \]
Después de 24 horas quedarán \(15\) gramos.
Ejercicio 4
Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa del \(20\%\) cada hora. Si se administra una dosis de 10 mg, ¿cuántos miligramos quedarán en el cuerpo después de 5 horas?
Como el medicamento disminuye un \(20\%\), el factor de disminución es:
\[ b=1-0,20=0,80 \]
El modelo es:
\[ M(t)=10\cdot 0,80^t \]
Después de 5 horas:
\[ M(5)=10\cdot 0,80^5 \]
\[ M(5)=10\cdot 0,32768=3,2768 \]
Después de 5 horas quedarán aproximadamente \(3,28\) mg.
Ejercicio 5
Una población de aves disminuye un \(5\%\) cada año. Si actualmente hay 2000 aves, ¿cuántas habrá aproximadamente después de 7 años?
Como la población disminuye un \(5\%\), el factor de disminución es:
\[ b=1-0,05=0,95 \]
El modelo es:
\[ P(t)=2000\cdot 0,95^t \]
Después de 7 años:
\[ P(7)=2000\cdot 0,95^7 \]
\[ P(7)=2000\cdot 0,6983372961=1396,6745922 \]
Después de 7 años habrá aproximadamente \(1397\) aves.
Ejercicio 6
Un activo se deprecia a una tasa del \(15\%\) anual. Si su valor inicial era de $50.000, ¿cuál será su valor después de 4 años?
Como el activo disminuye un \(15\%\), el factor de disminución es:
\[ b=1-0,15=0,85 \]
El modelo es:
\[ V(t)=50000\cdot 0,85^t \]
Después de 4 años:
\[ V(4)=50000\cdot 0,85^4 \]
\[ V(4)=50000\cdot 0,52200625=26100,3125 \]
Después de 4 años, su valor será aproximadamente $26.100.
Ejercicios de identificación
Ejercicio 7
Indica el factor de disminución en cada caso.
| Situación | Factor de disminución |
|---|---|
| Una cantidad se reduce a la mitad. | |
| Una cantidad disminuye un \(8\%\). | |
| Una cantidad disminuye un \(30\%\). | |
| Una cantidad conserva el \(72\%\) de su valor en cada período. |
| Situación | Factor de disminución |
|---|---|
| Una cantidad se reduce a la mitad. | \(0,5\) |
| Una cantidad disminuye un \(8\%\). | \(1-0,08=0,92\) |
| Una cantidad disminuye un \(30\%\). | \(1-0,30=0,70\) |
| Una cantidad conserva el \(72\%\) de su valor en cada período. | \(0,72\) |
Ejercicio 8
Escribe una función exponencial para cada situación.
| Situación | Función |
|---|---|
| Una sustancia comienza con 80 gramos y se reduce a la mitad cada hora. | |
| Un auto cuesta inicialmente $12.000.000 y pierde un \(10\%\) de su valor cada año. | |
| Una dosis inicial de 40 mg conserva el \(60\%\) de su cantidad cada 3 horas. |
| Situación | Función |
|---|---|
| Una sustancia comienza con 80 gramos y se reduce a la mitad cada hora. | \(C(t)=80\cdot 0,5^t\) |
| Un auto cuesta inicialmente $12.000.000 y pierde un \(10\%\) de su valor cada año. | \(V(t)=12000000\cdot 0,90^t\) |
| Una dosis inicial de 40 mg conserva el \(60\%\) de su cantidad cada 3 horas. | \(M(t)=40\cdot 0,60^{\frac{t}{3}}\) |
Cierre
En el decrecimiento exponencial, la cantidad inicial se multiplica repetidamente por un mismo factor entre 0 y 1.
La forma general del modelo es:
\[ f(t)=a\cdot b^t \]
Cuando \(0<b<1\), la función representa decrecimiento exponencial.