2. Inecuaciones con Números Racionales: Introducción

Inecuaciones con Números Racionales: Introducción

🤓 ¿Qué es una Inecuación?

Una inecuación es simplemente una desigualdad entre dos expresiones que tienen al menos una incógnita. Si una ecuación es una declaración de igualdad (ej: \(x+2=5\)), una inecuación es una declaración de "desbalance" (ej: \(x+2 > 5\)). A diferencia de las ecuaciones, que suelen tener una o dos soluciones, las inecuaciones generalmente tienen infinitas soluciones.

Símbolos de Desigualdad y Conjunto Solución

Para hablar de desigualdades, usamos cuatro símbolos clave. El conjunto de todos los números que hacen que la inecuación sea verdadera se llama conjunto solución.

Símbolo Significado Ejemplo Intervalo Solución
\( > \) Mayor que \( x > 2 \) \( (2, \infty) \)
\( < \) Menor que \( x < -1 \) \( (-\infty, -1) \)
\( \geq \) Mayor o igual que \( x \geq 5 \) \( [5, \infty) \)
\( \leq \) Menor o igual que \( x \leq 0 \) \( (-\infty, 0] \)
💡 Paréntesis vs. Corchetes

Recuerda siempre esta regla para los intervalos:
- Paréntesis huevo: El número del extremo no se incluye en la solución. Se usa con los símbolos \( > \) y \( < \).
- Corchete [ ]: El número del extremo sí se incluye en la solución. Se usa con los símbolos \( \geq \) y \( \leq \).
- El infinito (\( \infty \)) siempre lleva paréntesis, porque no es un número que se pueda "alcanzar" o incluir.

Representación Gráfica en la Recta Numérica

Una forma muy visual de entender el conjunto solución es dibujándolo en la recta numérica. Usamos un círculo vacío (o un paréntesis) para un extremo no incluido y un círculo relleno (o un corchete) para un extremo incluido.

Ejemplo 1: \( x > 3 \)
Se marca el 3 con un círculo vacío y se sombrea toda la recta hacia la derecha.

Ejemplo 2: \( x \leq -2 \)
Se marca el -2 con un círculo relleno y se sombrea toda la recta hacia la izquierda.

Inecuaciones con Números Racionales: Introducción

¿Qué es una Inecuación?

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen una o más incógnitas. A diferencia de las ecuaciones, que tienen un conjunto solución limitado (o vacío), las inecuaciones suelen tener infinitas soluciones.

🤓

El Conjunto Solución y la Notación de Intervalos

El conjunto solución de una inecuación es el conjunto de todos los valores de la incógnita que hacen que la desigualdad sea verdadera. Se puede expresar usando la notación de intervalos o mediante una representación gráfica en la recta numérica.

La notación de intervalos utiliza paréntesis "huevo" para indicar que un extremo del intervalo no está incluido (extremo abierto), y corchetes "[ ]" para indicar que sí está incluido (extremo cerrado).

  • Ejemplo 1: \( x > 2 \) se representa como \( (2, \infty) \), que significa todos los números mayores que 2, sin incluir el 2.
  • Ejemplo 2: \( x \leq -1 \) se representa como \( (-\infty, -1] \), que significa todos los números menores o iguales que -1, incluyendo el -1.
  • Ejemplo 3: \( -3 < x \leq 5 \) se representa como \( (-3, 5] \), que significa todos los números mayores que -3 y menores o iguales que 5. El -3 no está incluido, pero el 5 sí.

Representación Gráfica

Podemos representar el conjunto solución de una inecuación en la recta numérica. Se utiliza un círculo vacío (o paréntesis) para indicar que un extremo no está incluido y un círculo relleno (o corchete) para indicar que sí está incluido.

Ejemplo A: \( x > 3 \)

Representa todos los números mayores que 3. El 3 no está incluido en la solución (círculo vacío).

Ejemplo B: \( x \leq -2 \)

Representa todos los números menores o iguales que -2. El -2 está incluido en la solución (círculo relleno).

Ejemplo C: \( 1 \leq x < 6 \)

Representa todos los números mayores o iguales que 1 y menores que 6. El 1 está incluido (círculo relleno), pero el 6 no (círculo vacío).

Ejercicios

⚠️

¡Cuidado con los Símbolos!

Un error muy común es confundir "mayor que" (\( > \)) con "mayor o igual que" (\( \geq \)). Recuerda que la rayita del "igual" en \(\geq\) y \(\leq\) es la clave que nos indica si el número en el extremo del intervalo se incluye en la solución. ¡Prestar atención a este detalle es fundamental!

Identificando Símbolos de Desigualdad

1. ¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase "mayor que"?

2. ¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase "menor o igual que"?

3. Escribe la desigualdad que representa la frase "x es mayor que -5":

4. Escribe la desigualdad que representa la frase "y es menor que o igual a 10":

5. ¿Cuál es la diferencia entre los símbolos ">" y "≥"?

Representando Conjuntos Solución

6. Dibuja en la recta numérica el conjunto solución de \( x < 4 \).

7. Dibuja en la recta numérica el conjunto solución de \( x \geq -2 \).

8. Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución representado en la siguiente recta numérica:

9. Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución representado en la siguiente recta numérica:

10. Escribe la desigualdad que corresponde al intervalo \( [-3, 2) \).

Escribiendo Desigualdades

11. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que 5.

12. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que -2.

13. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números entre -4 y 3, incluyendo el -4 pero no el 3.

14. (Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que \( \frac{1}{2} \).

15. (Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que \( -\frac{3}{4} \).

16. (Literales) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que "a".

17. (Literales) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que "b + 2".