Resolviendo inecuaciones: propiedades y métodos
Propiedades de las desigualdades
Para resolver inecuaciones usamos propiedades similares a las de las ecuaciones, pero con una diferencia importante cuando se multiplica o divide por números negativos.
- Suma y resta: podemos sumar o restar el mismo número a ambos lados sin cambiar el sentido de la desigualdad.
- Multiplicación y división por un número positivo: el sentido de la desigualdad se mantiene.
- Multiplicación y división por un número negativo: el sentido de la desigualdad se invierte.
La regla de oro al despejar
Si multiplicas o divides ambos lados de una inecuación por un número negativo, debes invertir el sentido de la desigualdad.
- \(<\) se transforma en \(>\).
- \(>\) se transforma en \(<\).
- \(\leq\) se transforma en \(\geq\).
- \(\geq\) se transforma en \(\leq\).
Este es uno de los errores más comunes al resolver inecuaciones.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: inecuación de un paso
Resuelve:
\[ x+4>9 \]Restamos \(4\) en ambos lados:
\[ x>9-4 \] \[ x>5 \]Solución en notación de intervalo:
\[ (5,\infty) \]Ejemplo 2: inecuación con factor positivo
Resuelve:
\[ 3x\leq 12 \]Dividimos por \(3\). Como \(3\) es positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene:
\[ x\leq \frac{12}{3} \] \[ x\leq 4 \]Solución en notación de intervalo:
\[ (-\infty,4] \]Ejemplo 3: inecuación con factor negativo
Resuelve:
\[ -2x<8 \]Dividimos por \(-2\). Como \(-2\) es negativo, se invierte el sentido de la desigualdad:
\[ x>\frac{8}{-2} \] \[ x>-4 \]Solución en notación de intervalo:
\[ (-4,\infty) \]Ejemplo 4: inecuación de dos pasos
Resuelve:
\[ 2x-5\geq 3 \]Sumamos \(5\) en ambos lados:
\[ 2x\geq 3+5 \] \[ 2x\geq 8 \]Dividimos por \(2\). Como es positivo, el sentido se mantiene:
\[ x\geq \frac{8}{2} \] \[ x\geq 4 \]Solución en notación de intervalo:
\[ [4,\infty) \]Ejemplo 5: inecuación de dos pasos con cambio de sentido
Resuelve:
\[ -4x+1<9 \]Restamos \(1\) en ambos lados:
\[ -4x<9-1 \] \[ -4x<8 \]Dividimos por \(-4\). Como es negativo, se invierte el sentido de la desigualdad:
\[ x>\frac{8}{-4} \] \[ x>-2 \]Solución en notación de intervalo:
\[ (-2,\infty) \]Ejercicios
Inecuaciones de un paso
Ejercicio 1
Resuelve: \(x+7>10\)
Restamos \(7\) en ambos lados:
\[ x>10-7 \] \[ x>3 \]Solución:
\[ (3,\infty) \]Ejercicio 2
Resuelve: \(x-3\leq 2\)
Sumamos \(3\) en ambos lados:
\[ x\leq 2+3 \] \[ x\leq 5 \]Solución:
\[ (-\infty,5] \]Ejercicio 3
Resuelve: \(4x<20\)
Dividimos por \(4\), que es positivo:
\[ x<\frac{20}{4} \] \[ x<5 \]Solución:
\[ (-\infty,5) \]Ejercicio 4
Resuelve: \(-5x\geq 15\)
Dividimos por \(-5\). Como es negativo, se invierte el sentido de la desigualdad:
\[ x\leq \frac{15}{-5} \] \[ x\leq -3 \]Solución:
\[ (-\infty,-3] \]Ejercicio 5
Resuelve: \(\frac{x}{2}>-4\)
Multiplicamos por \(2\), que es positivo:
\[ x>-4\cdot 2 \] \[ x>-8 \]Solución:
\[ (-8,\infty) \]Ejercicio 6
Resuelve: \(x+\frac{1}{2}<\frac{3}{2}\)
Restamos \(\frac{1}{2}\) en ambos lados:
\[ x<\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \] \[ x<\frac{2}{2} \] \[ x<1 \]Solución:
\[ (-\infty,1) \]Ejercicio 7
Resuelve: \(2x\geq \frac{2}{3}\)
Dividimos por \(2\), que es positivo:
\[ x\geq \frac{2}{3}\div 2 \] \[ x\geq \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2} \] \[ x\geq \frac{1}{3} \]Solución:
\[ \left[\frac{1}{3},\infty\right) \]Ejercicio 8
Resuelve: \(-\frac{1}{3}x\leq 4\)
Multiplicamos por \(-3\). Como es negativo, se invierte el sentido de la desigualdad:
\[ x\geq 4(-3) \] \[ x\geq -12 \]Solución:
\[ [-12,\infty) \]Ejercicio 9
Resuelve para \(x\): \(x+a>b\)
Restamos \(a\) en ambos lados:
\[ x>b-a \]Solución:
\[ x>b-a \]Ejercicio 10
Resuelve para \(x\): \(cx\leq d\), considerando que \(c<0\).
Dividimos por \(c\). Como \(c<0\), se invierte el sentido de la desigualdad:
\[ x\geq \frac{d}{c} \]Solución:
\[ x\geq \frac{d}{c} \]Inecuaciones de dos pasos
Ejercicio 11
Resuelve: \(2x+3<9\)
Restamos \(3\) en ambos lados:
\[ 2x<9-3 \] \[ 2x<6 \]Dividimos por \(2\), que es positivo:
\[ x<3 \]Solución:
\[ (-\infty,3) \]Ejercicio 12
Resuelve: \(-3x+4\leq 16\)
Restamos \(4\) en ambos lados:
\[ -3x\leq 16-4 \] \[ -3x\leq 12 \]Dividimos por \(-3\). Como es negativo, se invierte el sentido de la desigualdad:
\[ x\geq \frac{12}{-3} \] \[ x\geq -4 \]Solución:
\[ [-4,\infty) \]Ejercicio 13
Resuelve: \(-2x-6<4\)
Sumamos \(6\) en ambos lados:
\[ -2x<4+6 \] \[ -2x<10 \]Dividimos por \(-2\). Como es negativo, se invierte el sentido de la desigualdad:
\[ x>\frac{10}{-2} \] \[ x>-5 \]Solución:
\[ (-5,\infty) \]Ejercicio 14
Resuelve: \(\frac{1}{2}x+3\leq 5\)
Restamos \(3\) en ambos lados:
\[ \frac{1}{2}x\leq 5-3 \] \[ \frac{1}{2}x\leq 2 \]Multiplicamos por \(2\), que es positivo:
\[ x\leq 4 \]Solución:
\[ (-\infty,4] \]Ejercicio 15
Resuelve: \(-\frac{3}{4}x+2\leq \frac{1}{2}\)
Restamos \(2\) en ambos lados:
\[ -\frac{3}{4}x\leq \frac{1}{2}-2 \] \[ -\frac{3}{4}x\leq \frac{1}{2}-\frac{4}{2} \] \[ -\frac{3}{4}x\leq -\frac{3}{2} \]Dividimos por \(-\frac{3}{4}\). Como es negativo, se invierte el sentido de la desigualdad:
\[ x\geq -\frac{3}{2}\div\left(-\frac{3}{4}\right) \] \[ x\geq -\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right) \] \[ x\geq 2 \]Solución:
\[ [2,\infty) \]Ejercicio 16
Resuelve para \(x\): \(ax+b0\).
Restamos \(b\) en ambos lados:
\[ axDividimos por \(a\). Como \(a>0\), el sentido de la desigualdad se mantiene: \[ x<\frac{c-b}{a} \]Solución:
\[ x<\frac{c-b}{a} \]Ejercicio 17
Resuelve para \(x\): \(mx-n\geq p\), considerando que \(m<0\).
Sumamos \(n\) en ambos lados:
\[ mx\geq p+n \]Dividimos por \(m\). Como \(m<0\), se invierte el sentido de la desigualdad:
\[ x\leq \frac{p+n}{m} \]Solución:
\[ x\leq \frac{p+n}{m} \]