6. Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos

Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos

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Propiedades de las Desigualdades

Para resolver inecuaciones, utilizamos propiedades similares a las de las ecuaciones, pero con una diferencia crucial en la multiplicación y división:

  • Suma y Resta: Podemos sumar o restar el mismo número a ambos lados de una inecuación sin alterar el sentido de la desigualdad.
  • Multiplicación y División por un número POSITIVO: Si multiplicamos o dividimos ambos lados por un número positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene.
  • Multiplicación y División por un número NEGATIVO: Si multiplicamos o dividimos ambos lados por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte (por ejemplo, de \( < \) a \( > \)).
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¡La Regla de Oro al Despejar!

Al igual que con las ecuaciones, podemos "pasar" términos de un lado a otro cambiando su operación. Sin embargo, ¡mucho cuidado! Si pasas un número negativo que está multiplicando o dividiendo al otro lado, DEBES invertir el sentido de la desigualdad. Este es el error más común, ¡no caigas en la trampa!

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Inecuación de un paso (Suma)

Resuelve la inecuación: \( x + 4 > 9 \)

"Pasamos" el 4 al lado derecho restando:

\( x > 9 - 4 \)

\( x > 5 \)

Solución: \( x > 5 \) o en notación de intervalos \( (5, \infty) \)

Ejemplo 2: Inecuación con factor positivo

Resuelve la inecuación: \( 3x \leq 12 \)

"Pasamos" el 3 al lado derecho dividiendo. Como es positivo, el sentido no cambia:

\( x \leq \frac{12}{3} \)

\( x \leq 4 \)

Solución: \( x \leq 4 \) o en notación de intervalos \( (-\infty, 4] \)

Ejemplo 3: Inecuación con factor negativo (¡Ojo aquí!)

Resuelve la inecuación: \( -2x < 8 \)

"Pasamos" el -2 dividiendo. Como es negativo, invertimos el sentido de la desigualdad de \( < \) a \( > \):

\( x > \frac{8}{-2} \)

\( x > -4 \)

Solución: \( x > -4 \) o en notación de intervalos \( (-4, \infty) \)

Ejemplo 4: Inecuación de dos pasos

Resuelve la inecuación: \( 2x - 5 \geq 3 \)

1. "Pasamos" el -5 al lado derecho sumando:

\( 2x \geq 3 + 5 \)

\( 2x \geq 8 \)

2. "Pasamos" el 2 dividiendo (como es positivo, no se cambia el sentido):

\( x \geq \frac{8}{2} \)

\( x \geq 4 \)

Solución: \( x \geq 4 \) o en notación de intervalos \( [4, \infty) \)

Ejemplo 5: Inecuación de dos pasos (con cambio de sentido)

Resuelve la inecuación: \( -4x + 1 < 9 \)

1. "Pasamos" el 1 restando al lado derecho:

\( -4x < 9 - 1 \)

\( -4x < 8 \)

2. "Pasamos" el -4 dividiendo. Como es negativo, invertimos el sentido de la desigualdad de \( < \) a \( > \):

\( x > \frac{8}{-4} \)

\( x > -2 \)

Solución: \( x > -2 \) o en notación de intervalos \( (-2, \infty) \)

Ejercicios

Inecuaciones de un paso

1. (Enteros) Resuelve: \( x + 7 > 10 \)

2. (Enteros) Resuelve: \( x - 3 \leq 2 \)

3. (Enteros) Resuelve: \( 4x < 20 \)

4. (Enteros) Resuelve: \( -5x \geq 15 \)

5. (Enteros) Resuelve: \( \frac{x}{2} > -4 \)

6. (Racionales) Resuelve: \( x + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} \)

7. (Racionales) Resuelve: \( 2x \geq \frac{2}{3} \)

8. (Racionales) Resuelve: \( -\frac{1}{3}x \leq 4 \)

9. (Literales) Resuelve para x: \( x + a > b \)

10. (Literales) Resuelve para x: \( cx \leq d \) (considerando que \( c < 0 \))

Inecuaciones de dos pasos

11. (Enteros) Resuelve: \( 2x + 3 < 9 \)

12. (Enteros) Resuelve: \( -3x + 4 \leq 16 \)

13. (Enteros) Resuelve: \( -2x - 6 < 4 \)

14. (Racionales) Resuelve: \( \frac{1}{2}x + 3 \leq 5 \)

15. (Racionales) Resuelve: \( -\frac{3}{4}x + 2 \leq \frac{1}{2} \)

16. (Literales) Resuelve para x: \( ax + b < c \) (considerando que \( a > 0 \))

17. (Literales) Resuelve para x: \( mx - n \geq p \) (considerando que \( m < 0 \))