Capitulos 5.2 Inecuaciones
7. Inecuaciones Avanzadas: Incógnita en Ambos Lados y Paréntesis
Inecuaciones Avanzadas: Incógnita en Ambos Lados y Paréntesis
Estrategia Clave: Agrupar y Simplificar
Cuando la incógnita aparece en ambos lados, el primer paso es siempre agrupar. La recomendación es mover todos los términos con la incógnita (la 'x') a un lado de la desigualdad y todos los términos constantes (los números solos) al otro lado. Esto ordenará la inecuación y te dejará el camino libre para el despeje final.
Resolviendo Inecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
Ejemplo 1: Agrupando términos
Resuelve la inecuación: \( 5x - 3 > 2x + 6 \)
1. Agrupamos los términos con 'x' a la izquierda y las constantes a la derecha:
\( 5x - 2x > 6 + 3 \)
2. Simplificamos ambos lados:
\( 3x > 9 \)
3. Despejamos 'x'. Como el 3 es positivo, el signo no cambia:
\( x > \frac{9}{3} \)
\( x > 3 \)
Solución: \( x > 3 \) o en notación de intervalos \( (3, \infty) \)
Procedimiento: Inecuaciones con Paréntesis
- Eliminar Paréntesis: Aplica la propiedad distributiva para expandir las expresiones.
- Agrupar Términos: Mueve todos los términos con la incógnita a un lado y las constantes al otro.
- Simplificar: Reduce las expresiones en ambos lados.
- Despejar: Aísla la incógnita. ¡Recuerda invertir el signo de la desigualdad si multiplicas o divides por un número negativo!
Resolviendo Inecuaciones con Paréntesis
Ejemplo 2: Propiedad distributiva
Resuelve la inecuación: \( 2(x + 4) \leq 5x - 1 \)
1. Aplicamos la propiedad distributiva:
\( 2x + 8 \leq 5x - 1 \)
2. Agrupamos términos:
\( 2x - 5x \leq -1 - 8 \)
\( -3x \leq -9 \)
3. Despejamos 'x'. Como dividimos por -3 (negativo), invertimos el signo de \( \leq \) a \( \geq \):
\( x \geq \frac{-9}{-3} \)
\( x \geq 3 \)
Solución: \( x \geq 3 \) o en notación de intervalos \( [3, \infty) \)
Ejemplo 3: Un caso especial (sin solución)
Resuelve la inecuación: \( 2(3x - 1) < 6x - 5 \)
1. Aplicamos la propiedad distributiva:
\( 6x - 2 < 6x - 5 \)
2. Agrupamos los términos con 'x':
\( 6x - 6x < -5 + 2 \)
\( 0x < -3 \)
\( 0 < -3 \)
Llegamos a una afirmación que es falsa (0 no es menor que -3). Esto significa que no existe ningún valor de 'x' que haga verdadera la inecuación.
Solución: No tiene solución, o conjunto solución vacío \( \emptyset \).
Ejercicios
Inecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
1. (Enteros) Resuelve: \( 6x - 5 > 4x + 3 \)
\( 6x - 4x > 3 + 5 \)
\( 2x > 8 \)
\( x > 4 \)
Solución: \( (4, \infty) \)
2. (Enteros) Resuelve: \( 3x + 2 \leq x + 8 \)
\( 3x - x \leq 8 - 2 \)
\( 2x \leq 6 \)
\( x \leq 3 \)
Solución: \( (-\infty, 3] \)
3. (Enteros) Resuelve: \( -2x + 7 < 4x - 5 \)
\( -2x - 4x < -5 - 7 \)
\( -6x < -12 \)
\( x > \frac{-12}{-6} \) (¡Se invierte el signo!)
\( x > 2 \)
Solución: \( (2, \infty) \)
4. (Racionales) Resuelve: \( \frac{1}{2}x + 2 > \frac{1}{4}x + 3 \)
\( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x > 3 - 2 \)
\( \frac{1}{4}x > 1 \)
\( x > 4 \)
Solución: \( (4, \infty) \)
5. (Racionales) Resuelve: \( \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \leq x + 1 \)
\( \frac{2}{3}x - x \leq 1 + \frac{1}{3} \)
\( -\frac{1}{3}x \leq \frac{4}{3} \)
\( x \geq \frac{4}{3} \cdot (-3) \) (¡Se invierte el signo!)
\( x \geq -4 \)
Solución: \( [-4, \infty) \)
6. (Literales) Resuelve para x: \( ax + b \geq cx + d \) (considera \( a > c \))
\( ax - cx \geq d - b \)
\( (a - c)x \geq d - b \)
Como \(a > c\), entonces \((a-c)\) es positivo. El signo no cambia.
\( x \geq \frac{d - b}{a - c} \)
7. (Literales) Resuelve para x: \( mx - n < px + q \) (considera \( m < p \))
\( mx - px < q + n \)
\( (m - p)x < q + n \)
Como \(m < p\), entonces \((m-p)\) es negativo. ¡El signo se invierte!
\( x > \frac{q + n}{m - p} \)
Inecuaciones con Paréntesis
8. (Enteros) Resuelve: \( 3(x - 2) \leq x + 4 \)
\( 3x - 6 \leq x + 4 \)
\( 3x - x \leq 4 + 6 \)
\( 2x \leq 10 \)
\( x \leq 5 \)
Solución: \( (-\infty, 5] \)
9. (Enteros) Resuelve: \( -2(x + 1) > 3x - 7 \)
\( -2x - 2 > 3x - 7 \)
\( -2x - 3x > -7 + 2 \)
\( -5x > -5 \)
\( x < \frac{-5}{-5} \) (¡Se invierte el signo!)
\( x < 1 \)
Solución: \( (-\infty, 1) \)
10. (Enteros) Resuelve: \( -3(x + 2) < -x - 8 \)
\( -3x - 6 < -x - 8 \)
\( -3x + x < -8 + 6 \)
\( -2x < -2 \)
\( x > \frac{-2}{-2} \) (¡Se invierte el signo!)
\( x > 1 \)
Solución: \( (1, \infty) \)
11. (Racionales) Resuelve: \( 2(\frac{1}{2}x - 1) > x + 3 \)
\( x - 2 > x + 3 \)
\( x - x > 3 + 2 \)
\( 0 > 5 \)
La afirmación "0 es mayor que 5" es falsa.
Solución: No tiene solución (Conjunto vacío \( \emptyset \))
12. (Racionales) Resuelve: \( \frac{1}{3}(3x + 6) \leq 2x - 1 \)
\( x + 2 \leq 2x - 1 \)
\( x - 2x \leq -1 - 2 \)
\( -x \leq -3 \)
\( x \geq 3 \) (¡Se invierte el signo!)
Solución: \( [3, \infty) \)
13. (Literales) Resuelve para x: \( a(x + b) < c \) (considera \( a > 0 \))
\( ax + ab < c \)
\( ax < c - ab \)
\( x < \frac{c - ab}{a} \)
14. (Literales) Resuelve para x: \( m(x - n) \geq p \) (considera \( m < 0 \))
\( mx - mn \geq p \)
\( mx \geq p + mn \)
\( x \leq \frac{p + mn}{m} \) (¡Se invierte el signo!)