Capitulos 5.2 Inecuaciones
8. Resolviendo Problemas con Inecuaciones
Resolviendo Problemas con Inecuaciones
Las inecuaciones son una herramienta muy útil para resolver problemas en los que no buscamos un valor exacto, sino un rango de valores posibles. Los pasos para resolver problemas con inecuaciones son similares a los que seguimos con las ecuaciones.
Pasos para Resolver Problemas con Inecuaciones
- Comprender el problema: Leer cuidadosamente el enunciado, identificar la información relevante y lo que se pide encontrar.
- Definir la incógnita: Elegir una letra (generalmente "x") para representar la cantidad desconocida. Es fundamental escribir claramente qué representa la incógnita en el contexto del problema.
- Plantear la inecuación: Traducir el enunciado a una inecuación matemática, prestando atención a palabras clave como "mayor que", "menor que", "al menos" o "como máximo".
- Resolver la inecuación: Utilizar los métodos aprendidos para despejar la incógnita.
- Interpretar la solución: Verificar si la solución tiene sentido en el contexto del problema (p. ej., una cantidad de objetos no puede ser una fracción) y responder a la pregunta planteada.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Problema de Edades
La edad de Pedro es mayor que 10 años, y sabemos que el doble de su edad, menos 6 años, es menor que 20. ¿Qué edades podría tener Pedro?
1. Definir la incógnita: Sea "x" la edad de Pedro.
2. Plantear la inecuación: Tenemos dos condiciones: \(x > 10\) y \(2x - 6 < 20\).
3. Resolver la inecuación principal:
\( 2x < 20 + 6 \)
\( 2x < 26 \)
\( x < 13 \)
4. Interpretar la solución: La edad de Pedro ("x") debe cumplir ambas condiciones: ser mayor que 10 y menor que 13. Los únicos números enteros que cumplen esto son 11 y 12.
Respuesta: Pedro podría tener 11 o 12 años.
Ejemplo 2: Problema de Compras
Ana quiere comprar varios cuadernos que cuestan $2 cada uno. Si tiene $15, ¿cuántos cuadernos como máximo puede comprar?
1. Definir la incógnita: Sea "x" la cantidad de cuadernos.
2. Plantear la inecuación: El costo total (2x) debe ser menor o igual al dinero que tiene: \(2x \leq 15\).
3. Resolver la inecuación:
\( x \leq \frac{15}{2} \)
\( x \leq 7.5 \)
4. Interpretar la solución: Como "x" representa cuadernos, debe ser un número entero. El mayor entero que es menor o igual a 7.5 es 7.
Respuesta: Ana puede comprar como máximo 7 cuadernos.
Ejercicios
Sección: Identificando la Incógnita
En los siguientes ejercicios, te ayudamos a traducir el lenguaje común al lenguaje matemático.
1. Situación: Un camión puede cargar como máximo 1500 kg. Se suben 10 cajas de 40 kg cada una y varias cajas de 25 kg cada una.
Inecuación: \( 10 \cdot 40 + 25x \leq 1500 \)
Preguntas: ¿Qué representa "x"? ¿Y la expresión "25x"?
- "x" representa la cantidad de cajas que pesan 25 kg.
- "25x" representa el peso total de esas cajas de 25 kg.
2. Situación: Para aprobar un ramo, se necesita un promedio mayor o igual a 6. Un estudiante tiene un 5 y un 7.
Inecuación: \( \frac{5 + 7 + x}{3} \geq 6 \)
Preguntas: ¿Qué representa "x"? ¿Qué representa toda la fracción?
- "x" representa la nota que necesita en la tercera prueba.
- La fracción representa el promedio de las tres notas.
Sección: Resolución de Problemas
Matemáticas en la Vida Real
Los siguientes problemas muestran cómo las inecuaciones se aplican en situaciones cotidianas, desde calcular un presupuesto para un viaje en taxi hasta comparar planes de telefonía o entender indicadores de salud como el Índice de Masa Corporal (IMC). ¡Presta atención a cómo traducimos cada escenario a un modelo matemático!
3. Problema: Un taxi cobra $2 por la bajada de bandera y $0.5 por cada kilómetro. Si un pasajero tiene $10, ¿cuántos kilómetros como máximo puede recorrer?
Planteamiento: Sea "x" los km. El costo total debe ser menor o igual a 10: \( 2 + 0.5x \leq 10 \)
Resolución:
\( 0.5x \leq 8 \)
\( x \leq 16 \)
Respuesta: Puede recorrer como máximo 16 kilómetros.
4. Problema: Para mantener su beca, un estudiante necesita un promedio mayor o igual a 8.5 en 4 exámenes. Si ya tiene las notas 7.8, 9.2 y 8.0, ¿qué nota necesita como mínimo en el cuarto examen?
Planteamiento: Sea "x" la cuarta nota. El promedio debe ser mayor o igual a 8.5: \( \frac{7.8 + 9.2 + 8.0 + x}{4} \geq 8.5 \)
Resolución:
\( \frac{25 + x}{4} \geq 8.5 \)
\( 25 + x \geq 34 \)
\( x \geq 9 \)
Respuesta: Debe obtener al menos un 9 en el cuarto examen.
5. Problema: Un vendedor tiene un sueldo base de $500 y recibe $20 de comisión por cada teléfono vendido. Si quiere ganar al menos $1200 este mes, ¿cuántos teléfonos debe vender?
Planteamiento: Sea "x" el número de teléfonos. Su ganancia total debe ser mayor o igual a 1200: \( 500 + 20x \geq 1200 \)
Resolución:
\( 20x \geq 700 \)
\( x \geq 35 \)
Respuesta: Debe vender al menos 35 teléfonos.
6. Problema: Se considera que una persona tiene obesidad si su IMC es mayor o igual a 30. La fórmula es \(IMC = \frac{masa}{estatura^2}\). Si una persona pesa 90 kg, ¿a partir de qué estatura (hacia abajo) se consideraría obesa?
Planteamiento: Sea "h" la estatura. Buscamos cuándo el IMC es mayor o igual a 30: \( \frac{90}{h^2} \geq 30 \)
Resolución:
\( 90 \geq 30h^2 \)
\( 3 \geq h^2 \)
\( \sqrt{3} \geq h \)
\( 1.732 \geq h \)
Respuesta: Se consideraría obesa si su estatura es menor o igual a 1.73 metros, aproximadamente.
7. Problema: El Plan A de celular cuesta $15 fijos más $0.1 por minuto. El Plan B cuesta $0.25 por minuto. ¿Para cuántos minutos de llamada es más conveniente el Plan A?
Planteamiento: Sea "x" los minutos. El costo de A debe ser menor que el de B: \( 15 + 0.1x < 0.25x \)
Resolución:
\( 15 < 0.25x - 0.1x \)
\( 15 < 0.15x \)
\( 100 < x \)
Respuesta: El Plan A es más conveniente si habla más de 100 minutos.
8. Problema (Literal): Un rectángulo tiene un largo que es "a" unidades mayor que su ancho "x". Si el perímetro debe ser mayor que "b", ¿qué valores puede tomar el ancho?
Datos: Ancho = x, Largo = x + a
Planteamiento: El perímetro es \(2 \cdot (largo) + 2 \cdot (ancho)\). La inecuación es: \( 2(x+a) + 2x > b \)
Resolución:
\( 2x + 2a + 2x > b \)
\( 4x + 2a > b \)
\( 4x > b - 2a \)
\( x > \frac{b - 2a}{4} \)
Respuesta: El ancho "x" debe ser mayor que \( \frac{b - 2a}{4} \).