2. La Función Exponencial

La Función Exponencial: Definición y Propiedades

En la página anterior, vimos ejemplos de situaciones donde una cantidad se multiplica por un factor constante en cada intervalo de tiempo. Este es el comportamiento característico del crecimiento y decrecimiento exponencial, el cual es modelado por la función exponencial.

📐 Definición Formal de la Función Exponencial

Una función exponencial tiene la forma general:

$ f(x) = a \cdot b^x $

$ a $: Es el valor inicial (el valor de $f(x)$ cuando $x=0$). Debe ser $a \neq 0$.
$ b $: Es la base o factor de cambio. Debe ser un número positivo y distinto de 1 ($b > 0$ y $b \neq 1$).
- Si $ b > 1 $, la función modela un crecimiento exponencial.
- Si $ 0 < b < 1 $, la función modela un decrecimiento exponencial.
$ x $: Es la variable independiente, usualmente el tiempo.

🤓 Dominio y Recorrido

Dominio: El dominio de una función exponencial es el conjunto de todos los números reales ($ \mathbb{R} $).
Recorrido (Rango): Si $a > 0$, el recorrido son todos los números reales positivos ($ (0, \infty) $). La función nunca es cero ni negativa.

🤓 Gráfica de la Función Exponencial

Asíntota Horizontal: La gráfica se acerca cada vez más al eje X (la recta y=0) pero nunca lo toca.
Intersección Eje Y: La gráfica siempre cruza el eje Y en el punto (0, a), que es el valor inicial.
Comportamiento: Es una curva suave que siempre crece (si b > 1) o siempre decrece (si 0 < b < 1).

Ejemplos y Ejercicios

🧪 Ejemplo Clave: ¿Por qué la base b debe ser positiva y distinta de 1?

Esta restricción es fundamental para que la función exponencial se comporte de manera predecible. Las razones son:

Si b fuera negativo (ej: $(-2)^x$): La función no estaría definida en los reales para exponentes fraccionarios como $x=1/2$, ya que tendríamos $\sqrt{-2}$.
Si b fuera 1 (ej: $1^x$): La función sería constante ($f(x)=a$), no exponencial.
Si b fuera 0 (ej: $0^x$): La función sería 0 para $x>0$ y no estaría definida para $x \le 0$, lo que no es útil.

Estas reglas aseguran que la función sea continua y sirva para modelar fenómenos de crecimiento y decrecimiento de forma consistente.

🧪 Ejemplos de la Forma $f(x) = a \cdot b^x$

Para $ f(x) = 2 \cdot 3^x $:

Valor inicial $a = 2$.
Base $b = 3$. Como $b > 1$, es crecimiento exponencial.

Para $ g(x) = 100 \cdot (0.5)^x $:

Valor inicial $a = 100$.
Base $b = 0.5$. Como $0 < b < 1$, es decrecimiento exponencial.

🤓 Nota sobre la Base 'e'

En muchos modelos científicos, verás la función escrita como $ f(x) = a \cdot e^{kx} $, donde e es el número de Euler ($\approx 2.718$). Esta forma es equivalente a $a \cdot b^x$ y es especialmente útil en cálculo. Por ahora, nos centraremos en la forma con la base b.

1. Identifica si las siguientes funciones representan crecimiento o decrecimiento, y cuál es su valor inicial (a):

$ f(x) = 7 \cdot 3^x $
$ g(x) = 200 \cdot (0.6)^x $
$ h(x) = 0.2 \cdot 5^x $
$ y = 50 \cdot (1/4)^x $
$ y = 0.1 \cdot (1.1)^x $

2. Para la función $ f(x) = 4 \cdot 2^x $, calcula:

f(0)
f(1)
f(3)
f(-1)
f(-2)

3. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función $ f(x) = 2 \cdot (0.8)^x $?

4. La gráfica de una función exponencial pasa por el punto (0, 3) y tiene una base de 4. ¿Cuál es la ecuación de la función?

5. Empareja cada función con su descripción:

$ f(x) = 200 \cdot (1.02)^x $
$ g(x) = 10 \cdot (0.7)^x $
$ h(x) = 0.5 \cdot 6^x $

Descripciones:

Crecimiento exponencial muy rápido con valor inicial pequeño.
Crecimiento exponencial muy lento con valor inicial grande.
Decrecimiento exponencial con valor inicial intermedio.

6. ¿Cuál de las siguientes funciones crece más rápido para valores grandes de x?

$ f(x) = 100 \cdot 2^x $
$ g(x) = 10 \cdot 3^x $
$ h(x) = 1 \cdot 4^x $

7. Completa la siguiente tabla:

Función	Crecimiento/Decrecimiento	Valor Inicial
$ f(x) = 200 \cdot (1.02)^x $	?	?
$ g(x) = 10 \cdot (0.7)^x $	?	?
$ h(x) = 0.5 \cdot 6^x $	?	?

Función	Crecimiento/Decrecimiento	Valor Inicial
$ f(x) = 200 \cdot (1.02)^x $	Crecimiento	200
$ g(x) = 10 \cdot (0.7)^x $	Decrecimiento	10
$ h(x) = 0.5 \cdot 6^x $	Crecimiento	0.5

8. Para la función $ f(x) = 100 \cdot (0.9)^x $, ¿qué porcentaje de disminución representa la base (0.9) en cada paso?

9. Una población de 50 bacterias se triplica cada hora. ¿Cuál es la función exponencial que modela esta situación?

$ f(x) = 50 \cdot 2^x $
$ f(x) = 50 \cdot 3^x $
$ f(x) = 3 \cdot 50^x $
$ f(x) = 150^x $
$ f(x) = 50 \cdot x^3$

10. Un automóvil se deprecia (pierde valor) un 20% anual. Si su valor inicial es de $20,000, ¿qué función modela esta situación?

$ f(x) = 20000 \cdot (1.2)^x $
$ f(x) = 20000 \cdot (0.8)^x $
$ f(x) = 20000 \cdot (0.2)^x $
$ f(x) = 20000 - 0.2x $

11. ¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde a una gráfica de una función exponencial decreciente?

Una curva que sube rápidamente de izquierda a derecha.
Una curva que baja rápidamente de izquierda a derecha.
Una línea recta que sube de izquierda a derecha.
Una línea recta que baja de izquierda a derecha.

12. ¿Cuál es la asíntota horizontal de la función $ f(x) = 2 \cdot (0.5)^x + 3 $?

y = 0
y = 2
y = 3
y = 0.5

13. ¿En qué punto la gráfica de $f(x) = 5 \cdot 2^x$ intersecta el eje y?

(0, 0)
(5, 0)
(0, 5)
(2, 0)

14. ¿Cuál afirmación sobre $ f(x) = a \cdot b^x $ (con $a>0, b>0, b \neq 1$) es FALSA?

El dominio es todos los reales.
El recorrido es todos los reales positivos.
La gráfica siempre intersecta el eje y.
La gráfica siempre tiene una asíntota horizontal.
La gráfica siempre intersecta el eje x.

15. ¿Qué tipo de función se ajusta mejor a los datos de la tabla?

Tiempo(s)	Distancia(m)
0	5
1	7
2	9
3	11

Lineal
Cuadrática
Exponencial

Ejercicio Adicional: Compara los modelos de depreciación de dos máquinas.

$ f(t) = 10000 \cdot (0.9)^t $

$ g(t) = 8000 \cdot (0.95)^t $

¿Cuál era el valor inicial de cada máquina?
¿Cuál máquina se deprecia más rápidamente? Explica.
¿Qué porcentaje de su valor pierde cada máquina al año?