La restricción \(b > 0\) y \(b \neq 1\) es fundamental para que la función exponencial tenga propiedades útiles y un comportamiento consistente. Aquí están las razones principales:

1. Evitar resultados indefinidos o complejos:
   • Si b fuera negativo: Considera \( f(x) = (-2)^x \). Si x es un entero, no hay problema (ej: \((-2)^2 = 4\), \((-2)^3 = -8\)). Pero si x es una fracción como 1/2, tendríamos \((-2)^{1/2} = \sqrt{-2}\), que es un número imaginario. Para evitar raíces de números negativos (que no están definidas en los números reales), se exige que \(b > 0\).
   • Si b fuera 0: \(0^x\) sería 0 para cualquier x positivo, e indefinido para x negativo o cero. No sería una función exponencial interesante.
   • Si b fuera 1: \(1^x\) sería siempre 1, sin importar el valor de x. Sería una función constante (línea horizontal), no exponencial.
2. Comportamiento consistente y predecible: Con \(b > 0\) y \(b \neq 1\), la función exponencial es:
   • Siempre creciente (si b > 1) o siempre decreciente (si 0 < b < 1).
   • Continua (sin saltos).
   • Suave (sin picos).
   Estas propiedades son cruciales para modelar fenómenos reales. Bases negativas darían oscilaciones erráticas.
3. Inversa Logarítmica: La función exponencial \(f(x) = b^x\) tiene una inversa: la función logarítmica \(f^{-1}(x) = \log_b(x)\). Para que el logaritmo esté bien definido, \(b\) debe ser positivo y diferente de 1.
4. Modelado de Fenómenos Reales: Las funciones exponenciales con \(b > 0\) y \(b \neq 1\) modelan fenómenos de crecimiento y decrecimiento (poblacional, interés compuesto, desintegración radiactiva, etc.). Estos fenómenos se caracterizan por un cambio *proporcional* a la cantidad presente, lo que se traduce en una base positiva. Una base negativa no tendría sentido.

En resumen, la restricción \(b > 0\) y \(b \neq 1\) asegura que la función exponencial tenga un comportamiento bien definido, continuo, predecible, útil para modelar, y con una inversa logarítmica bien definida.

1. Crecimiento (b = 3 > 1), a = 7
2. Decrecimiento (b = 0.6 < 1), a = 200
3. Crecimiento (b = 5 > 1), a = 0.2
4. Decrecimiento (b = 1/4 < 1), a = 50
5. Crecimiento (b= 1.1 > 1), a=0.1

1. f(0) = 4 * 2⁰ = 4 * 1 = 4
2. f(1) = 4 * 2¹ = 4 * 2 = 8
3. f(3) = 4 * 2³ = 4 * 8 = 32
4. f(-1) = 4 * 2^-1 = 4 * (1/2) = 2
5. f(-2) = 4 * 2^-2 = 4*(1/4)= 1

Dominio: Todos los números reales (\(\mathbb{R}\)).

Recorrido: Todos los números reales positivos (\((0, \infty)\)).

La forma general es \( f(x) = a \cdot b^x \). b = 4. Como pasa por (0, 3), f(0) = 3. \( 3 = a \cdot 4^0 = a \cdot 1 = a \). Entonces, a = 3. La ecuación es \( f(x) = 3 \cdot 4^x \).

1. \( f(x) = 200 \cdot (1.02)^x \): B. Crecimiento exponencial lento (b está cerca de 1) con valor inicial grande (a = 200).
2. \( g(x) = 10 \cdot (0.7)^x \): C. Decrecimiento exponencial (b < 1) con valor inicial intermedio (a = 10).
3. \( h(x) = 0.5 \cdot 6^x \): A. Crecimiento exponencial rápido (b = 6) con valor inicial pequeño (a = 0.5).

Respuesta: \( h(x) = 1 \cdot 4^x \)

Explicación: Aunque \( f(x) \) tiene el mayor valor inicial, la *base* de la función exponencial es lo que determina la tasa de crecimiento a largo plazo. La función con la base más grande (4 en este caso) crecerá más rápido.

Respuesta: 10%

Explicación: Una base de 0.9 significa que la función retiene el 90% de su valor anterior cada vez que x aumenta en 1. Por lo tanto, la *disminución* es del 100% - 90% = 10%.

Respuesta correcta: b) \( f(x) = 50 \cdot 3^x \)

Explicación: El valor inicial es 50 (a = 50). La población se *triplica* (se multiplica por 3) cada hora, por lo que la base es 3 (b = 3).

Respuesta correcta: b) \( f(x) = 20000 \cdot (0.8)^x \)

Explicación: El valor inicial es $20,000 (a = 20000). Si el automóvil pierde el 20% de su valor cada año, retiene el 80% (100% - 20% = 80% = 0.8). Por lo tanto, la base es 0.8 (b = 0.8).

Respuesta correcta: b) Una curva que baja rápidamente de izquierda a derecha.

Explicación: Las funciones exponenciales decrecientes tienen una base entre 0 y 1, lo que hace que la gráfica disminuya a medida que x aumenta.

Respuesta correcta: c) y = 3

Explicación: La función \( f(x) = 2 \cdot (0.5)^x \) tiene una asíntota horizontal en y = 0. Sumarle 3 a la función desplaza toda la gráfica (incluida la asíntota) 3 unidades hacia arriba. Por lo tanto, la asíntota horizontal de la función transformada es y = 3.

Respuesta correcta: c) (0, 5)

Explicación: La intersección con el eje y ocurre cuando x = 0. \( f(0) = 5 \cdot 2^0 = 5 \cdot 1 = 5 \). Por lo tanto, el punto es (0, 5).

Respuesta correcta: e) La gráfica siempre intersecta el eje x.

Explicación: La gráfica de una función exponencial básica *nunca* intersecta el eje x (a menos que se apliquen transformaciones). Tiene una asíntota horizontal en y = 0.

Respuesta correcta: a) Lineal

Explicación: La distancia aumenta en 2 metros por cada segundo, por lo que se trata de una función lineal, ya que la diferencia entre cada valor es siempre la misma.

1. Máquina f(x): $10,000. Máquina g(x): $8,000.
2. La máquina f(x) se deprecia más rápidamente. Su base (0.9) es menor que la base de g(x) (0.95). Un valor de *b* más cercano a 0 indica un decrecimiento más rápido.
3. Máquina f(x): Pierde el 10% de su valor cada año (1 - 0.9 = 0.1 = 10%). Máquina g(x): Pierde el 5% de su valor cada año (1 - 0.95 = 0.05 = 5%).
4. Elegiría la máquina g(x), ya que se deprecia más lentamente (pierde un menor porcentaje de su valor cada año). Esto significa que, después de unos años, su valor será mayor que el de la máquina f(x).