3. La Función Logarítmica

La Función Logarítmica

Repaso: Logaritmos

Recordemos que el logaritmo es la operación inversa de la exponenciación. Si \( b^y = x \), entonces \( \log_b(x) = y \) (donde b > 0, b ≠ 1, y x > 0).

Definición de la Función Logarítmica

La función logarítmica, con base *b*, se define como:

\[ f(x) = \log_b(x) \]

Donde:

\( x \) es la variable independiente (el *argumento* del logaritmo). Debe ser un número *positivo* (x > 0).
\( f(x) \) es la variable dependiente (el valor del logaritmo).
\( b \) es la *base* del logaritmo (b > 0 y b ≠ 1).

Restricciones sobre la Base y el Argumento

Es importante notar que en la definición de la función logarítmica, \( f(x) = \log_b(x) \), hay restricciones sobre los valores que pueden tomar *b* (la base) y *x* (el argumento):

\( x > 0 \) (El argumento debe ser positivo)
\( b > 0 \) y \( b \neq 1 \) (La base debe ser positiva y diferente de 1)

Pregunta: ¿Por qué existen estas restricciones?

Ejemplo: \( f(x) = \log_2(x) \)

La función logarítmica es la *función inversa* de la función exponencial con la misma base. Esto significa que:

Si \( f(x) = b^x \) y \( g(x) = \log_b(x) \), entonces:
- \( f(g(x)) = b^{\log_b(x)} = x \) (para todo x > 0)
- \( g(f(x)) = \log_b(b^x) = x \) (para todo x real)
Las gráficas de \( f(x) = b^x \) y \( g(x) = \log_b(x) \) son *simétricas* con respecto a la recta \( y = x \).

Ejemplo: \( f(x) = \log_2(x) \)

Base: 2
\( f(4) = \log_2(4) = 2 \) porque \( 2^2 = 4 \)
\( f(8) = \log_2(8) = 3 \) porque \( 2^3 = 8 \)
\( f(1) = \log_2(1) = 0 \) porque \( 2^0 = 1 \)
\( f(\frac{1}{2}) = \log_2(\frac{1}{2}) = -1 \) porque \( 2^{-1} = \frac{1}{2} \)
\( f(0) \) *no está definido* (no existe ningún exponente al que podamos elevar 2 para obtener 0).
\( f(-1) \) *no está definido* (no podemos tomar el logaritmo de un número negativo).

Dominio y Recorrido

Dominio: El dominio de la función logarítmica \( f(x) = \log_b(x) \) es el conjunto de todos los números reales *positivos* (\( (0, \infty) \)). No se puede calcular el logaritmo de 0 ni de un número negativo.
Recorrido (Rango): El recorrido de la función logarítmica es el conjunto de *todos* los números reales (\( \mathbb{R} \)). El resultado de un logaritmo puede ser cualquier número real (positivo, negativo o cero).

Gráfica de la Función Logarítmica

La gráfica de una función logarítmica tiene características importantes:

Forma General: Es una curva suave.
- Si b > 1: La función es *creciente* (sube de izquierda a derecha).
- Si 0 < b < 1: La función es *decreciente* (baja de izquierda a derecha).
Asíntota Vertical: La gráfica se acerca cada vez más al eje y (x = 0), pero *nunca* lo toca. El eje y (x = 0) es una *asíntota vertical*.
Intersección con el Eje x: La gráfica siempre cruza el eje x en el punto (1, 0) (ya que \( \log_b(1) = 0 \) para cualquier base b).

(En Moodle, aquí insertarías imágenes de gráficos de funciones logarítmicas: una con b > 1 y otra con 0 < b < 1, mostrando la asíntota vertical y el punto (1, 0). Idealmente, usar un graficador interactivo).

Ejercicios

Ejercicio 1: Para cada función logarítmica, identifica la base y determina si es creciente o decreciente:

\( f(x) = \log_3(x) \)
\( g(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x) \)
\( h(x) = \log(x) \) (logaritmo común)
\( y = \ln(x) \) (logaritmo natural)

Ejercicio 2: Calcula los siguientes valores (sin calculadora, cuando sea posible):

\( \log_2(8) \)
\( \log_5(1) \)
\( \log(100) \)
\( \ln(e) \)
\( \log_3(\frac{1}{9}) \)
\( \log_4(2) \)

Ejercicio 3: ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función \( f(x) = \log_5(x) \)?

Ejercicio 4: ¿En qué punto la gráfica de \( f(x) = \log_7(x) \) intersecta el eje x?

Ejercicio 5: La gráfica de \( y = \log_b(x) \) pasa por el punto (9, 2). ¿Cuál es el valor de b?

Ejercicio 6: Si \( f(x) = 2^x \) y \( g(x) = \log_2(x) \), calcula:

f(g(8))
g(f(4))

Ejercicio 7: Si \( f(x) = \log(x) \) (logaritmo común), ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

f(100) = 10
f(1) = 1
f(0) = 1
f(10) = 1
f(1000) = 2

Ejercicio 8: ¿Cuál de las siguientes gráficas se parece más a la gráfica de \( f(x) = \log_2(x) \)?

(En Moodle, aquí insertarías imágenes de diferentes gráficas: una logarítmica creciente, una logarítmica decreciente, una exponencial creciente, una lineal, etc.)

Una curva creciente que pasa por (1, 0) y se acerca al eje y.
Una curva decreciente que pasa por (1, 0) y se acerca al eje y.
Una línea recta que pasa por (0, 1).
Una curva creciente que pasa por (0, 1) y se acerca al eje x.
Una curva decreciente que pasa por (0,1) y se acerca al eje x.