Ecuaciones Exponenciales (Parte 2) y Logarítmicas

Repaso: Ecuaciones Exponenciales (Igual Base)

En la página anterior, vimos cómo resolver ecuaciones exponenciales donde podíamos expresar ambos lados con la misma base. Pero, ¿qué pasa si esto no es posible?

Ecuaciones Exponenciales (Diferente Base): Uso de Logaritmos

Cuando no podemos igualar las bases, utilizamos *logaritmos* para resolver ecuaciones exponenciales. La idea clave es aplicar un logaritmo (generalmente logaritmo común (log) o natural (ln)) a *ambos lados* de la ecuación.

Propiedad clave: \( \log_b(a^x) = x \cdot \log_b(a) \)

Esta propiedad nos permite "bajar" el exponente (donde está la incógnita) y convertir la ecuación exponencial en una ecuación lineal (o de otro tipo, pero más fácil de resolver).

Ejemplo Resuelto Paso a Paso

Resolver: \( 2^x = 7 \)

1. Aplicar logaritmos a ambos lados (usaremos logaritmo común, pero podríamos usar ln): \[ \log(2^x) = \log(7) \]
2. Usar la propiedad del logaritmo de una potencia: \[ x \cdot \log(2) = \log(7) \]
3. Despejar x: \[ x = \frac{\log(7)}{\log(2)} \]
4. Calcular con calculadora: \[ x \approx \frac{0.845}{0.301} \approx 2.807 \]
5. Verificar (opcional): \( 2^{2.807} \approx 7 \) (la solución es aproximada debido al redondeo).

Ecuaciones Logarítmicas

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece *dentro* de un logaritmo.

Ejemplos:

• \( \log_2(x) = 3 \)
• \( \log(x + 1) = 2 \)
• \( \ln(2x - 1) = 0 \)
• \( \log_3(x) + \log_3(x - 2) = 1 \)

Estrategias para resolver ecuaciones logarítmicas:

1. Usar la definición de logaritmo: Si tienes una ecuación de la forma \( \log_b(x) = y \), puedes reescribirla en forma exponencial: \( x = b^y \).
2. Usar las propiedades de los logaritmos: Simplifica la ecuación usando las propiedades (producto, cociente, potencia) para obtener un solo logaritmo a un lado de la ecuación.
3. "Exponenciar" ambos lados: Si tienes una ecuación de la forma \( \log_b(A) = \log_b(B) \), entonces puedes concluir que A = B. (Esto es esencialmente "tomar la función exponencial con base b a ambos lados").
4. Verificar las soluciones: *Siempre* verifica las soluciones en la ecuación *original*. Es posible que obtengas soluciones *extrañas* (que no son válidas) debido a las restricciones del dominio de los logaritmos (el argumento debe ser positivo).

Ejemplo Resuelto Paso a Paso 1

Resolver: \( \log_2(x) = 3 \)

1. Usar la definición: Reescribimos en forma exponencial: \[ x = 2^3 \]
2. Calcular: \[ x = 8 \]
3. Verificar: \( \log_2(8) = 3 \) (Correcto).

Ejemplo Resuelto Paso a Paso 2

Resolver: \( \log(x + 1) + \log(x) = \log(6) \)

1. Usar la propiedad del logaritmo de un producto: \[ \log((x+1) \cdot x) = \log(6) \]
2. "Exponenciar" ambos lados (base 10): \[ (x+1) \cdot x = 6 \]
3. Resolver la ecuación cuadrática: \[ x^2 + x = 6 \] \[ x^2 + x - 6 = 0 \] \[ (x + 3)(x - 2) = 0 \] \[ x = -3 \text{ o } x = 2 \]
4. Verificar:
   • x = -3: \( \log(-3 + 1) \) y \( \log(-3) \) *no están definidos* (logaritmos de números negativos). Por lo tanto, x = -3 *no es una solución válida*.
   • x = 2: \( \log(2 + 1) + \log(2) = \log(3) + \log(2) = \log(3 \cdot 2) = \log(6) \) (Correcto).

Resultado: La única solución es x = 2.

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