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Tipos de crecimiento: lineal y exponencial

Objetivo de aprendizaje

Distinguir entre crecimiento lineal y exponencial, modelar situaciones mediante funciones y resolver problemas asociados.

💡 Idea clave

Existen dos formas principales en que cambian las cantidades: sumando una cantidad fija (lineal) o multiplicando por un factor (exponencial).

📐 Comparación fundamental

Crecimiento lineal: suma constante

Crecimiento exponencial: multiplicación constante

Diagrama: tipos de crecimiento

Crecimiento lineal

🤓 Concepto

En el crecimiento lineal, la cantidad cambia sumando o restando siempre el mismo valor.

📐 Modelo

\[ f(t) = valor\ inicial + (cambio \cdot t) \]

Ejemplo: ahorro

Si comienzas con $50 y ahorras $10 cada mes:

\[ f(t) = 50 + 10t \]

🌍 Aplicaciones
  • Ahorro constante
  • Velocidad constante
  • Crecimiento uniforme

Crecimiento exponencial

🤓 Concepto

En el crecimiento exponencial, la cantidad se multiplica por un mismo factor en cada período.

📐 Modelo

\[ f(t) = valor\ inicial \cdot (factor)^t \]

Ejemplo: bacterias

Si una población se duplica:

\[ f(t) = 10 \cdot 2^t \]

🌍 Aplicaciones
  • Crecimiento poblacional
  • Interés compuesto
  • Reproducción celular

Decrecimiento exponencial

🤓 Concepto

En el decrecimiento exponencial, la cantidad se multiplica por un número entre 0 y 1.

📐 Modelo

\[ f(t) = valor\ inicial \cdot (factor)^t \]

con \(0 < factor < 1\)

Ejemplo: desintegración

\[ f(t) = 64 \cdot (0,5)^t \]

🌍 Aplicaciones
  • Vida media
  • Depreciación
  • Enfriamiento

Ejercicios

Ejercicio 1

Un ahorro inicial de $100 aumenta $20 cada mes.

Ejercicio 2

Una población de 50 bacterias se duplica cada hora.

Ejercicio 3

Un valor de $1000 se reduce un 10% cada año.

💡 Cierre

La clave está en identificar si el cambio es constante (lineal) o proporcional (exponencial). Esta decisión determina todo el modelo matemático.