Los números naturales
7. División de Números Naturales
Dividendo, divisor, cociente y resto
La división es una operación que consiste en repartir una cantidad en partes iguales o averiguar cuántas veces una cantidad cabe en otra.
El número que se reparte se llama dividendo, el número por el que se divide se llama divisor, el resultado es el cociente y lo que sobra es el resto o residuo.
Propiedades de la División
Propiedades a recordar
- No es conmutativa: el orden importa. \(10 \div 2\) no es lo mismo que \(2 \div 10\).
- No es asociativa: \((20 \div 4) \div 2\) no es lo mismo que \(20 \div (4 \div 2)\).
- Elemento neutro: cualquier número dividido entre 1 da el mismo número: \(a \div 1 = a\).
- División por sí mismo: si \(a \neq 0\), entonces \(a \div a = 1\).
¡Prohibido dividir por cero!
En las matemáticas escolares, la división por cero no está definida. No tiene sentido repartir una cantidad en cero partes.
Ejercicios de División
Nivel 1: Divisores de un dígito (sin resto)
Ejemplo: \(46815 \div 5\)
\[ \begin{array}{cccccc|l} \color{blue}{4} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{8'} & \color{blue}{1'} & \color{blue}{5'} & : \fbox{5} =\color{purple}{9}\color{red}{3}\color{magenta}{6}\color{red}{3} & Tabla.del.5 \\ \hline \color{purple}{-4} & \color{purple}{5} & & & & & \color{gray}{5 \bullet 1 =5}\\ & \color{pink}{1} & \color{blue}{8} & & & & \color{gray}{5 \bullet 2 =10}\\ & \color{red}{-1} & \color{red}{5} & & & & \color{red}{5 \bullet 3 =15}\\ & & \color{pink}{3} & \color{blue}{1} & & & \color{gray}{5 \bullet 4 =20}\\ & & \color{magenta}{-3} & \color{magenta}{0} & & & \color{gray}{5 \bullet 5 =25}\\ & & & \color{pink}{1} & \color{blue}{5} & & \color{magenta}{5 \bullet 6 =30}\\ & & & \color{red}{1} & \color{red}{5} & & \color{gray}{5 \bullet 7 =35}\\ & & & & 0 & & \color{gray}{5 \bullet 8 =40}\\ & & & & & & \color{purple}{5 \bullet 9 =45}\\ \end{array} \]
Explicación del procedimiento:
- Como \(4\) es menor que \(5\), comenzamos con \(46\). El múltiplo de 5 más cercano sin pasarse es \(45\), porque \(5 \times 9 = 45\). Entonces escribimos \(9\) en el cociente y queda resto \(1\).
- Bajamos el \(8\) y formamos \(18\). El múltiplo de 5 más cercano es \(15\), porque \(5 \times 3 = 15\). Escribimos \(3\) en el cociente y queda resto \(3\).
- Bajamos el \(1\) y formamos \(31\). El múltiplo de 5 más cercano es \(30\), porque \(5 \times 6 = 30\). Escribimos \(6\) y queda resto \(1\).
- Bajamos el \(5\) y formamos \(15\). Como \(5 \times 3 = 15\), escribimos \(3\) y el resto es \(0\).
Resultado: cociente \(9363\) y resto \(0\).
\[ 46815 = 5 \cdot 9363 \]
Ejercicios Nivel 1
En este nivel, las divisiones son exactas, es decir, el resto es \(0\).
- \(6 \div 2\)
- \(15 \div 3\)
- \(24 \div 4\)
- \(125 \div 5\)
- \(248 \div 8\)
- \(369 \div 3\)
- \(1234 \div 2\)
- \(4563 \div 3\)
- \(7895 \div 5\)
- \(9876 \div 6\)
- \(6 \div 2 = 3\), porque \(2 \times 3 = 6\).
- \(15 \div 3 = 5\), porque \(3 \times 5 = 15\).
- \(24 \div 4 = 6\), porque \(4 \times 6 = 24\).
- \(125 \div 5 = 25\), porque \(5 \times 25 = 125\).
- \(248 \div 8 = 31\), porque \(8 \times 31 = 248\).
- \(369 \div 3 = 123\), porque \(3 \times 123 = 369\).
- \(1234 \div 2 = 617\), porque \(2 \times 617 = 1234\).
- \(4563 \div 3 = 1521\), porque \(3 \times 1521 = 4563\).
- \(7895 \div 5 = 1579\), porque \(5 \times 1579 = 7895\).
- \(9876 \div 6 = 1646\), porque \(6 \times 1646 = 9876\).
Nivel 2: Divisores de un dígito (con resto)
Ejemplo: \(1659 \div 8\)
\[ \begin{array}{ccccc|l} \color{blue}{1} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{5'} & \color{blue}{9'} & : \fbox{8} = \color{purple}{2}\color{red}{0}\color{magenta}{7} & \text{Tabla del 8} \\ \hline \color{purple}{-1} & \color{purple}{6} & & & & \color{gray}{8 \times 1 = 8} \\ & \color{pink}{0} & \color{blue}{5} & & & \color{purple}{8 \times 2 = 16} \\ & \color{red}{-0} & \color{red}{0} & & & \color{gray}{8 \times 3 = 24} \\ & & \color{pink}{5} & \color{blue}{9} & & \color{gray}{8 \times 4 = 32} \\ & & \color{magenta}{-5} & \color{magenta}{6} & & \color{gray}{8 \times 5 = 40} \\ & & & \color{green}{3} & & \color{gray}{8 \times 6 = 48} \\ & & & & & \color{magenta}{8 \times 7 = 56} \\ & & & & & \color{gray}{8 \times 8 = 64} \\ & & & & & \color{gray}{8 \times 9 = 72} \\ \end{array} \]
Explicación del procedimiento:
- Tomamos \(16\). Como \(8 \times 2 = 16\), escribimos \(2\) en el cociente y queda resto \(0\).
- Bajamos el \(5\). Como \(5\) es menor que \(8\), en esa posición escribimos \(0\). El resto sigue siendo \(5\).
- Bajamos el \(9\) y formamos \(59\). El múltiplo de 8 más cercano es \(56\), porque \(8 \times 7 = 56\). Escribimos \(7\) y queda resto \(3\).
Resultado: cociente \(207\) y resto \(3\).
\[ 1659 = 8 \cdot 207 + 3 \]
¡Comprueba tu división! (Prueba de la división)
Para verificar una división, usa esta relación:
\[ \text{Dividendo} = (\text{Divisor} \cdot \text{Cociente}) + \text{Resto} \]
Además, el resto siempre cumple que es mayor o igual que \(0\) y menor que el divisor.
Ejercicios Nivel 2
En este nivel, las divisiones pueden tener un resto distinto de cero.
- \(7 \div 2\)
- \(16 \div 3\)
- \(27 \div 4\)
- \(128 \div 5\)
- \(250 \div 8\)
- \(370 \div 3\)
- \(1235 \div 2\)
- \(4568 \div 3\)
- \(7896 \div 5\)
- \(9875 \div 6\)
- \(7 \div 2 = 3\) resto \(1\), porque \(2 \times 3 = 6\) y \(7 - 6 = 1\).
- \(16 \div 3 = 5\) resto \(1\), porque \(3 \times 5 = 15\) y \(16 - 15 = 1\).
- \(27 \div 4 = 6\) resto \(3\), porque \(4 \times 6 = 24\) y \(27 - 24 = 3\).
- \(128 \div 5 = 25\) resto \(3\), porque \(5 \times 25 = 125\) y \(128 - 125 = 3\).
- \(250 \div 8 = 31\) resto \(2\), porque \(8 \times 31 = 248\) y \(250 - 248 = 2\).
- \(370 \div 3 = 123\) resto \(1\), porque \(3 \times 123 = 369\) y \(370 - 369 = 1\).
- \(1235 \div 2 = 617\) resto \(1\), porque \(2 \times 617 = 1234\) y \(1235 - 1234 = 1\).
- \(4568 \div 3 = 1522\) resto \(2\), porque \(3 \times 1522 = 4566\) y \(4568 - 4566 = 2\).
- \(7896 \div 5 = 1579\) resto \(1\), porque \(5 \times 1579 = 7895\) y \(7896 - 7895 = 1\).
- \(9875 \div 6 = 1645\) resto \(5\), porque \(6 \times 1645 = 9870\) y \(9875 - 9870 = 5\).
Nivel 3: Divisores de dos dígitos
Ejemplo: \(1693 \div 12\)
\[ \begin{array}{ccccc|c} \color{blue}{1} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{9'} & \color{blue}{3'} & : \fbox{12} = \color{magenta}{1}\color{red}{4}\color{magenta}{1} & \text{Tabla del 12} \\ \hline \color{magenta}{-1} & \color{magenta}{2} && & &\color{magenta}{ 12 \bullet 1 = 12}\\ & \color{pink}{4} & \color{blue}{9} & && \color{gray}{12 \bullet 2 = 24}\\ & \color{red}{-4} & \color{red}{8} && & \color{gray}{12 \bullet 3 = 36}\\ & & \color{pink}{1} & \color{blue}{3} &&\color{red}{ 12 \bullet 4 = 48}\\ && \color{magenta}{-1} & \color{magenta}{2} & & \color{gray}{12 \bullet 5 = 60}\\ & &&\color{green}{1} & & \color{gray}{\dots} \\ \end{array} \]
Explicación del procedimiento:
- Tomamos \(16\). El múltiplo de 12 que más se acerca sin pasarse es \(12\), porque \(12 \times 1 = 12\). Escribimos \(1\) en el cociente y queda resto \(4\).
- Bajamos el \(9\) y formamos \(49\). El múltiplo de 12 más cercano es \(48\), porque \(12 \times 4 = 48\). Escribimos \(4\) y queda resto \(1\).
- Bajamos el \(3\) y formamos \(13\). El múltiplo más cercano es \(12\), porque \(12 \times 1 = 12\). Escribimos \(1\) y queda resto \(1\).
Resultado: cociente \(141\) y resto \(1\).
\[ 1693 = 12 \cdot 141 + 1 \]
Ejercicios Nivel 3
El procedimiento es el mismo, pero ahora debemos estimar usando múltiplos de un divisor de dos dígitos.
- \(123 \div 12\)
- \(456 \div 24\)
- \(789 \div 32\)
- \(1024 \div 16\)
- \(5678 \div 45\)
- \(9876 \div 78\)
- \(1000 \div 25\)
- \(2468 \div 57\)
- \(9753 \div 86\)
- \(1111 \div 11\)
- \(123 \div 12 = 10\) resto \(3\), porque \(12 \times 10 = 120\) y \(123 - 120 = 3\).
- \(456 \div 24 = 19\), porque \(24 \times 19 = 456\).
- \(789 \div 32 = 24\) resto \(21\), porque \(32 \times 24 = 768\) y \(789 - 768 = 21\).
- \(1024 \div 16 = 64\), porque \(16 \times 64 = 1024\).
- \(5678 \div 45 = 126\) resto \(8\), porque \(45 \times 126 = 5670\) y \(5678 - 5670 = 8\).
- \(9876 \div 78 = 126\) resto \(48\), porque \(78 \times 126 = 9828\) y \(9876 - 9828 = 48\).
- \(1000 \div 25 = 40\), porque \(25 \times 40 = 1000\).
- \(2468 \div 57 = 43\) resto \(17\), porque \(57 \times 43 = 2451\) y \(2468 - 2451 = 17\).
- \(9753 \div 86 = 113\) resto \(35\), porque \(86 \times 113 = 9718\) y \(9753 - 9718 = 35\).
- \(1111 \div 11 = 101\), porque \(11 \times 101 = 1111\).
Nivel 4: Divisores de tres o más dígitos
Ejercicios Nivel 4
El procedimiento no cambia, pero requiere más estimación y más cuidado al elegir los múltiplos del divisor.
- \(5678 \div 123\)
- \(9876 \div 456\)
- \(12345 \div 789\)
- \(24680 \div 102\)
- \(13579 \div 246\)
- \(86420 \div 975\)
- \(11111 \div 111\)
- \(99999 \div 333\)
- \(10000 \div 456\)
- \(88888 \div 222\)
- \(5678 \div 123 = 46\) resto \(20\), porque \(123 \times 46 = 5658\) y \(5678 - 5658 = 20\).
- \(9876 \div 456 = 21\) resto \(300\), porque \(456 \times 21 = 9576\) y \(9876 - 9576 = 300\).
- \(12345 \div 789 = 15\) resto \(510\), porque \(789 \times 15 = 11835\) y \(12345 - 11835 = 510\).
- \(24680 \div 102 = 241\) resto \(98\), porque \(102 \times 241 = 24582\) y \(24680 - 24582 = 98\).
- \(13579 \div 246 = 55\) resto \(49\), porque \(246 \times 55 = 13530\) y \(13579 - 13530 = 49\).
- \(86420 \div 975 = 88\) resto \(620\), porque \(975 \times 88 = 85800\) y \(86420 - 85800 = 620\).
- \(11111 \div 111 = 100\) resto \(11\), porque \(111 \times 100 = 11100\) y \(11111 - 11100 = 11\).
- \(99999 \div 333 = 300\) resto \(99\), porque \(333 \times 300 = 99900\) y \(99999 - 99900 = 99\).
- \(10000 \div 456 = 21\) resto \(424\), porque \(456 \times 21 = 9576\) y \(10000 - 9576 = 424\).
- \(88888 \div 222 = 400\) resto \(88\), porque \(222 \times 400 = 88800\) y \(88888 - 88800 = 88\).
Resolución de Problemas con División
¿Cuándo debo dividir?
La división responde principalmente a dos grandes preguntas: repartir en partes iguales o averiguar cuántas veces cabe una cantidad en otra.
- Términos de reparto: “repartir”, “distribuir”, “compartir”, “a cada uno le tocan...”.
- Términos de agrupamiento: “¿cuántos grupos se pueden formar?” o “¿cuántas veces cabe?”.
- Fracciones de un todo: “la mitad”, “la tercera parte”, “la cuarta parte”, etc.
- Palabras directas: a veces el problema dirá “dividir” o “cociente”.
Problemas de Aplicación
- Se quieren repartir 48 chocolates entre 6 amigos en partes iguales. ¿Cuántos chocolates le tocan a cada uno?
- Un padre quiere repartir \(100\) pesos entre sus 4 hijos. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?
- En una escuela hay 240 estudiantes. Si se quieren formar equipos de 8 estudiantes, ¿cuántos equipos se pueden formar?
- Un libro tiene 360 páginas. Si quiero leerlo en 12 días, leyendo la misma cantidad cada día, ¿cuántas páginas debo leer por día?
- Se compraron 50 metros de tela para hacer 10 vestidos iguales. ¿Cuánta tela se usará para cada vestido?
- Un agricultor cosechó 729 manzanas y quiere guardarlas en cajas. Si en cada caja caben 9 manzanas, ¿cuántas cajas necesita?
- Una fábrica produjo 7500 juguetes en una semana laboral de 5 días. Si cada día se fabricó la misma cantidad, ¿cuántos juguetes se produjeron por día?
- Un avión recorre 2400 kilómetros en 3 horas a velocidad constante. ¿Cuántos kilómetros recorre por hora?
- Se quieren repartir 96 galletas entre un grupo de niños. Si a cada niño le tocan 8 galletas, ¿cuántos niños hay en el grupo?
- María tiene ahorrado \(3600\) pesos y quiere comprar libros que cuestan \(900\) pesos cada uno. ¿Cuántos libros puede comprar?
- Se divide \(48 \div 6 = 8\). A cada amigo le tocan 8 chocolates.
- Se divide \(100 \div 4 = 25\). A cada hijo le corresponden 25 pesos.
- Se divide \(240 \div 8 = 30\). Se pueden formar 30 equipos.
- Se divide \(360 \div 12 = 30\). Debe leer 30 páginas por día.
- Se divide \(50 \div 10 = 5\). Cada vestido usa 5 metros de tela.
- Se divide \(729 \div 9 = 81\). Necesita 81 cajas.
- Se divide \(7500 \div 5 = 1500\). Se produjeron 1500 juguetes por día.
- Se divide \(2400 \div 3 = 800\). Recorre 800 kilómetros por hora.
- Se divide \(96 \div 8 = 12\). Hay 12 niños en el grupo.
- Se divide \(3600 \div 900 = 4\). María puede comprar 4 libros.