Libro Números Naturales
12. Potencias de Números Naturales
¿Qué es una potencia?
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación repetida de un número por sí mismo. Se compone de una base y un exponente.
Elementos de una potencia: \(2^3=8\)
- Base \(2\): es el número que se multiplica.
- Exponente \(3\): indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
- Potencia \(8\): es el resultado de la operación.
Se lee “dos elevado a tres” o “dos al cubo”, y significa:
Reglas especiales que no debes olvidar
- Exponente cero: cualquier número natural distinto de cero elevado a \(0\) es igual a \(1\). Por ejemplo: \[ 7^0=1 \]
- Exponente uno: cualquier número elevado a \(1\) es igual al mismo número. Por ejemplo: \[ 15^1=15 \]
- Base uno: el número \(1\) elevado a cualquier potencia es siempre \(1\). Por ejemplo: \[ 1^{10}=1 \]
- Base cero: si \(n>0\), entonces: \[ 0^n=0 \] En esta unidad no trabajaremos con \(0^0\).
Ejercicios de cálculo de potencias
Ejercicio 1
Calcula \(2^4\).
Desarrollamos la potencia:
\[ 2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16 \]
Resultado: \(\boxed{16}\).
Ejercicio 2
Calcula \(4^3\).
Desarrollamos la potencia:
\[ 4^3=4\cdot4\cdot4=64 \]
Resultado: \(\boxed{64}\).
Ejercicio 3
Calcula \(6^2\).
Desarrollamos la potencia:
\[ 6^2=6\cdot6=36 \]
Resultado: \(\boxed{36}\).
Ejercicio 4
Calcula \(3^5\).
Desarrollamos la potencia:
\[ 3^5=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=243 \]
Resultado: \(\boxed{243}\).
Ejercicio 5
Calcula \(9^3\).
Desarrollamos la potencia:
\[ 9^3=9\cdot9\cdot9=729 \]
Resultado: \(\boxed{729}\).
Ejercicio 6
Calcula \(10^6\).
Multiplicamos \(10\) por sí mismo seis veces:
\[ 10^6=10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10=1\,000\,000 \]
Resultado: \(\boxed{1\,000\,000}\).
Ejercicio 7
Calcula \(15^2\).
Desarrollamos la potencia:
\[ 15^2=15\cdot15=225 \]
Resultado: \(\boxed{225}\).
Ejercicio 8
Calcula \(1^{10}\).
Como la base es \(1\), el resultado siempre es \(1\):
\[ 1^{10}=1 \]
Resultado: \(\boxed{1}\).
Ejercicio 9
Calcula \(8^0\).
Todo número natural distinto de \(0\) elevado a \(0\) es igual a \(1\):
\[ 8^0=1 \]
Resultado: \(\boxed{1}\).
Ejercicio 10
Calcula \(20^2\).
Desarrollamos la potencia:
\[ 20^2=20\cdot20=400 \]
Resultado: \(\boxed{400}\).
El árbol de potencias
Una forma visual de entender las potencias
Un árbol de potencias permite ver cómo crece una cantidad cuando cada rama se vuelve a dividir la misma cantidad de veces.
Ejemplo con base \(2\): partimos con \(1\). Luego cada rama se divide en \(2\):
Cargando árbol de potencias...
El árbol muestra el crecimiento:
\[ 1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 8 \]
Por eso:
\[ 2^3=8 \]
Idea clave
En una potencia \(a^n\), la base \(a\) indica cuántas ramas salen en cada etapa, y el exponente \(n\) indica cuántas etapas se repiten.
Extensión del patrón con tabla
La tabla permite continuar el patrón sin dibujar todas las ramas.
| Exponente | Base \(2\) | Base \(3\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(2^0=1\) | \(3^0=1\) |
| \(1\) | \(2^1=2\) | \(3^1=3\) |
| \(2\) | \(2^2=4\) | \(3^2=9\) |
| \(3\) | \(2^3=8\) | \(3^3=27\) |
| \(4\) | \(2^4=16\) | \(3^4=81\) |
| \(5\) | \(2^5=32\) | \(3^5=243\) |
| \(6\) | \(2^6=64\) | \(3^6=729\) |
¿Por qué no dibujar todos los niveles?
Los árboles de potencias crecen muy rápido. Por ejemplo, un árbol de base \(3\) hasta el exponente \(4\) tendría \(3^4=81\) hojas finales. Por eso conviene mostrar las primeras ramas y continuar el patrón mediante una tabla.
Encontrar la base
Cuando se conoce la potencia
A veces ocurre lo contrario: se conoce el resultado y el exponente, y se debe determinar la base. En esta página trabajaremos ese proceso dentro de los números naturales.
Ejercicios para encontrar la base
Ejercicio 11
Si \(x^2=25\), ¿cuánto vale \(x\) en los números naturales?
Buscamos un número natural que, al multiplicarse por sí mismo, dé \(25\):
\[ 5\cdot5=25 \]
Entonces:
\[ x=\boxed{5} \]
Ejercicio 12
Si \(x^3=27\), ¿cuánto vale \(x\) en los números naturales?
Buscamos un número natural cuyo cubo sea \(27\):
\[ 3^3=3\cdot3\cdot3=27 \]
Por lo tanto:
\[ x=\boxed{3} \]
Ejercicio 13
Si \(x^4=81\), ¿cuánto vale \(x\) en los números naturales?
Probamos con \(3\):
\[ 3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81 \]
Entonces:
\[ x=\boxed{3} \]
Ejercicio 14
Si \(x^2=100\), ¿cuánto vale \(x\) en los números naturales?
Buscamos el número natural cuyo cuadrado sea \(100\):
\[ 10^2=10\cdot10=100 \]
Entonces:
\[ x=\boxed{10} \]
Ejercicio 15
Si \(x^3=64\), ¿cuánto vale \(x\) en los números naturales?
Buscamos un número natural cuyo cubo sea \(64\):
\[ 4^3=4\cdot4\cdot4=64 \]
Por lo tanto:
\[ x=\boxed{4} \]
Ejercicio 16
Si \(x^5=32\), ¿cuánto vale \(x\) en los números naturales?
Buscamos un número natural cuya quinta potencia sea \(32\):
\[ 2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32 \]
Entonces:
\[ x=\boxed{2} \]
Ejercicio 17
Si \(x^2=144\), ¿cuánto vale \(x\) en los números naturales?
Buscamos el número natural cuyo cuadrado sea \(144\):
\[ 12^2=12\cdot12=144 \]
Por lo tanto:
\[ x=\boxed{12} \]
Ejercicio 18
Si \(x^3=125\), ¿cuánto vale \(x\) en los números naturales?
Buscamos un número natural cuyo cubo sea \(125\):
\[ 5^3=5\cdot5\cdot5=125 \]
Entonces:
\[ x=\boxed{5} \]
Ejercicio 19
Si \(x^4=625\), ¿cuánto vale \(x\) en los números naturales?
Observamos que:
\[ 5^4=5\cdot5\cdot5\cdot5=625 \]
Por lo tanto:
\[ x=\boxed{5} \]
Ejercicio 20
Si \(x^6=1\), ¿cuánto vale \(x\) en los números naturales?
En los números naturales, el único número cuya sexta potencia es \(1\) es \(1\):
\[ 1^6=1 \]
Entonces:
\[ x=\boxed{1} \]
Problemas con potencias
Las potencias en acción
Las potencias aparecen en situaciones de crecimiento, conteo y multiplicación repetida. En los siguientes problemas, el objetivo es reconocer cuándo una situación puede representarse mediante una potencia.
Ejercicio 21
Un edificio tiene \(4\) pisos. Cada piso tiene \(4\) departamentos y en cada departamento viven \(4\) personas. ¿Cuántas personas viven en el edificio? Expresa el resultado como una potencia.
Multiplicamos la cantidad de pisos, departamentos por piso y personas por departamento:
\[ 4\cdot4\cdot4=4^3 \]
Ahora calculamos:
\[ 4^3=64 \]
Viven \(\boxed{64}\) personas en el edificio, y el cálculo se expresa como \(4^3\).
Ejercicio 22
Una bacteria se duplica cada hora. Si al principio hay una bacteria, ¿cuántas habrá después de \(5\) horas?
Duplicarse significa multiplicar por \(2\) en cada hora. Si comienza con \(1\) bacteria, después de \(5\) horas habrá:
\[ 1\cdot 2^5=32 \]
Después de \(5\) horas habrá \(\boxed{32}\) bacterias.
Ejercicio 23
Juan ahorra dinero duplicando la cantidad del día anterior. Si el primer día ahorró \(\$1\), ¿cuánto dinero habrá ahorrado en total al final del séptimo día?
Si el primer día ahorra \(1=2^0\), entonces los siete días corresponden a:
\[ 2^0,\ 2^1,\ 2^2,\ 2^3,\ 2^4,\ 2^5,\ 2^6 \]
Sumamos todo lo ahorrado:
\[ 1+2+4+8+16+32+64=127 \]
Al final del séptimo día habrá ahorrado \(\boxed{\$127}\).
Ejercicio 24
En un tablero de ajedrez se pone \(1\) grano de trigo en el primer casillero, \(2\) en el segundo, \(4\) en el tercero, y así sucesivamente. ¿Cuántos granos hay en el quinto casillero?
Cada casillero duplica la cantidad anterior:
\[ 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16 \]
El quinto casillero corresponde a:
\[ 2^4=16 \]
En el quinto casillero hay \(\boxed{16}\) granos.
Ejercicio 25
María envía una cadena de mensajes a \(3\) amigos. Cada amigo la reenvía a otros \(3\), y estos a su vez a otros \(3\). ¿Cuántas personas reciben el mensaje en la tercera ronda de reenvíos?
En cada ronda la cantidad se multiplica por \(3\):
\[ 3,\quad 3^2,\quad 3^3 \]
En la tercera ronda de reenvíos reciben el mensaje:
\[ 3^3=27 \]
En esa ronda lo reciben \(\boxed{27}\) personas.