Libro números naturales
15. Propiedades de las Potencias
Introducción
Las potencias tienen propiedades que permiten simplificar expresiones y resolver operaciones de manera más eficiente. A continuación se presentan las propiedades más importantes, con ejemplos, ejercicios y problemas.
1. Producto de potencias de igual base
Regla
Al multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
Ejemplo:
\[ 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32 \]
Ejercicios
Ejercicio 1
Resuelve \(3^2 \cdot 3^4\).
Se mantiene la base 3 y se suman los exponentes:
\[ 3^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6 = 729 \]
Ejercicio 2
Resuelve \(5^3 \cdot 5^1\).
\[ 5^3 \cdot 5^1 = 5^{3+1} = 5^4 = 625 \]
Ejercicio 3
Resuelve \(10^2 \cdot 10^5\).
\[ 10^2 \cdot 10^5 = 10^{2+5} = 10^7 = 10000000 \]
Ejercicio 4
Resuelve \(2^6 \cdot 2^0\).
\[ 2^6 \cdot 2^0 = 2^{6+0} = 2^6 = 64 \]
Ejercicio 5
Resuelve \(7^2 \cdot 7^3 \cdot 7^1\).
Se suman todos los exponentes de la misma base:
\[ 7^2 \cdot 7^3 \cdot 7^1 = 7^{2+3+1} = 7^6 = 117649 \]
Ejercicio 6
Si \(2^3 \cdot 2^x = 2^7\), ¿cuánto vale \(x\)?
Como las bases son iguales, se igualan los exponentes:
\[ 2^{3+x}=2^7 \]
Entonces:
\[ 3+x=7 \Rightarrow x=4 \]
Ejercicio 7
Si \(a^4 \cdot a^2 = 64\), encuentra \(a\).
Primero se simplifica:
\[ a^4 \cdot a^2 = a^6 \]
Entonces:
\[ a^6=64=2^6 \]
Si se trabaja en números naturales, se obtiene:
\[ a=2 \]
En números reales, las soluciones son \(a=2\) y \(a=-2\).
Problemas
Problema 1
Un tipo de bacteria duplica su población cada hora. Si inicialmente hay \(2^3\) bacterias, ¿cuántas habrá después de 4 horas? Expresa la respuesta como una potencia de 2.
Duplicar durante 4 horas equivale a multiplicar por \(2^4\):
\[ 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \]
Habrá \(2^7\) bacterias.
Problema 2
Juan tiene \(3^2\) cajas de canicas. Si en cada caja guarda \(3^3\) canicas, ¿cuántas canicas tiene en total? Expresa la respuesta como una potencia de 3.
Se multiplica la cantidad de cajas por las canicas de cada caja:
\[ 3^2 \cdot 3^3 = 3^{2+3} = 3^5 \]
Tiene \(3^5\) canicas.
Problema 3
Si \(5^x \cdot 5^3 = 5^7\), ¿cuántas veces se multiplicó la base 5 por sí misma en total?
La potencia total es \(5^7\), por lo tanto la base 5 se multiplicó por sí misma 7 veces.
2. Cociente de potencias de igual base
Regla
Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\qquad (a\neq 0) \]
Ejemplo:
\[ 5^4 \div 5^2 = 5^{4-2}=5^2=25 \]
Ejercicios
Ejercicio 1
Resuelve \(2^5 \div 2^3\).
\[ 2^5 \div 2^3 = 2^{5-3} = 2^2 = 4 \]
Ejercicio 2
Resuelve \(7^6 \div 7^2\).
\[ 7^6 \div 7^2 = 7^{6-2} = 7^4 = 2401 \]
Ejercicio 3
Resuelve \(10^8 \div 10^4\).
\[ 10^8 \div 10^4 = 10^{8-4}=10^4=10000 \]
Ejercicio 4
Resuelve \(3^4 \div 3^4\).
\[ 3^4 \div 3^4 = 3^{4-4} = 3^0 = 1 \]
Ejercicio 5
Resuelve \(6^5 \div 6^1\).
\[ 6^5 \div 6^1 = 6^{5-1} = 6^4 = 1296 \]
Ejercicio 6
Si \(3^x \div 3^2 = 3^3\), ¿cuánto vale \(x\)?
\[ 3^{x-2}=3^3 \]
Entonces:
\[ x-2=3 \Rightarrow x=5 \]
Ejercicio 7
Si \(a^5 \div a^x = a^2\) y se sabe que \(a^5=32\), ¿cuánto valen \(a\) y \(x\)?
De \(a^5=32\) se obtiene:
\[ a=2 \]
Luego, usando la propiedad:
\[ a^{5-x}=a^2 \]
Por lo tanto:
\[ 5-x=2 \Rightarrow x=3 \]
La solución es \(a=2\) y \(x=3\).
Problemas
Problema 1
Si la población de bacterias se describe con la potencia \(2^6\) y luego de un experimento se reduce a \(2^2\), ¿en qué factor disminuyó la población? Expresa la respuesta como una potencia de 2.
El factor de disminución es:
\[ 2^6 \div 2^2 = 2^{6-2}=2^4 \]
Disminuyó en un factor de \(2^4\).
Problema 2
Un terreno cuadrado tiene un área de \(10^6\) m². Si se divide en parcelas de \(10^2\) m², ¿cuántas parcelas se obtendrán?
Se divide el área total por el área de cada parcela:
\[ 10^6 \div 10^2 = 10^{6-2} = 10^4 \]
Se obtienen \(10^4\) parcelas.
Problema 3
Si \(7^5 \div 7^x = 7^2\), ¿cuál es el valor de \(x\)?
\[ 7^{5-x}=7^2 \]
Entonces:
\[ 5-x=2 \Rightarrow x=3 \]
3. Potencia de una potencia
Regla
Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.
\[ (a^m)^n = a^{m\cdot n} \]
Ejemplo:
\[ (3^2)^3 = 3^{2\cdot 3}=3^6=729 \]
Ejercicios
Ejercicio 1
Resuelve \((2^3)^2\).
\[ (2^3)^2 = 2^{3\cdot 2}=2^6=64 \]
Ejercicio 2
Resuelve \((5^2)^4\).
\[ (5^2)^4 = 5^{2\cdot 4}=5^8=390625 \]
Ejercicio 3
Resuelve \((10^1)^5\).
\[ (10^1)^5 = 10^{1\cdot 5}=10^5=100000 \]
Ejercicio 4
Resuelve \((4^3)^0\).
\[ (4^3)^0 = 4^{3\cdot 0}=4^0=1 \]
Ejercicio 5
Resuelve \((7^2)^3\).
\[ (7^2)^3 = 7^{2\cdot 3}=7^6=117649 \]
Ejercicio 6
Si \((2^x)^4 = 2^8\), ¿cuánto vale \(x\)?
\[ 2^{4x}=2^8 \]
Entonces:
\[ 4x=8 \Rightarrow x=2 \]
Ejercicio 7
Si \((a^2)^x = 81\) y \(a=3\), ¿cuánto vale \(x\)?
Se reemplaza \(a=3\):
\[ (3^2)^x = 81 \]
\[ 9^x = 81 = 9^2 \]
Por lo tanto:
\[ x=2 \]
Problemas
Problema 1
Una caja cúbica gigante contiene \(5^3\) cajas medianas. Si se apilan \(5^3\) de estas cajas gigantes para formar un súper cubo, ¿cuántas cajas medianas contendrá en total?
Se tienen \(5^3\) cajas gigantes y cada una contiene \(5^3\) cajas medianas:
\[ (5^3)^3 = 5^9 \]
El total es \(5^9\) cajas medianas.
Problema 2
Un terreno cuadrado tiene un lado que mide \(3^4\) metros. ¿Cuál es su área? Expresa la respuesta como una potencia de 3.
El área de un cuadrado es lado al cuadrado:
\[ (3^4)^2 = 3^{4\cdot 2}=3^8 \]
El área es \(3^8\) m².
Problema 3
Si \((3^x)^4 = 3^{12}\), ¿cuál es el valor de \(x\)?
\[ 3^{4x}=3^{12} \]
Entonces:
\[ 4x=12 \Rightarrow x=3 \]
4. Potencias de exponente 0 y 1
Reglas de exponentes especiales
- Exponente 0: cualquier número distinto de 0 elevado a 0 es 1.
\[ a^0=1 \qquad (a\neq 0) \] - Exponente 1: cualquier número elevado a 1 es igual a sí mismo.
\[ a^1=a \]
Ejemplos:
\[ 8^0=1 \qquad 6^1=6 \]
Ejercicios y problemas
Ejercicio 1
Resuelve \(150^0\).
\[ 150^0=1 \]
Ejercicio 2
Resuelve \((25\cdot 4)^1\).
Primero se calcula el producto:
\[ 25\cdot 4=100 \]
Luego:
\[ 100^1=100 \]
Ejercicio 3
Simplifica \((2^3 \cdot 5^2)^0\).
Toda base no nula elevada a 0 es 1:
\[ (2^3 \cdot 5^2)^0 = 1 \]
Ejercicio 4
Si \(x^1=19\), ¿cuánto vale \(x\)?
Como cualquier número elevado a 1 es el mismo número:
\[ x=19 \]
Ejercicio 5
Si \(a^x=1\) y \(a\) es un número natural distinto de 1, ¿cuánto vale \(x\)?
En números naturales, la forma de obtener 1 con base distinta de 1 es usar exponente 0:
\[ a^0=1 \]
Por lo tanto:
\[ x=0 \]
Ejercicio 6
Un objeto tiene una masa de \((2^5)^1\) kilogramos. ¿Cuál es su masa?
Aplicamos exponente 1:
\[ (2^5)^1=2^5=32 \]
La masa es 32 kilogramos.
Ejercicio 7
Resuelve \((100 \div 25)^1\).
\[ 100 \div 25 = 4 \]
Luego:
\[ 4^1=4 \]
Ejercicio 8
¿Cuál es el resultado de \((7^3 \div 7^3)^0\)?
Primero se resuelve el interior:
\[ 7^3 \div 7^3 = 7^{3-3}=7^0=1 \]
Luego:
\[ 1^0=1 \]
5. Potencia de un producto
Regla
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor.
\[ (a\cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]
Ejemplo:
\[ (2\cdot 3)^2 = 2^2\cdot 3^2 = 4\cdot 9 = 36 \]
Ejercicios
Ejercicio 1
Resuelve \((4\cdot 5)^2\).
\[ (4\cdot 5)^2 = 4^2\cdot 5^2 = 16\cdot 25 = 400 \]
Ejercicio 2
Resuelve \((2\cdot 10)^3\).
\[ (2\cdot 10)^3 = 2^3\cdot 10^3 = 8\cdot 1000 = 8000 \]
Ejercicio 3
Resuelve \((3\cdot 3)^2\).
\[ (3\cdot 3)^2 = 3^2\cdot 3^2 = 9\cdot 9 = 81 \]
Ejercicio 4
Resuelve \((6\cdot 1)^4\).
\[ (6\cdot 1)^4 = 6^4\cdot 1^4 = 1296\cdot 1 = 1296 \]
Ejercicio 5
Resuelve \((5\cdot 2)^3\).
\[ (5\cdot 2)^3 = 5^3\cdot 2^3 = 125\cdot 8 = 1000 \]
Ejercicio 6
Si \((2x)^3=1000\), ¿cuánto vale \(x\)?
Buscamos el número cuyo cubo es 1000:
\[ 1000=10^3 \]
Entonces:
\[ 2x=10 \Rightarrow x=5 \]
Ejercicio 7
Simplifica \((4\cdot 2)^2 \div 2^4\) y resuelve.
\[ (4\cdot 2)^2 = 8^2 = 64 \]
Luego:
\[ 64 \div 2^4 = 64 \div 16 = 4 \]
Problemas
Problema 1
Un cuadrado grande tiene un lado que mide \(2\cdot 5\) cm. ¿Cuál es el área del cuadrado? Exprésala usando la propiedad.
El área de un cuadrado es lado al cuadrado:
\[ (2\cdot 5)^2 = 2^2\cdot 5^2 = 4\cdot 25 = 100 \]
El área es 100 cm².
Problema 2
Un terreno rectangular mide \(2^3\) metros de largo y \(5^3\) metros de ancho. ¿Cuál es el área del terreno? Exprésala como la potencia de un producto.
El área es largo por ancho:
\[ 2^3\cdot 5^3 = (2\cdot 5)^3 = 10^3 = 1000 \]
El área es \(10^3\) m².
Problema 3
Si \((2x)^3=64\), ¿cuánto vale \(x\)?
Como \(64=4^3\), se tiene:
\[ 2x=4 \]
Entonces:
\[ x=2 \]
6. Potencia de un cociente
Regla
La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor.
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\qquad (b\neq 0) \]
Ejemplo:
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^2 = \frac{6^2}{3^2} = \frac{36}{9}=4 \]
Ejercicios
Ejercicio 1
Resuelve \((8\div 2)^3\).
\[ (8\div 2)^3 = 4^3 = 64 \]
Ejercicio 2
Resuelve \((10\div 5)^2\).
\[ (10\div 5)^2 = 2^2 = 4 \]
Ejercicio 3
Resuelve \((9\div 3)^4\).
\[ (9\div 3)^4 = 3^4 = 81 \]
Ejercicio 4
Resuelve \((15\div 3)^3\).
\[ (15\div 3)^3 = 5^3 = 125 \]
Ejercicio 5
Resuelve \(\left(\frac{1}{2}\div \frac{1}{4}\right)^2\).
Primero se resuelve el cociente:
\[ \frac{1}{2}\div \frac{1}{4}=2 \]
Luego:
\[ 2^2=4 \]
Ejercicio 6
Si \(\left(\frac{x}{3}\right)^2=4\), encuentra \(x\).
Se tiene:
\[ \frac{x}{3}=\pm 2 \]
Entonces:
\[ x=\pm 6 \]
Si se trabaja en números naturales, la solución es \(x=6\).
Ejercicio 7
Si \(\left(\frac{12}{x}\right)^2=9\), encuentra \(x\).
Se tiene:
\[ \frac{12}{x}=\pm 3 \]
Entonces:
\[ x=\pm 4 \]
Si se trabaja en números naturales, la solución es \(x=4\).
Problemas
Problema 1
Si tienes \((10\div 2)^2\) caramelos y quieres repartirlos entre 5 niños, ¿cuántos caramelos le tocan a cada niño?
Primero se calcula la cantidad de caramelos:
\[ (10\div 2)^2 = 5^2 = 25 \]
Luego se reparte entre 5 niños:
\[ 25\div 5 = 5 \]
A cada niño le tocan 5 caramelos.
Problema 2
Un tanque contiene \((8\div 4)^5\) litros de agua. Si se extrae la mitad, ¿cuántos litros quedan? Expresa la solución usando potencias.
Primero se calcula el contenido del tanque:
\[ (8\div 4)^5 = 2^5 = 32 \]
Si se extrae la mitad, queda la otra mitad:
\[ 32\div 2 = 16 = 2^4 \]
Quedan \(2^4\) litros.
Problema 3
Si \(\left(\frac{x}{2}\right)^3=27\), ¿cuánto vale \(x\)?
Como \(27=3^3\), se tiene:
\[ \frac{x}{2}=3 \]
Entonces:
\[ x=6 \]
Tabla resumen de propiedades
Aquí tienes un resumen de las reglas trabajadas.
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Producto de potencias de igual base | \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\) |
| Cociente de potencias de igual base | \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) |
| Potencia de una potencia | \((a^m)^n = a^{m\cdot n}\) |
| Potencia de un producto | \((a\cdot b)^n = a^n\cdot b^n\) |
| Potencia de un cociente | \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\) |
| Exponente cero | \(a^0=1\) |
| Exponente uno | \(a^1=a\) |
Práctica final: ejercicios mixtos
Ahora a sintetizar
En los siguientes ejercicios, las propiedades aparecen mezcladas. El desafío es identificar qué regla usar en cada caso.
Ejercicio 1
Resuelve \(5^3 \cdot 5^2\).
\[ 5^3 \cdot 5^2 = 5^{3+2}=5^5=3125 \]
Ejercicio 2
Resuelve \(10^9 \div 10^7\).
\[ 10^9 \div 10^7 = 10^{9-7}=10^2=100 \]
Ejercicio 3
Resuelve \((2^4)^3\).
\[ (2^4)^3 = 2^{4\cdot 3}=2^{12}=4096 \]
Ejercicio 4
Resuelve \(47^0\).
\[ 47^0=1 \]
Ejercicio 5
Resuelve \((3\cdot 5)^2\).
\[ (3\cdot 5)^2 = 3^2\cdot 5^2 = 9\cdot 25 = 225 \]
Ejercicio 6
Encuentra el valor de \(x\): \(3^x \cdot 3^5 = 3^8\).
\[ 3^{x+5}=3^8 \]
Entonces:
\[ x+5=8 \Rightarrow x=3 \]
Ejercicio 7
Resuelve \(7^5 \div 7^5\).
\[ 7^5 \div 7^5 = 7^{5-5}=7^0=1 \]
Ejercicio 8
Encuentra el valor de \(a\): \(a^3=64\).
Buscamos el número cuyo cubo es 64:
\[ 4^3=64 \]
Por lo tanto:
\[ a=4 \]
Ejercicio 9
Resuelve \(\left(\frac{10}{2}\right)^3\).
\[ \left(\frac{10}{2}\right)^3 = 5^3 = 125 \]
Ejercicio 10
Resuelve \(19^1\).
\[ 19^1=19 \]
Ejercicio 11
Resuelve \((b^5)^4\).
\[ (b^5)^4 = b^{5\cdot 4}=b^{20} \]
Ejercicio 12
Encuentra el valor de \(y\): \(8^y \div 8^2 = 8^3\).
\[ 8^{y-2}=8^3 \]
Entonces:
\[ y-2=3 \Rightarrow y=5 \]
Ejercicio 13
Resuelve \(2^3 \cdot 2^5 \cdot 2^1\).
\[ 2^3 \cdot 2^5 \cdot 2^1 = 2^{3+5+1}=2^9=512 \]
Ejercicio 14
Resuelve \((5^2 \cdot 3^4)^0\).
\[ (5^2 \cdot 3^4)^0 = 1 \]
Ejercicio 15
Si \((a^3)^x = 125\) y \(a=5\), ¿cuánto vale \(x\)?
Se reemplaza \(a=5\):
\[ (5^3)^x=125 \]
Como \(5^3=125\), queda:
\[ 125^x=125 \]
Por lo tanto:
\[ x=1 \]
Ejercicio 16
Resuelve \((2^2 \cdot 3)^2\).
\[ (2^2 \cdot 3)^2 = (4\cdot 3)^2 = 12^2=144 \]
Ejercicio 17
Resuelve \(\frac{5^6}{5^4}\).
\[ \frac{5^6}{5^4}=5^{6-4}=5^2=25 \]
Ejercicio 18
Encuentra el valor de \(n\): \((10^n)^2=10^6\).
\[ 10^{2n}=10^6 \]
Entonces:
\[ 2n=6 \Rightarrow n=3 \]
Ejercicio 19
Si \((3x)^2=81\), encuentra \(x\).
Se tiene:
\[ 3x=\pm 9 \]
Entonces:
\[ x=\pm 3 \]
Si se trabaja en números naturales, la solución es \(x=3\).
Ejercicio 20
Resuelve \((2^5 \div 2^2)^3\).
Primero se simplifica el interior:
\[ 2^5 \div 2^2 = 2^{5-2}=2^3 \]
Luego:
\[ (2^3)^3=2^9=512 \]
Ejercicio 21
Resuelve \(\frac{(3^2)^3}{3^4}\).
\[ (3^2)^3 = 3^6 \]
Luego:
\[ \frac{3^6}{3^4}=3^{6-4}=3^2=9 \]
Ejercicio 22
Si \(b^2=144\), encuentra \(b\).
Se tiene:
\[ b=\pm 12 \]
Si se trabaja en números naturales, la solución es \(b=12\).
Ejercicio 23
Simplifica \((x^3 \cdot x^5)\div x^2\).
Primero se suman exponentes en el numerador:
\[ x^3 \cdot x^5 = x^{3+5}=x^8 \]
Luego se resta el exponente del divisor:
\[ x^8 \div x^2 = x^{8-2}=x^6 \]
Ejercicio 24
Resuelve \((4^5 \cdot 4^2)^1\).
\[ 4^5 \cdot 4^2 = 4^{5+2}=4^7 \]
Y como el exponente es 1:
\[ (4^7)^1=4^7=16384 \]
Ejercicio 25
Resuelve \(\frac{10^4 \cdot 10^3}{10^5}\).
\[ 10^4 \cdot 10^3 = 10^7 \]
Luego:
\[ \frac{10^7}{10^5}=10^{7-5}=10^2=100 \]
Ejercicio 26
Si \(\left(\frac{z}{4}\right)^2=9\), encuentra \(z\).
Se tiene:
\[ \frac{z}{4}=\pm 3 \]
Entonces:
\[ z=\pm 12 \]
Si se trabaja en números naturales, la solución es \(z=12\).
Ejercicio 27
Simplifica \(\frac{(a^3 \cdot b^4)^2}{a^6 \cdot b^5}\).
Primero se eleva el producto al cuadrado:
\[ (a^3 \cdot b^4)^2 = a^6 \cdot b^8 \]
Luego se simplifica:
\[ \frac{a^6 \cdot b^8}{a^6 \cdot b^5}=b^{8-5}=b^3 \]
Ejercicio 28
Resuelve \(\frac{6^5}{2^5 \cdot 3^5}\).
Como \(2^5\cdot 3^5=(2\cdot 3)^5=6^5\), se obtiene:
\[ \frac{6^5}{2^5 \cdot 3^5} = \frac{6^5}{6^5}=1 \]
Ejercicio 29
Encuentra el valor de \(x\): \(5^{x-1}=25\).
Se escribe 25 como potencia de 5:
\[ 25=5^2 \]
Entonces:
\[ 5^{x-1}=5^2 \Rightarrow x-1=2 \Rightarrow x=3 \]
Ejercicio 30
Un cultivo tiene \(10^2\) bacterias. Si su población se multiplica por \(10^2\) cada hora, ¿cuántas bacterias habrá después de 2 horas?
Población inicial:
\[ 10^2 \]
Después de 1 hora:
\[ 10^2 \cdot 10^2 = 10^4 \]
Después de 2 horas:
\[ 10^4 \cdot 10^2 = 10^6 \]
Habrá \(10^6=1000000\) bacterias.