13. Propiedades de las Potencias

Introducción

Las potencias tienen propiedades que permiten simplificar y resolver operaciones de manera más eficiente. A continuación, se presentan las propiedades más importantes, con ejemplos, ejercicios y problemas.

1. Producto de potencias de igual base

Regla

Al multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.

\[ a^m \times a^n = a^{m+n} \]

Ejemplo

\[ 2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32 \]

Ejercicios

  1. \(3^2 \times 3^4\)
  2. \(5^3 \times 5^1\)
  3. \(10^2 \times 10^5\)
  4. \(2^6 \times 2^0\)
  5. \(7^2 \times 7^3 \times 7^1\)
  6. Si \(2^3 \times 2^x = 2^7\), ¿cuánto vale \(x\)?
  7. Si \(a^4 \times a^2 = 64\) y \(a>0\), ¿cuánto vale \(a\)?

Problemas

  1. Un tipo de bacteria duplica su población cada hora. Si inicialmente hay \(2^3\) bacterias, ¿cuántas habrá después de \(4\) horas? Expresa la respuesta como una potencia de \(2\).
  2. Juan tiene \(3^2\) cajas de canicas. Si en cada caja guarda \(3^3\) canicas, ¿cuántas canicas tiene Juan en total? Expresa la respuesta como una potencia de \(3\).
  3. Si se sabe que \(5^x \times 5^3 = 5^7\), ¿cuántas veces se multiplicó la base \(5\) por sí misma en total?

2. Cociente de potencias de igual base

Regla

Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.

\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \quad \text{si } a\neq 0 \]

Ejemplo

\[ 5^4 \div 5^2 = 5^{4-2}=5^2=25 \]

Ejercicios

  1. \(2^5 \div 2^3\)
  2. \(7^6 \div 7^2\)
  3. \(10^8 \div 10^4\)
  4. \(3^4 \div 3^4\)
  5. \(6^5 \div 6^1\)
  6. Si \(3^x \div 3^2 = 3^3\), ¿cuánto vale \(x\)?
  7. Si \(a^5 \div a^x = a^2\), y se sabe que \(a^5 = 32\), ¿cuánto valen \(a\) y \(x\)?

Problemas

  1. Si la población de bacterias se describe con la potencia \(2^6\) y luego se reduce a \(2^2\), ¿en qué factor disminuyó la población? Expresa la respuesta como una potencia de \(2\).
  2. Un terreno cuadrado tiene un área de \(10^6\) m². Si se divide en parcelas de \(10^2\) m², ¿cuántas parcelas se obtendrán?
  3. Si \(7^5 \div 7^x = 7^2\), ¿cuál es el valor de \(x\)?

3. Potencia de una potencia

Regla

Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.

\[ (a^m)^n = a^{m\cdot n} \]

Ejemplo

\[ (3^2)^3 = 3^{2\cdot 3}=3^6=729 \]

Ejercicios

  1. \((2^3)^2\)
  2. \((5^2)^4\)
  3. \((10^1)^5\)
  4. \((4^3)^0\)
  5. \((7^2)^3\)
  6. Si \((2^x)^4 = 2^8\), ¿cuánto vale \(x\)?
  7. Si \((a^2)^x = 81\) y \(a=3\), ¿cuánto vale \(x\)?

Problemas

  1. Un cubo está formado por \(5^3\) cubitos en cada arista. ¿Cuántos cubitos tiene en total? Expresa la respuesta como una potencia de \(5\).
  2. Un terreno cuadrado tiene un lado que mide \(3^4\) metros. ¿Cuál es su área? Expresa la respuesta como una potencia de \(3\).
  3. Si \((3^x)^4 = 3^{12}\), ¿cuál es el valor de \(x\)?

4. Potencias de exponente 0 y 1

Reglas de exponentes especiales

  • Exponente \(0\): cualquier número distinto de \(0\) elevado a \(0\) es igual a \(1\). \[ a^0=1 \quad \text{si } a\neq 0 \]
  • Exponente \(1\): cualquier número elevado a \(1\) es igual a sí mismo. \[ a^1=a \]

Ejemplos

\[ 8^0=1 \]

\[ 6^1=6 \]

Ejercicios y problemas

  1. Resuelve: \(150^0\)
  2. Resuelve: \((25 \times 4)^1\)
  3. Simplifica: \((2^3 \times 5^2)^0\)
  4. Si \(x^1=19\), ¿cuánto vale \(x\)?
  5. Si \(a^x=1\), con \(a>0\) y \(a\neq 1\), ¿cuánto vale \(x\)?
  6. Un objeto tiene una masa de \((2^5)^1\) kilogramos. ¿Cuál es su masa?
  7. Resuelve: \((100 \div 25)^1\)
  8. ¿Cuál es el resultado de \((7^3 \div 7^3)^0\)?

5. Potencia de un producto

Regla

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor.

\[ (a \times b)^n = a^n \times b^n \]

Ejemplo

\[ (2 \times 3)^2=2^2 \times 3^2=4 \times 9=36 \]

Ejercicios

  1. \((4 \times 5)^2\)
  2. \((2 \times 10)^3\)
  3. \((3 \times 3)^2\)
  4. \((6 \times 1)^4\)
  5. \((5 \times 2)^3\)
  6. Si \((2x)^3=1000\), ¿cuánto vale \(x\)?
  7. Simplifica la expresión \((4 \times 2)^2 \div 2^4\) y luego resuelve.

Problemas

  1. Un cuadrado grande tiene un lado que mide \(2 \times 5\) cm. ¿Cuál es el área del cuadrado? Exprésala usando la propiedad.
  2. Un terreno rectangular mide \(2^3\) metros de largo y \(5^3\) metros de ancho. ¿Cuál es el área del terreno? Exprésala como la potencia de un producto.
  3. Si \((2x)^3=64\), ¿cuánto vale \(x\)?

6. Potencia de un cociente

Regla

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y el divisor.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \quad \text{si } b\neq 0 \]

Ejemplo

\[ \left(\frac{6}{3}\right)^2=\frac{6^2}{3^2}=\frac{36}{9}=4 \]

Ejercicios

  1. \((8 \div 2)^3\)
  2. \((10 \div 5)^2\)
  3. \((9 \div 3)^4\)
  4. \((15 \div 3)^3\)
  5. \(\left(\frac{1}{2} \div \frac{1}{4}\right)^2\)
  6. Si \((x \div 3)^2=4\), ¿cuáles son los valores reales de \(x\)?
  7. Si \((12 \div x)^2=9\), ¿cuáles son los valores reales de \(x\)?

Problemas

  1. Si tienes \((10 \div 2)^2\) caramelos y quieres repartirlos entre \(5\) niños, ¿cuántos caramelos le tocan a cada niño?
  2. Un tanque contiene \((8 \div 4)^5\) litros de agua. Si se extrae la mitad, ¿cuántos litros quedan en el tanque? Expresa la solución usando potencias.
  3. Si \((x \div 2)^3=27\), ¿cuánto vale \(x\)?

Tabla resumen de propiedades

Aquí tienes un resumen de las reglas trabajadas.

Propiedad Fórmula
Producto de potencias de igual base \(a^m \times a^n=a^{m+n}\)
Cociente de potencias de igual base \(a^m \div a^n=a^{m-n}\), con \(a\neq 0\)
Potencia de una potencia \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)
Potencia de un producto \((a \times b)^n=a^n \times b^n\)
Potencia de un cociente \(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\), con \(b\neq 0\)
Exponente cero \(a^0=1\), con \(a\neq 0\)
Exponente uno \(a^1=a\)

Práctica final: ejercicios mixtos

Ahora a sintetizar

En los siguientes ejercicios, las propiedades están mezcladas. El desafío es identificar qué regla o combinación de reglas se necesita usar para encontrar la solución.

Ejercicios mixtos

  1. Resuelve: \(5^3 \times 5^2\)
  2. Resuelve: \(10^9 \div 10^7\)
  3. Resuelve: \((2^4)^3\)
  4. Resuelve: \(47^0\)
  5. Resuelve: \((3 \times 5)^2\)
  6. Encuentra el valor de \(x\): \(3^x \times 3^5=3^8\)
  7. Resuelve: \(7^5 \div 7^5\)
  8. Encuentra el valor de \(a\): \(a^3=64\)
  9. Resuelve: \(\left(\frac{10}{2}\right)^3\)
  10. Resuelve: \(19^1\)
  11. Simplifica: \((b^5)^4\)
  12. Encuentra el valor de \(y\): \(8^y \div 8^2=8^3\)
  13. Resuelve: \(2^3 \times 2^5 \times 2^1\)
  14. Resuelve: \((5^2 \times 3^4)^0\)
  15. Si \((a^3)^x=125\) y \(a=5\), ¿cuánto vale \(x\)?
  16. Resuelve: \((2^2 \times 3)^2\)
  17. Resuelve: \(\frac{5^6}{5^4}\)
  18. Encuentra el valor de \(n\): \((10^n)^2=10^6\)
  19. Si \((3x)^2=81\), ¿cuáles son los valores reales de \(x\)?
  20. Resuelve: \((2^5 \div 2^2)^3\)
  21. Resuelve: \(\frac{(3^2)^3}{3^4}\)
  22. Encuentra los valores reales de \(b\): \(b^2=144\)
  23. Simplifica: \((x^3 \times x^5) \div x^2\), con \(x\neq 0\)
  24. Resuelve: \((4^5 \times 4^2)^1\)
  25. Resuelve: \(\frac{10^4 \times 10^3}{10^5}\)
  26. Encuentra los valores reales de \(z\): \((z \div 4)^2=9\)
  27. Simplifica: \(\frac{(a^3 \times b^4)^2}{a^6 \times b^5}\), con \(a\neq 0\) y \(b\neq 0\)
  28. Resuelve: \(\frac{6^5}{2^5 \times 3^5}\)
  29. Encuentra el valor de \(x\): \(5^{x-1}=25\)
  30. Un cultivo tiene \(10^2\) bacterias. Si su población se multiplica por \(10^2\) cada hora, ¿cuántas bacterias habrá después de \(2\) horas?