8. Potencias de Números Enteros

Potencias de números enteros

Ahora ampliaremos el estudio de las potencias a los números enteros, incluyendo bases negativas.

Cuando una base negativa se eleva a un exponente natural, el signo del resultado depende de si el exponente es par o impar.

Analizando el signo con la base \(-1\)

La base más simple para entender el comportamiento del signo es \(-1\).

Observa el patrón:

\[ (-1)^1=-1 \]

\[ (-1)^2=1 \]

\[ (-1)^3=-1 \]

\[ (-1)^4=1 \]

Cuando el exponente es impar, el resultado es negativo. Cuando el exponente es par, el resultado es positivo.

Regla para potencias de base negativa

Cuando la base de una potencia es un número negativo, el signo del resultado depende del exponente:

  • Si el exponente es par, el resultado es positivo.
  • Si el exponente es impar, el resultado es negativo.

Ejemplos: potencias de base negativa

Veamos cómo se aplica la regla usando la base \(-2\).

  • \[ (-2)^2=(-2)\cdot(-2)=4 \]

    El exponente \(2\) es par, por eso el resultado es positivo.

  • \[ (-2)^3=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8 \]

    El exponente \(3\) es impar, por eso el resultado es negativo.

  • \[ (-2)^4=16 \]

    El exponente \(4\) es par, por eso el resultado es positivo.

  • \[ (-2)^5=-32 \]

    El exponente \(5\) es impar, por eso el resultado es negativo.

No es lo mismo \( (-a)^n \) que \( -a^n \)

Los paréntesis son muy importantes. Cambian cuál es la base de la potencia.

Con paréntesis: la base es negativa Sin paréntesis: la base es positiva
\[ (-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9 \] \[ -3^2=-(3\cdot3)=-9 \]
\[ (-5)^2=(-5)\cdot(-5)=25 \] \[ -5^2=-(5\cdot5)=-25 \]

En \( (-2)^4 \), la base completa es \(-2\):

\[ (-2)^4=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=16 \]

En cambio, en \( -2^4 \), la base de la potencia es solo \(2\), y el signo negativo queda fuera:

\[ -2^4=-(2\cdot2\cdot2\cdot2)=-16 \]

¿Por qué funciona la regla?

Una potencia de base negativa se puede descomponer de esta manera:

\[ (-a)^n=(-1)^n\cdot a^n \]

Como \(a^n\) es positivo si \(a\) es positivo, el signo final depende de \( (-1)^n \).

  • Si \(n\) es par, \( (-1)^n=1 \).
  • Si \(n\) es impar, \( (-1)^n=-1 \).

Ejercicios de Práctica

Cálculos directos

  1. \((-4)^2\)
  2. \((-2)^5\)
  3. \((-1)^7\)
  4. \((-5)^3\)
  5. \((-3)^4\)
  6. \(-10^2\)
  7. \((-6)^3\)
  8. \(-3^3\)
  9. \((-1)^{20}\)
  10. \(-7^2\)
  11. \((-10)^3\)
  12. \(-1^{100}\)
  13. \((-5)^4\)
  14. \(-2^6\)

Encontrar el exponente y simplificar

  1. Si \( (-2)^x=-8 \), ¿cuánto vale \(x\)?
  2. Si \( (-3)^x=81 \), ¿cuánto vale \(x\)?
  3. Simplifica \( (-a)^8 \).
  4. Simplifica \( (-a)^9 \).
  5. Simplifica \( (-2a)^3 \).
  6. Simplifica \( (-1)^x \), donde \(x\) es un número par.

Resolución de problemas

  1. En una actividad de cálculo, se pide elevar \(-3\) a la tercera potencia. ¿Cuál es el resultado?
  2. En un juego, cada vez que pierdes, tu puntaje se multiplica por \(-2\). Si inicias con 5 puntos y pierdes 3 veces seguidas, ¿cuál es tu puntaje final?
  3. Si \( (-2)^x=16 \) y \( (-2)^y=-32 \), ¿cuáles son los valores de \(x\) e \(y\)?