Libro Números Enteros
10. Propiedades de las Potencias
Propiedades de las potencias
Ahora que ya comprendes las potencias de base entera y exponente entero, repasaremos las propiedades fundamentales que ayudan a simplificar y resolver operaciones con ellas.
En las expresiones con cocientes o exponentes negativos, se debe considerar que las bases correspondientes no pueden ser cero.
Mapa de la lección: las 7 propiedades clave
La siguiente tabla resume las propiedades que se trabajarán en esta página.
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| 1. Producto de potencias de igual base | \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) |
| 2. Cociente de potencias de igual base | \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), con \(a\neq 0\) |
| 3. Potencia de una potencia | \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\) |
| 4. Potencia de exponente cero | \(a^0=1\), con \(a\neq 0\) |
| 5. Potencia de exponente uno | \(a^1=a\) |
| 6. Potencia de un producto | \((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\) |
| 7. Potencia de un cociente | \(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\), con \(b\neq 0\) |
1. Producto de Potencias de Igual Base
Producto de potencias de igual base
Cuando se multiplican potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
Ejemplo:
\[ (-2)^3\cdot(-2)^2=(-2)^{3+2}=(-2)^5=-32 \]
Ejercicios
- \((-3)^2\cdot(-3)^2\)
- \(5^2\cdot5^3\)
- \(2^5\cdot2^{-3}\)
- \((-4)^{-1}\cdot(-4)^{-2}\)
- \(10^3\cdot10^{-5}\cdot10^4\)
- \(7^{-4}\cdot7^2\)
- \((-5)^3\cdot(-5)^{-5}\)
- \(x^7\cdot x^2\)
- \(y^{-3}\cdot y^8\)
- \((3b)^4\cdot(3b)^{-2}\)
- \((-3a)^2\cdot(-3a)^5\)
- \((-3)^2\cdot(-3)^2=(-3)^{2+2}=(-3)^4=81\)
- \(5^2\cdot5^3=5^{2+3}=5^5=3125\)
- \(2^5\cdot2^{-3}=2^{5+(-3)}=2^2=4\)
- \((-4)^{-1}\cdot(-4)^{-2}=(-4)^{-3}=\frac{1}{(-4)^3}=-\frac{1}{64}\)
- \(10^3\cdot10^{-5}\cdot10^4=10^{3+(-5)+4}=10^2=100\)
- \(7^{-4}\cdot7^2=7^{-4+2}=7^{-2}=\frac{1}{49}\)
- \((-5)^3\cdot(-5)^{-5}=(-5)^{3+(-5)}=(-5)^{-2}=\frac{1}{25}\)
- \(x^7\cdot x^2=x^{7+2}=x^9\)
- \(y^{-3}\cdot y^8=y^{-3+8}=y^5\)
- \((3b)^4\cdot(3b)^{-2}=(3b)^{4+(-2)}=(3b)^2=9b^2\)
- \((-3a)^2\cdot(-3a)^5=(-3a)^7=-2187a^7\)
2. Cociente de Potencias de Igual Base
Cociente de potencias de igual base
Cuando se dividen potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \]
Esta propiedad requiere que \(a\neq 0\).
Ejemplo:
\[ (-3)^5\div(-3)^2=(-3)^{5-2}=(-3)^3=-27 \]
Ojo al restar un exponente negativo
Un error común es olvidar que restar un número negativo equivale a sumar su opuesto.
Por ejemplo:
\[ 5^{4-(-2)}=5^{4+2}=5^6 \]
Ejercicios
- \((-4)^8\div(-4)^6\)
- \(10^7\div10^3\)
- \(5^2\div5^{-1}\)
- \((-2)^{-5}\div(-2)^{-2}\)
- \(7^{-3}\div7^2\)
- \(8^{-3}\div8^{-4}\)
- \((-6)^2\div(-6)^5\)
- \(\frac{x^9}{x^3}\)
- \(\frac{a^3}{a^5}\)
- \(y^4\div y^{-3}\)
- \((-2b)^7\div(-2b)^3\)
- \((-4)^8\div(-4)^6=(-4)^{8-6}=(-4)^2=16\)
- \(10^7\div10^3=10^{7-3}=10^4=10000\)
- \(5^2\div5^{-1}=5^{2-(-1)}=5^3=125\)
- \((-2)^{-5}\div(-2)^{-2}=(-2)^{-5-(-2)}=(-2)^{-3}=-\frac{1}{8}\)
- \(7^{-3}\div7^2=7^{-3-2}=7^{-5}=\frac{1}{7^5}\)
- \(8^{-3}\div8^{-4}=8^{-3-(-4)}=8^1=8\)
- \((-6)^2\div(-6)^5=(-6)^{2-5}=(-6)^{-3}=-\frac{1}{216}\)
- \(\frac{x^9}{x^3}=x^{9-3}=x^6\), con \(x\neq 0\)
- \(\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}=\frac{1}{a^2}\), con \(a\neq 0\)
- \(y^4\div y^{-3}=y^{4-(-3)}=y^7\)
- \((-2b)^7\div(-2b)^3=(-2b)^4=16b^4\)
3. Potencia de una Potencia
Potencia de una potencia
Cuando una potencia se eleva a otro exponente, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.
\[ (a^m)^n=a^{m\cdot n} \]
Ejemplo:
\[ \left((-2)^3\right)^2=(-2)^{3\cdot2}=(-2)^6=64 \]
Ejercicios
- \(\left((-1)^5\right)^3\)
- \((4^2)^3\)
- \((2^{-2})^4\)
- \(\left((-3)^3\right)^{-1}\)
- \((5^{-2})^{-2}\)
- \(\left((-2)^{-3}\right)^{-2}\)
- \((7^3)^{-2}\)
- \((x^5)^2\)
- \((a^{-3})^4\)
- \(\left((2y)^2\right)^3\)
- \(\left((-4x^2)^3\right)^2\)
- \(\left((-1)^5\right)^3=(-1)^{15}=-1\)
- \((4^2)^3=4^6=4096\)
- \((2^{-2})^4=2^{-8}=\frac{1}{256}\)
- \(\left((-3)^3\right)^{-1}=(-3)^{-3}=-\frac{1}{27}\)
- \((5^{-2})^{-2}=5^4=625\)
- \(\left((-2)^{-3}\right)^{-2}=(-2)^6=64\)
- \((7^3)^{-2}=7^{-6}=\frac{1}{7^6}\)
- \((x^5)^2=x^{10}\)
- \((a^{-3})^4=a^{-12}=\frac{1}{a^{12}}\)
- \(\left((2y)^2\right)^3=(2y)^6=64y^6\)
- \(\left((-4x^2)^3\right)^2=(-4x^2)^6=(-4)^6(x^2)^6=4096x^{12}\)
4. Potencia de Exponente 0
Potencia de exponente cero
Cualquier número distinto de cero elevado a \(0\) es igual a \(1\).
\[ a^0=1,\qquad a\neq 0 \]
Ejemplo:
\[ (-5)^0=1 \]
¿De dónde viene esta regla?
Si dividimos una potencia por sí misma, el resultado es \(1\). Pero usando la propiedad del cociente, también obtenemos exponente cero.
\[ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0 \]
Como además:
\[ \frac{a^n}{a^n}=1 \]
Entonces:
\[ a^0=1 \]
Ejercicios
- \((-8)^0\)
- \(12^0\)
- \(-5^0\)
- \((3^4)^0\)
- \((-2)^5\cdot(-2)^{-5}\)
- \(x^4\div x^4\), con \(x\neq 0\)
- \((-8)^0=1\), porque la base no es cero.
- \(12^0=1\), porque la base no es cero.
- \(-5^0=-(5^0)=-1\). Sin paréntesis, el exponente afecta solo al \(5\).
- \((3^4)^0=1\), porque \(3^4\neq 0\).
- \((-2)^5\cdot(-2)^{-5}=(-2)^{5+(-5)}=(-2)^0=1\)
- \(x^4\div x^4=x^{4-4}=x^0=1\), con \(x\neq 0\).
5. Potencia de Exponente 1
Potencia de exponente uno
Cualquier número elevado a \(1\) es igual a sí mismo.
\[ a^1=a \]
Ejemplo:
\[ (-7)^1=-7 \]
Ejercicios
- \((-15)^1\)
- \(20^1\)
- \((-3)^4\div(-3)^3\)
- \(10^{-2}\cdot10^3\)
- \((x^5)^1\)
- \((ab^2)^1\)
- \((-15)^1=-15\)
- \(20^1=20\)
- \((-3)^4\div(-3)^3=(-3)^{4-3}=(-3)^1=-3\)
- \(10^{-2}\cdot10^3=10^{1}=10\)
- \((x^5)^1=x^5\)
- \((ab^2)^1=ab^2\)
6. Potencia de un Producto
Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor.
\[ (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \]
Ejemplo:
\[ (-2\cdot3)^2=(-2)^2\cdot3^2=4\cdot9=36 \]
Ejercicios: aplicación directa
Aplica la propiedad para reescribir cada potencia como un producto de potencias con bases positivas, cuando corresponda.
- \((-6)^2\)
- \((-10)^3\)
- \((-15)^2\)
- \((-2x)^4\)
- \((-3ab)^3\)
- \((-14)^2\)
- \((-20)^3\)
- \((-5y)^4\)
- \((-yz)^7\)
- \((-100)^2\)
- \((-6)^2=6^2=(2\cdot3)^2=2^2\cdot3^2\)
- \((-10)^3=-(10^3)=-\left((2\cdot5)^3\right)=-(2^3\cdot5^3)\)
- \((-15)^2=15^2=(3\cdot5)^2=3^2\cdot5^2\)
- \((-2x)^4=(2x)^4=2^4x^4\)
- \((-3ab)^3=-(3ab)^3=-(3^3a^3b^3)\)
- \((-14)^2=14^2=(2\cdot7)^2=2^2\cdot7^2\)
- \((-20)^3=-(20^3)=-\left((4\cdot5)^3\right)=-(4^3\cdot5^3)\)
- \((-5y)^4=(5y)^4=5^4y^4\)
- \((-yz)^7=-(yz)^7=-y^7z^7\)
- \((-100)^2=100^2=(10\cdot10)^2=10^2\cdot10^2\)
Pensando al revés: descomponiendo una potencia
Así como podemos distribuir un exponente en un producto, también podemos agrupar potencias con el mismo exponente.
Por ejemplo:
\[ (-2)^2\cdot(-5)^2=\left((-2)\cdot(-5)\right)^2=10^2=100 \]
Ejercicios: descomposición como producto
Expresa cada número como un producto de dos potencias con el mismo exponente, usando al menos una base negativa.
- \(36\)
- \(100\)
- \(64\)
- \(225\)
- \(49\)
- \(-27\)
- \(-125\)
- \(144\)
- \(36=6^2=\left((-2)\cdot(-3)\right)^2=(-2)^2\cdot(-3)^2\)
- \(100=10^2=\left((-2)\cdot(-5)\right)^2=(-2)^2\cdot(-5)^2\)
- \(64=4^3=\left((-1)\cdot(-4)\right)^3=(-1)^3\cdot(-4)^3\)
- \(225=15^2=\left((-3)\cdot(-5)\right)^2=(-3)^2\cdot(-5)^2\)
- \(49=7^2=\left((-1)\cdot(-7)\right)^2=(-1)^2\cdot(-7)^2\)
- \(-27=(-3)^3=\left((-1)\cdot3\right)^3=(-1)^3\cdot3^3\)
- \(-125=(-5)^3=\left((-1)\cdot5\right)^3=(-1)^3\cdot5^3\)
- \(144=12^2=\left((-3)\cdot(-4)\right)^2=(-3)^2\cdot(-4)^2\)
7. Potencia de un Cociente
Potencia de un cociente
La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del numerador y del denominador.
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \]
Esta propiedad requiere que \(b\neq 0\).
Ejemplo:
\[ \left(\frac{-2}{3}\right)^2=\frac{(-2)^2}{3^2}=\frac{4}{9} \]
Ejercicios: aplicación directa
Aplica la propiedad para reescribir cada potencia como un cociente de potencias con bases positivas, cuando corresponda.
- \(\left(\frac{-10}{5}\right)^3\)
- \(\left(\frac{12}{-4}\right)^2\)
- \(\left(\frac{-9}{3}\right)^3\)
- \(\left(\frac{-2x}{y}\right)^4\)
- \(\left(\frac{a}{-2b}\right)^3\)
- \(\left(\frac{15}{-3}\right)^3\)
- \(\left(\frac{-20}{-10}\right)^2\)
- \(\left(\frac{x}{-y}\right)^5\)
- \(\left(\frac{-a}{-b}\right)^6\)
- \(\left(\frac{4x}{-2y}\right)^3\)
- \(\left(\frac{-10}{5}\right)^3=\frac{(-10)^3}{5^3}=-\frac{10^3}{5^3}\)
- \(\left(\frac{12}{-4}\right)^2=\frac{12^2}{(-4)^2}=\frac{12^2}{4^2}\)
- \(\left(\frac{-9}{3}\right)^3=\frac{(-9)^3}{3^3}=-\frac{9^3}{3^3}\)
- \(\left(\frac{-2x}{y}\right)^4=\frac{(-2x)^4}{y^4}=\frac{2^4x^4}{y^4}\)
- \(\left(\frac{a}{-2b}\right)^3=\frac{a^3}{(-2b)^3}=-\frac{a^3}{2^3b^3}\)
- \(\left(\frac{15}{-3}\right)^3=\frac{15^3}{(-3)^3}=-\frac{15^3}{3^3}\)
- \(\left(\frac{-20}{-10}\right)^2=\frac{(-20)^2}{(-10)^2}=\frac{20^2}{10^2}\)
- \(\left(\frac{x}{-y}\right)^5=\frac{x^5}{(-y)^5}=-\frac{x^5}{y^5}\)
- \(\left(\frac{-a}{-b}\right)^6=\frac{(-a)^6}{(-b)^6}=\frac{a^6}{b^6}\)
- \(\left(\frac{4x}{-2y}\right)^3=\frac{(4x)^3}{(-2y)^3}=-\frac{4^3x^3}{2^3y^3}\)
Pensando al revés: descomponiendo un cociente
También podemos expresar un número como un cociente de potencias con el mismo exponente.
Por ejemplo:
\[ 9=\left(\frac{-6}{-2}\right)^2=\frac{(-6)^2}{(-2)^2} \]
Ejercicios: descomposición como cociente
Expresa cada número como un cociente de dos potencias con el mismo exponente, usando al menos una base negativa.
- \(4\)
- \(25\)
- \(8\)
- \(9\)
- \(16\)
- \(100\)
- \(-27\)
- \(-32\)
- \(4=2^2=\left(\frac{-8}{-4}\right)^2=\frac{(-8)^2}{(-4)^2}\)
- \(25=5^2=\left(\frac{-10}{-2}\right)^2=\frac{(-10)^2}{(-2)^2}\)
- \(8=2^3=\left(\frac{-4}{-2}\right)^3=\frac{(-4)^3}{(-2)^3}\)
- \(9=3^2=\left(\frac{-6}{-2}\right)^2=\frac{(-6)^2}{(-2)^2}\)
- \(16=4^2=\left(\frac{-12}{-3}\right)^2=\frac{(-12)^2}{(-3)^2}\)
- \(100=10^2=\left(\frac{-20}{-2}\right)^2=\frac{(-20)^2}{(-2)^2}\)
- \(-27=(-3)^3=\left(\frac{-6}{2}\right)^3=\frac{(-6)^3}{2^3}\)
- \(-32=(-2)^5=\left(\frac{-4}{2}\right)^5=\frac{(-4)^5}{2^5}\)
Desafío final: propiedades combinadas
Aplica dos o más propiedades de las potencias para simplificar cada expresión.
- \((x^2\cdot x^3)^2\)
- \(\frac{(a^5)^2}{a^3}\)
- \(\left((-2)^3\cdot(-2)\right)^{-1}\)
- \(\left(\frac{y^4}{y^6}\right)^3\)
- \((3x^2)^3\cdot x^{-4}\)
- \(\frac{(-a)^7}{(-a)^3\cdot a^2}\)
- \(\left((b^{-2})^{-3}\right)^{-1}\)
- \(\left(\frac{x^2y^{-1}}{xy^2}\right)^{-2}\)
- \(\frac{(2^3\cdot3^2)^2}{2^4\cdot3^5}\)
- \(\left((-5)^0\cdot4^2\right)^{-1}\)
- \(\left(\frac{a^{-3}}{a^{-5}}\right)^3\)
- \(\frac{(-x^2y)^3}{-(xy^2)^2}\)
- \((x^2\cdot x^3)^2=(x^{2+3})^2=(x^5)^2=x^{10}\)
- \(\frac{(a^5)^2}{a^3}=\frac{a^{10}}{a^3}=a^{10-3}=a^7\)
- \(\left((-2)^3\cdot(-2)\right)^{-1}=\left((-2)^4\right)^{-1}=(-2)^{-4}=\frac{1}{16}\)
- \(\left(\frac{y^4}{y^6}\right)^3=(y^{4-6})^3=(y^{-2})^3=y^{-6}=\frac{1}{y^6}\)
- \((3x^2)^3\cdot x^{-4}=3^3(x^2)^3x^{-4}=27x^6x^{-4}=27x^2\)
- \(\frac{(-a)^7}{(-a)^3\cdot a^2}=\frac{-a^7}{(-a^3)\cdot a^2}=\frac{-a^7}{-a^5}=a^2\)
- \(\left((b^{-2})^{-3}\right)^{-1}=(b^6)^{-1}=b^{-6}=\frac{1}{b^6}\)
- \(\left(\frac{x^2y^{-1}}{xy^2}\right)^{-2}=(xy^{-3})^{-2}=x^{-2}y^6=\frac{y^6}{x^2}\)
- \(\frac{(2^3\cdot3^2)^2}{2^4\cdot3^5}=\frac{2^6\cdot3^4}{2^4\cdot3^5}=2^{6-4}\cdot3^{4-5}=\frac{4}{3}\)
- \(\left((-5)^0\cdot4^2\right)^{-1}=(1\cdot16)^{-1}=16^{-1}=\frac{1}{16}\)
- \(\left(\frac{a^{-3}}{a^{-5}}\right)^3=(a^{-3-(-5)})^3=(a^2)^3=a^6\)
- \(\frac{(-x^2y)^3}{-(xy^2)^2}=\frac{-x^6y^3}{-x^2y^4}=x^{6-2}y^{3-4}=x^4y^{-1}=\frac{x^4}{y}\)