13. Ley Distributiva y Factor Común

Ley distributiva y factor común

En esta lección trabajaremos dos conceptos relacionados: la ley distributiva, que permite expandir expresiones, y el factor común, que permite escribir una suma o resta como una multiplicación.

Parte 1: La Ley Distributiva (Expandir)

Procedimiento para aplicar la ley distributiva

La ley distributiva indica que, para multiplicar un término por una suma o resta, se debe multiplicar ese término por cada uno de los términos que están dentro del paréntesis.

Fórmulas:

  • \[ a(b+c)=ab+ac \]
  • \[ a(b-c)=ab-ac \]

Ejemplos Numéricos

Ejemplo 1: \(3(4+5)\)

  1. Multiplicamos el término de afuera por el primero: \[ 3\cdot4=12 \]
  2. Multiplicamos el término de afuera por el segundo: \[ 3\cdot5=15 \]
  3. Sumamos los resultados: \[ 12+15=27 \]

Comprobación:

\[ 3(4+5)=3\cdot9=27 \]

Ejemplo 2: \(-2(6-3)\)

  1. Multiplicamos el término de afuera por el primero: \[ (-2)\cdot6=-12 \]
  2. Multiplicamos el término de afuera por el segundo: \[ (-2)\cdot(-3)=6 \]
  3. Sumamos los resultados: \[ -12+6=-6 \]

Comprobación:

\[ -2(6-3)=-2\cdot3=-6 \]

Ejemplos Algebraicos

Ejemplo 3: \(2(x+y)\)

  1. Multiplicamos \(2\) por \(x\): \[ 2\cdot x=2x \]
  2. Multiplicamos \(2\) por \(y\): \[ 2\cdot y=2y \]

Resultado:

\[ 2(x+y)=2x+2y \]

Ejemplo 4: \(-5(a-3b)\)

  1. Multiplicamos \(-5\) por \(a\): \[ (-5)\cdot a=-5a \]
  2. Multiplicamos \(-5\) por \(-3b\): \[ (-5)\cdot(-3b)=15b \]

Resultado:

\[ -5(a-3b)=-5a+15b \]

Ejemplo 5: \(x(y-z)\)

  1. Multiplicamos \(x\) por \(y\): \[ x\cdot y=xy \]
  2. Multiplicamos \(x\) por \(-z\): \[ x\cdot(-z)=-xz \]

Resultado:

\[ x(y-z)=xy-xz \]

Práctica: aplicando la ley distributiva

  1. \(5(6+2)\)
  2. \(-3(8-4)\)
  3. \(7(2-5)\)
  4. \(-4(-3-6)\)
  5. \(6(x+3)\)
  6. \(4(y-5)\)
  7. \(-2(a+8)\)
  8. \(-5(b-2)\)
  9. \(8(-m-3)\)
  10. \(-1(p-7)\)
  11. \(a(x+y)\)
  12. \(x(y-z)\)
  13. \(-b(c+d)\)
  14. \(m(-n+p)\)
  15. \(2x(3a-4b)\)
  16. \(-3c(2m+5n)\)
  17. \(x(x+5)\)
  18. \(a(3-a)\)
  19. \(-y(y+2)\)
  20. \(3m(m^2+2m)\)
  21. \(-2p^2(p-4)\)
  22. \(4(a+b-c)\)
  23. \(-2(x-y+z)\)
  24. \(a(x+y-z)\)
  25. \(3x(x^2+2x-1)\)
  26. \(-5y^2(y-3y^2+1)\)
  27. \(2x(3a-2b+c)\)
  28. \(-mn(m^2-n^2-mn)\)
  29. \(x^2(3x+2x^2+4)\)
  30. \((a+b-c)(-3)\)

Conectando las ideas: la factorización como proceso inverso

La ley distributiva permite expandir una expresión. La factorización hace el proceso inverso: busca un factor que se repite y lo escribe fuera de un paréntesis.

Por ejemplo:

\[ 4(x+y)=4x+4y \]

Distribuir va desde \(4(x+y)\) hacia \(4x+4y\). Factorizar va desde \(4x+4y\) hacia \(4(x+y)\).

Parte 2: Factor Común (Factorizar)

¿Qué es factorizar?

Factorizar es reescribir una suma o resta como una multiplicación.

Para ello, buscamos el factor común, que es el factor que se repite en todos los términos de la expresión.

Procedimiento para encontrar el factor común

  1. Para los coeficientes: encuentra el máximo común divisor de los números.
  2. Para la parte literal: busca las letras que se repiten en todos los términos y escoge la que tenga el menor exponente.
  3. Arma el factor común: junta el factor numérico y la parte literal común.
  4. Divide y escribe el paréntesis: dentro del paréntesis coloca el resultado de dividir cada término original por el factor común.

Ejemplos Guiados de Factorización

Ejemplo 1: factorizar \(5x-10y\)

El MCD entre \(5\) y \(10\) es \(5\). No hay letras que se repitan en ambos términos.

Factor común:

\[ 5 \]

Dividimos cada término por \(5\):

\[ 5x\div5=x,\qquad -10y\div5=-2y \]

Resultado:

\[ 5x-10y=5(x-2y) \]

Ejemplo 2: factorizar \(-3a-6b\)

El MCD entre \(3\) y \(6\) es \(3\). Como el primer término es negativo, conviene extraer \(-3\).

Factor común:

\[ -3 \]

Dividimos:

\[ -3a\div(-3)=a,\qquad -6b\div(-3)=2b \]

Resultado:

\[ -3a-6b=-3(a+2b) \]

Ejemplo 3: factorizar \(x^2+xy\)

La letra que se repite en ambos términos es \(x\). El menor exponente de \(x\) es \(1\).

Factor común:

\[ x \]

Dividimos:

\[ x^2\div x=x,\qquad xy\div x=y \]

Resultado:

\[ x^2+xy=x(x+y) \]

Ejemplo 4: factorizar \(2a^2+4a\)

Para los coeficientes \(2\) y \(4\), el MCD es \(2\).

En la parte literal, la letra \(a\) se repite y el menor exponente es \(a^1\).

Factor común:

\[ 2a \]

Dividimos:

  • \(2a^2\div2a=a\)
  • \(4a\div2a=2\)

Resultado:

\[ 2a^2+4a=2a(a+2) \]

Práctica: encontrando el factor común

  1. \(8x+12y\)
  2. \(9a-6\)
  3. \(-5m-10n\)
  4. \(14p+21q\)
  5. \(xy+xz\)
  6. \(ab-ac\)
  7. \(m^2+mn\)
  8. \(p^3-p^2\)
  9. \(6x^2+3x\)
  10. \(10y^3-15y^2\)
  11. \(-8a^2b+4ab^2\)
  12. \(9m^2n-12mn^2\)
  13. \(16p^3q^2+24p^2q^3\)
  14. \(-25x^4y+15x^2y^3\)
  15. \(10a-15b+20c\)
  16. \(9x^2-6x+3\)
  17. \(-8m^3-12m^2-4m\)
  18. \(14a^2b-21ab^2+7ab\)
  19. \(18x^3y^2-27x^2y^3+9x^2y^2\)
  20. \(-10m^4n^2-20m^3n^3-5m^2n^4\)

Estrategia: expandir y simplificar en dos pasos

  1. Expandir: usa la ley distributiva para eliminar paréntesis.
  2. Simplificar: agrupa y reduce términos semejantes.

Desafío: expandir y simplificar

Aplica la estrategia de dos pasos para resolver las siguientes expresiones.

  1. \(4(x-3y)+2(x+5y)\)
  2. \(3a(2b+c)-2(3ab+4ac)\)
  3. \(-5(2m-n)+4(-m+3n)\)
  4. \(2(3p-q)-(5p+2q)+4(p-3q)\)
  5. \(x(y+2)-y(x-3)\)
  6. \(a(a+b)-b(a+b)\)
  7. \(5(x^2-2x)+3x(x-1)\)
  8. \(-3(a+2b)+4b(a-1)-2(b-a)\)
  9. \(2[x-3(y-x)]\)
  10. \(3a-\{2b+[5a-(4b-a)]\}\)
  11. \(2x^2-[x^2-\{y-(3x^2-y)\}]\)
  12. \(m-(2m+[-(m-n)+(2n-m)])\)

Estrategia avanzada: factorizar para simplificar

A veces conviene factorizar antes de expandir. Esto permite ver una parte común y reducir la expresión con más orden.

Por ejemplo:

\[ 3x+3y-x-y \]

Agrupamos:

\[ (3x+3y)-(x+y) \]

Factorizamos cada grupo:

\[ 3(x+y)-1(x+y) \]

Como \((x+y)\) es común:

\[ 2(x+y)=2x+2y \]

Desafío final: factorizar para simplificar

Usa la estrategia de factorizar primero para simplificar las siguientes expresiones.

  1. \(3(a+b)+5(a+b)\)
  2. \(7(x-y)-4(x-y)\)
  3. \(6(m+n)-(m+n)\)
  4. \(2(p-q)-8(p-q)\)
  5. \(2x+2y+5x+5y\)
  6. \(8a-8b-3a+3b\)
  7. \(5m+10n-(m+2n)\)
  8. \(3x(a+1)-5(a+1)\)