Libro Crecimiento Exponencial
4. Síntesis final: crecimiento lineal, crecimiento exponencial y decrecimiento exponencial
Objetivos
- Comparar modelos lineales, exponenciales crecientes y exponenciales decrecientes.
- Identificar el tipo de cambio presente en una situación o tabla de valores.
- Escribir funciones simples para modelar situaciones de crecimiento y decrecimiento.
- Resolver problemas integradores sin usar logaritmos, mediante tablas, sustitución directa o potencias reconocibles.
Idea de cierre
En esta unidad se trabajaron situaciones donde una cantidad cambia con el tiempo.
La clave para identificar el modelo es observar cómo cambia la cantidad en cada período:
- Si se suma o resta siempre la misma cantidad, el modelo es lineal.
- Si se multiplica siempre por un mismo factor mayor que 1, el modelo es exponencial creciente.
- Si se multiplica siempre por un mismo factor entre 0 y 1, el modelo es exponencial decreciente.
Resumen de modelos
| Tipo de modelo | Forma general | Condición principal | Interpretación |
|---|---|---|---|
| Crecimiento lineal | \(f(t)=a+ct\) | \(c>0\) | Se suma una cantidad fija. |
| Decrecimiento lineal | \(f(t)=a-ct\) | \(c>0\) | Se resta una cantidad fija. |
| Crecimiento exponencial | \(f(t)=a\cdot b^t\) | \(b>1\) | Se multiplica por un factor mayor que 1. |
| Decrecimiento exponencial | \(f(t)=a\cdot b^t\) | \(0<b<1\) | Se multiplica por un factor entre 0 y 1. |
Procedimiento para resolver problemas
- Identifica la cantidad inicial.
- Determina si el cambio ocurre por suma, resta o multiplicación.
- Escribe el modelo correspondiente.
- Reemplaza el valor de \(t\) cuando se pida calcular una cantidad.
- Interpreta el resultado según el contexto del problema.
Ejemplo 1: reconocer modelos desde una tabla
Observa las siguientes tablas:
| Tiempo | Tabla A | Tabla B | Tabla C |
|---|---|---|---|
| 0 | 100 | 100 | 100 |
| 1 | 130 | 130 | 80 |
| 2 | 160 | 169 | 64 |
| 3 | 190 | 219,7 | 51,2 |
En la tabla A, los valores aumentan sumando \(30\). Por lo tanto, es un crecimiento lineal.
En la tabla B, los valores se multiplican por \(1{,}3\). Por lo tanto, es un crecimiento exponencial.
En la tabla C, los valores se multiplican por \(0{,}8\). Por lo tanto, es un decrecimiento exponencial.
Ejemplo 2: escribir y evaluar un modelo exponencial
Una inversión inicial de $2000 aumenta un \(12\%\) anual. ¿Cuál será su valor después de 3 años?
Como aumenta un \(12\%\), el factor de crecimiento es:
\[ b=1+0{,}12=1{,}12 \]
El modelo es:
\[ V(t)=2000\cdot 1{,}12^t \]
Después de 3 años:
\[ V(3)=2000\cdot 1{,}12^3 \]
\[ V(3)=2000\cdot 1{,}404928=2809{,}856 \]
Después de 3 años, la inversión tendrá un valor aproximado de $2810.
Ejemplo 3: vida media
Una sustancia tiene 96 gramos inicialmente y se reduce a la mitad cada 6 horas. ¿Cuántos gramos quedarán después de 18 horas?
Como se reduce a la mitad, el factor de disminución es \(0{,}5\).
Después de 18 horas han ocurrido:
\[ \frac{18}{6}=3 \]
períodos de vida media.
Entonces:
\[ C(18)=96\cdot 0{,}5^3 \]
\[ C(18)=96\cdot 0{,}125=12 \]
Después de 18 horas quedarán \(12\) gramos.
Errores comunes
- Confundir aumentar un \(20\%\) con multiplicar por \(20\). Lo correcto es multiplicar por \(1{,}20\).
- Confundir disminuir un \(20\%\) con multiplicar por \(0{,}20\). Lo correcto es multiplicar por \(0{,}80\).
- Usar un modelo lineal cuando la situación indica duplicar, triplicar o conservar un porcentaje.
- Olvidar que si el cambio ocurre cada cierto intervalo, el exponente debe contar cuántos períodos han pasado.
Ejercicios integradores
Ejercicio 1
Clasifica cada situación como crecimiento lineal, decrecimiento lineal, crecimiento exponencial o decrecimiento exponencial.
| Situación | Clasificación |
|---|---|
| Una cuenta de ahorro aumenta $15.000 cada mes. | |
| Una población de bacterias se duplica cada hora. | |
| Un medicamento conserva el \(70\%\) de su cantidad cada hora. | |
| Un estanque pierde 25 litros de agua cada minuto. | |
| Una inversión aumenta un \(8\%\) anual. | |
| Una máquina pierde el \(12\%\) de su valor cada año. |
| Situación | Clasificación | Justificación |
|---|---|---|
| Una cuenta de ahorro aumenta $15.000 cada mes. | Crecimiento lineal | Se suma una cantidad fija. |
| Una población de bacterias se duplica cada hora. | Crecimiento exponencial | Se multiplica por \(2\). |
| Un medicamento conserva el \(70\%\) de su cantidad cada hora. | Decrecimiento exponencial | Se multiplica por \(0{,}70\). |
| Un estanque pierde 25 litros de agua cada minuto. | Decrecimiento lineal | Se resta una cantidad fija. |
| Una inversión aumenta un \(8\%\) anual. | Crecimiento exponencial | Se multiplica por \(1{,}08\). |
| Una máquina pierde el \(12\%\) de su valor cada año. | Decrecimiento exponencial | Se multiplica por \(0{,}88\). |
Ejercicio 2
Identifica el tipo de modelo representado en cada tabla.
| Tiempo | Tabla A | Tabla B | Tabla C |
|---|---|---|---|
| 0 | 50 | 80 | 200 |
| 1 | 65 | 160 | 160 |
| 2 | 80 | 320 | 128 |
| 3 | 95 | 640 | 102,4 |
Tabla A: los valores aumentan sumando \(15\):
\[ 50,\ 65,\ 80,\ 95 \]
Por lo tanto, corresponde a un crecimiento lineal.
Tabla B: los valores se multiplican por \(2\):
\[ 80,\ 160,\ 320,\ 640 \]
Por lo tanto, corresponde a un crecimiento exponencial.
Tabla C: los valores se multiplican por \(0{,}8\):
\[ 200,\ 160,\ 128,\ 102{,}4 \]
Por lo tanto, corresponde a un decrecimiento exponencial.
Ejercicio 3
Escribe una función para cada situación.
| Situación | Función |
|---|---|
| Un ahorro comienza con $40.000 y aumenta $6.000 cada mes. | |
| Una población inicial de 120 bacterias se duplica cada hora. | |
| Un auto cuesta inicialmente $9.000.000 y pierde un \(15\%\) de su valor cada año. | |
| Una sustancia comienza con 64 gramos y se reduce a la mitad cada 4 horas. |
| Situación | Función |
|---|---|
| Un ahorro comienza con $40.000 y aumenta $6.000 cada mes. | \(A(t)=40000+6000t\) |
| Una población inicial de 120 bacterias se duplica cada hora. | \(P(t)=120\cdot 2^t\) |
| Un auto cuesta inicialmente $9.000.000 y pierde un \(15\%\) de su valor cada año. | \(V(t)=9000000\cdot 0{,}85^t\) |
| Una sustancia comienza con 64 gramos y se reduce a la mitad cada 4 horas. | \(C(t)=64\cdot 0{,}5^{\frac{t}{4}}\) |
Ejercicio 4
Una población de peces en una laguna aumenta un \(10\%\) cada año. Si inicialmente hay 500 peces, ¿cuántos habrá aproximadamente después de 4 años?
Como la población aumenta un \(10\%\), el factor de crecimiento es:
\[ b=1+0{,}10=1{,}10 \]
El modelo es:
\[ P(t)=500\cdot 1{,}10^t \]
Después de 4 años:
\[ P(4)=500\cdot 1{,}10^4 \]
\[ P(4)=500\cdot 1{,}4641=732{,}05 \]
Después de 4 años habrá aproximadamente \(732\) peces.
Ejercicio 5
Una sustancia comienza con 160 gramos y se reduce a la mitad cada 5 horas. ¿Cuántos gramos quedarán después de 20 horas?
La cantidad inicial es \(160\) gramos y el factor de disminución es \(0{,}5\).
Después de 20 horas han ocurrido:
\[ \frac{20}{5}=4 \]
períodos de reducción.
Entonces:
\[ C(20)=160\cdot 0{,}5^4 \]
\[ C(20)=160\cdot 0{,}0625=10 \]
Después de 20 horas quedarán \(10\) gramos.
Ejercicio 6
Dos estudiantes tienen inicialmente $20.000.
Antonia suma $5.000 cada semana. Benjamín aumenta su dinero en un \(25\%\) cada semana.
Completa la tabla y determina quién tiene más dinero después de 4 semanas.
| Tiempo (semanas) | Antonia | Benjamín |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 |
Antonia tiene un modelo lineal:
\[ A(t)=20000+5000t \]
Benjamín tiene un modelo exponencial:
\[ B(t)=20000\cdot 1{,}25^t \]
| Tiempo (semanas) | Antonia | Benjamín |
|---|---|---|
| 0 | 20000 | 20000 |
| 1 | 25000 | 25000 |
| 2 | 30000 | 31250 |
| 3 | 35000 | 39062,5 |
| 4 | 40000 | 48828,125 |
Después de 4 semanas, Benjamín tiene más dinero.
Ejercicio 7
Un medicamento se elimina del cuerpo conservando el \(80\%\) de su cantidad cada hora. Si inicialmente hay 50 mg, ¿cuánto medicamento quedará después de 3 horas?
Conservar el \(80\%\) significa multiplicar por \(0{,}80\) en cada hora.
El modelo es:
\[ M(t)=50\cdot 0{,}80^t \]
Después de 3 horas:
\[ M(3)=50\cdot 0{,}80^3 \]
\[ M(3)=50\cdot 0{,}512=25{,}6 \]
Después de 3 horas quedarán \(25{,}6\) mg.
Desafíos opcionales
Desafío 1
Una población inicial de 100 bacterias se duplica cada hora. ¿Después de cuántas horas habrá 800 bacterias?
El modelo es:
\[ P(t)=100\cdot 2^t \]
Buscamos cuándo \(P(t)=800\):
\[ 100\cdot 2^t=800 \]
Dividimos por \(100\):
\[ 2^t=8 \]
Como:
\[ 8=2^3 \]
entonces:
\[ t=3 \]
Después de 3 horas habrá 800 bacterias.
Desafío 2
Una sustancia tiene inicialmente 128 gramos y se reduce a la mitad cada hora. ¿Después de cuántas horas quedarán 16 gramos?
El modelo es:
\[ C(t)=128\cdot 0{,}5^t \]
Probamos por períodos de reducción:
| Tiempo (horas) | Cantidad (gramos) |
|---|---|
| 0 | 128 |
| 1 | 64 |
| 2 | 32 |
| 3 | 16 |
Después de 3 horas quedarán 16 gramos.
Mapa de contenidos
Mapa general de decisión
Para decidir qué modelo usar, observa el tipo de cambio:
| Pregunta guía | Respuesta | Modelo |
|---|---|---|
| ¿La cantidad cambia sumando siempre lo mismo? | Sí | Lineal: \(f(t)=a+ct\) |
| ¿La cantidad cambia restando siempre lo mismo? | Sí | Lineal: \(f(t)=a-ct\) |
| ¿La cantidad se multiplica por un factor mayor que 1? | Sí | Exponencial creciente: \(f(t)=a\cdot b^t\) |
| ¿La cantidad se multiplica por un factor entre 0 y 1? | Sí | Exponencial decreciente: \(f(t)=a\cdot b^t\) |
Mapa de factores
| Situación | Factor | Tipo de modelo |
|---|---|---|
| Aumenta un \(r\%\) | \(1+\frac{r}{100}\) | Crecimiento exponencial |
| Disminuye un \(r\%\) | \(1-\frac{r}{100}\) | Decrecimiento exponencial |
| Se duplica | \(2\) | Crecimiento exponencial |
| Se triplica | \(3\) | Crecimiento exponencial |
| Se reduce a la mitad | \(0{,}5\) | Decrecimiento exponencial |
| Conserva el \(p\%\) | \(\frac{p}{100}\) | Decrecimiento exponencial si \(0<p<100\) |
Síntesis final
El crecimiento exponencial no significa simplemente “crecer mucho”. Significa crecer multiplicando por un mismo factor en cada período.
Del mismo modo, el decrecimiento exponencial no significa simplemente “disminuir”. Significa disminuir multiplicando por un mismo factor entre 0 y 1.
Por eso, antes de escribir una fórmula, siempre conviene preguntarse: ¿estoy sumando, restando o multiplicando?