6. División de Números Naturales

División de Números Naturales

La división es una operación matemática que consiste en repartir una cantidad en partes iguales. El símbolo de la división es \(\div\) , aunque a veces se usa una barra inclinada (/) o una línea horizontal (como en las fracciones). En la división, el número que se reparte se llama dividendo, el número que indica las partes en que se reparte se llama divisor, el resultado se llama cociente, y si sobra una cantidad, se llama resto o residuo.

Propiedades de la División

  • No es Conmutativa: El orden del dividendo y el divisor altera el resultado. \(a \div b \neq b \div a\)
  • No es Asociativa: No se pueden agrupar los números de cualquier forma. \((a \div b) \div c \neq a \div (b \div c)\)
  • División entre 1: Cualquier número dividido entre 1 es igual al mismo número. \(a \div 1 = a\)
  • División entre el mismo número: Cualquier número (excepto 0) dividido entre sí mismo es igual a 1. \(a \div a = 1\) (si \(a \neq 0\))
  • División por 0: La división por cero no está definida en los números naturales (ni en la mayoría de los sistemas numéricos).

Ejercicios de División

Nivel 1: Divisiones con divisores de un dígito (sin resto)

En este nivel, dividiremos números de varios dígitos por un número de un solo dígito, y todas las divisiones serán exactas (sin resto).

Vamos a dividir 46815 entre 5 usando el algoritmo chileno:

\( \begin{array}{cccccc|l} \color{blue}{4} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{8'} & \color{blue}{1'} & \color{blue}{5'} & : \fbox{5} =\color{purple}{9}\color{red}{3}\color{magenta}{6}\color{red}{3} & Tabla.del.5 \\ \hline \color{purple}{-4} & \color{purple}{5} & & & & & \color{gray}{5 \bullet 1 =5}\\ & \color{pink}{1} & \color{blue}{8} & & & & \color{gray}{5 \bullet 2 =10}\\ & \color{red}{-1} & \color{red}{5} & & & & \color{red}{5 \bullet 3 =15}\\ & & \color{pink}{3} & \color{blue}{1} & & & \color{gray}{5 \bullet 4 =20}\\ & & \color{magenta}{-3} & \color{magenta}{0} & & & \color{gray}{5 \bullet 5 =25}\\ & & & \color{pink}{1} & \color{blue}{5} & & \color{magenta}{5 \bullet 6 =30}\\ & & & \color{red}{1} & \color{red}{5} & & \color{gray}{5 \bullet 7 =35}\\ & & & & 0 & & \color{gray}{5 \bullet 8 =40}\\ & & & & & & \color{purple}{5 \bullet 9 =45}\\ \end{array} \)

 

Explicación (Algoritmo Chileno):

46815 ÷ 5 (Explicación con la Tabla)

  1. Inicio (Azul):

    • Empezamos con 46' (porque 4 es menor que 5).
    • De la tabla del 5: ¿Cerca de 46 pero menor? (5 x 9 = 45).
    • 9 en respuesta y 45 debajo. Restamos: 46 - 45 = 1.
    • Bajamos el 8 quedando 18.
    • Buscamos en tabla del 5: ¿Cerca debajo de 18? (5 x 3 = 15).
    • 3  en respuesta arriba. 15 debajo. Restamos: 18 - 15 = 3.
    • Bajamos el 1 quedando 31.
    • En Tabla del 5: ¿Cerca  debajo de 31? 6 (5 x 6 = 30).
    • 6 en respuesta, 30 debajo. Restamos: 31 - 30 = 1.
    • Bajamos el 5 quedando 15.
    • Tabla del 5: 3 (5 x 3 = 15).
    • 3 arriba. 15 debajo. Restamos: 15 - 15 = 0.
    • Residuo 0. ¡Terminamos!

Resultado:

  • Cociente: 9363
  • Residuo: 0

Ejercicios

  1. \(6 \div 2\)
  2. \(15 \div 3\)
  3. \(24 \div 4\)
  4. \(125 \div 5\)
  5. \(248 \div 8\)
  6. \(369 \div 3\)
  7. \(1234 \div 2\)
  8. \(4563 \div 3\)
  9. \(7895 \div 5\)
  10. \(9876 \div 6\)

Nivel 2: Divisiones con divisores de un dígito (con resto)

En este nivel, dividiremos números de varios dígitos por un número de un solo dígito, y algunas divisiones tendrán resto.

Ejemplo de División con Resto: 1659 ÷ 8

\( \begin{array}{ccccc|l} \color{blue}{1} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{5'} & \color{blue}{9'} & : \fbox{8} = \color{purple}{2}\color{red}{0}\color{magenta}{7} & \text{Tabla del 8} \\ \hline \color{purple}{-1} & \color{purple}{6} & & & & \color{gray}{8 \times 1 = 8} \\ & \color{pink}{0} & \color{blue}{5} & & & \color{purple}{8 \times 2 = 16} \\ & \color{red}{-0} & \color{red}{0} & & & \color{gray}{8 \times 3 = 24} \\ & & \color{pink}{5} & \color{blue}{9} & & \color{gray}{8 \times 4 = 32} \\ & & \color{magenta}{-5} & \color{magenta}{6} & & \color{gray}{8 \times 5 = 40} \\ & & & \color{green}{3} & & \color{gray}{8 \times 6 = 48} \\ & & & & & \color{magenta}{8 \times 7 = 56} \\ & & & & & \color{gray}{8 \times 8 = 64} \\ & & & & & \color{gray}{8 \times 9 = 72} \\ \end{array} \)

Explicación (Algoritmo Chileno):

  1. Tomamos 16 (primeros dígitos):
    Como 1 es menor que 8, agrupamos “1” y “6” para formar 16. En la tabla del 8, buscamos el múltiplo más grande que no supere 16: \(8 \times 2 = 16\). Anotamos “2” en el cociente y restamos: \(16 - 16 = 0\). Bajamos el siguiente dígito, “2”.
  2. Ahora tenemos 2:
    \(2 < 8\), así que en la tabla del 8 el mayor múltiplo que no se pasa es \(8 \times 0 = 0\). Anotamos “0” en el cociente y la resta es \(2 - 0 = 2\). Bajamos el último dígito, “7”, quedando 27.
  3. Con 27:
    El mayor múltiplo de 8 que no se pasa de 27 es \(8 \times 3 = 24\). Ponemos “3” en el cociente, restamos \(27 - 24 = 3\). Ya no quedan dígitos por bajar, de modo que 3 se convierte en el resto final.

Resultado:

  • Cociente: 203
  • Resto: 3
  1. \(7 \div 2\)
  2. \(16 \div 3\)
  3. \(27 \div 4\)
  4. \(128 \div 5\)
  5. \(250 \div 8\)
  6. \(370 \div 3\)
  7. \(1235 \div 2\)
  8. \(4568 \div 3\)
  9. \(7896 \div 5\)
  10. \(9875 \div 6\)

Nivel 3: Divisiones con divisores de dos dígitos

En este nivel, dividiremos números de varios dígitos por números de dos dígitos.

Vamos a dividir 1693 entre 12 usando el algoritmo chileno:

\( \begin{array}{ccccc|c} \color{blue}{1} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{9'} & \color{blue}{3'} & : \fbox{12} = \color{magenta}{1}\color{red}{4}\color{magenta}{1} & \text{Tabla del 12} \\ \hline \color{magenta}{-1} & \color{magenta}{2} && & &\color{magenta}{ 12 \bullet 1 = 12}\\ & \color{pink}{4} & \color{blue}{9} & && \color{gray}{12 \bullet 2 = 24}\\ & \color{red}{-4} & \color{red}{8} && & \color{gray}{12 \bullet 3 = 36}\\ & & \color{pink}{1} & \color{blue}{3} &&\color{red}{ 12 \bullet 4 = 48}\\ && \color{magenta}{-1} & \color{magenta}{2} & & \color{gray}{12 \bullet 5 = 60}\\ & &&\color{green}{1} & & \color{gray}{\dots} \\ \end{array} \)

Explicación (Algoritmo Chileno):

  1. Primeros dígitos (Azul):
    • Tomamos “16” (porque “1” solo es menor que 12).
    • En la tabla del 12, buscamos el mayor múltiplo que no supere 16: (12 × 1 = 12).
    • Anotamos “1” en el cociente, restamos: 16 - 12 = 4.
    • Bajamos el “9” ⇒ ahora tenemos 49.
  2. Siguiente paso con 49:
    • El mayor múltiplo sin pasar 49 es (12 × 4 = 48).
    • Anotamos “4” en el cociente, restamos: 49 - 48 = 1.
    • Bajamos el “3” ⇒ ahora tenemos 13.
  3. Último tramo con 13:
    • Múltiplo cercano sin pasar 13 es (12 × 1 = 12).
    • Anotamos “1” en el cociente, restamos: 13 - 12 = 1.
    • No hay más dígitos que bajar ⇒ residuo = 1.

Resultado:

  • Cociente: 141
  • Residuo: 1
  1. \(123 \div 12\)
  2. \(456 \div 24\)
  3. \(789 \div 32\)
  4. \(1024 \div 16\)
  5. \(5678 \div 45\)
  6. \(9876 \div 78\)
  7. \(1000 \div 25\)
  8. \(2468 \div 57\)
  9. \(9753 \div 86\)
  10. \(1111 \div 11\)

Nivel 4: Divisiones con divisores de tres o más dígitos

En este nivel, dividiremos números de varios dígitos por números de tres o más dígitos, el procedimiento es similar a con dos digitos...

  1. \(5678 \div 123\)
  2. \(9876 \div 456\)
  3. \(12345 \div 789\)
  4. \(24680 \div 102\)
  5. \(13579 \div 246\)
  6. \(86420 \div 975\)
  7. \(11111 \div 111\)
  8. \(99999 \div 333\)
  9. \(10000 \div 456\)
  10. \(88888 \div 222\)

Cómo Detectar Problemas que Involucran División

Para identificar si un problema se resuelve mediante la división, busca las siguientes palabras o frases clave:

  • Repartir: "Repartir 20 caramelos entre 5 niños"
  • Dividir: "Dividir una pizza en 8 porciones iguales"
  • Cociente: "El cociente de dos números es..."
  • Cada uno/a (en partes iguales): "Si hay 24 galletas y se quieren repartir entre 4 amigos, a cada uno le tocan..."
  • Grupos iguales: "Formar grupos iguales de 5 personas con un total de 30 personas"
  • Mitad, Tercera parte, Cuarta parte, etc.: "Calcular la mitad de 100"
  • ¿Cuántas veces cabe?:"¿Cuántas veces cabe 3 en 18?"
  • Promedio o Media: "El promedio de las notas se calcula sumando las notas y dividiendo entre la cantidad de ellas".

Estos son solo algunos ejemplos. Lo importante es entender que la división se utiliza cuando se quiere repartir una cantidad en partes iguales, o se quiere saber cuántas veces una cantidad cabe dentro de otra.

Problemas de División

  1. Se quieren repartir 48 chocolates entre 6 amigos. ¿Cuántos chocolates le tocan a cada uno?
  2. Un padre quiere repartir 100 pesos entre sus 4 hijos. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada hijo?
  3. En una escuela hay 240 estudiantes. Si se quieren formar grupos de 8 estudiantes, ¿cuántos grupos se pueden formar?
  4. Un libro tiene 360 páginas. Si quiero leer el libro en 12 días, ¿cuántas páginas debo leer por día?
  5. Se compraron 50 metros de tela para hacer 10 vestidos iguales. ¿Cuánta tela se usará para cada vestido?
  6. Un agricultor cosechó 729 manzanas y quiere guardarlas en cajas. Si en cada caja caben 9 manzanas, ¿cuántas cajas necesita?
  7. En una fábrica se producen 1500 juguetes al día. Si se trabaja 5 días a la semana, ¿cuántos juguetes se producen por semana? ¿y cuantos por dia?
  8. Un avión recorre 2400 kilómetros en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros recorre por hora?
  9. Se quieren repartir 96 galletas entre un grupo de niños. Si a cada niño le tocan 8 galletas, ¿cuántos niños hay en el grupo?
  10. María tiene ahorrado 3600 pesos y quiere comprar libros que cuestan 900 pesos cada uno. ¿Cuántos libros puede comprar?