CAPITULO 8 SECTORES DE CÍRCULO
4. 4. Longitud de arco en sectores circulares (cc)
Longitud de arco
Objetivos
- Comprender que un arco es una parte de la circunferencia.
- Calcular longitudes de arco usando proporcionalidad.
- Distinguir entre longitud de arco y perímetro del sector.
Arco como parte del borde
La longitud de arco no mide una región. Mide solo una parte del borde curvo de la circunferencia.
Si el sector ocupa la fracción \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) del círculo, entonces su arco ocupa esa misma fracción de la circunferencia.
Fórmula de longitud de arco
Si \(r\) es el radio y \(\alpha\) el ángulo central en grados, entonces:
\[ L=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r \]
Visualización
El tramo destacado es un arco. Observa que no incluye los radios.
Ejemplo: arco de \(90^\circ\)
Un arco pertenece a una circunferencia de radio \(8\text{ cm}\) y tiene ángulo central de \(90^\circ\).
\[ L=\frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 8 \]
\[ L=\frac{1}{4}\cdot 16\pi=4\pi \]
La longitud del arco es \(4\pi\text{ cm}\).
Ejercicio 1
Calcula la longitud de un arco de \(60^\circ\) en una circunferencia de radio \(12\text{ cm}\). Da la respuesta exacta.
\[ L=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 12 \]
\[ L=\frac{1}{6}\cdot 24\pi=4\pi \]
La longitud del arco es \(4\pi\text{ cm}\).
Ejercicio 2
Un arco mide \(10\pi\text{ m}\) y pertenece a una circunferencia de radio \(15\text{ m}\). Determina el ángulo central.
Usamos la fórmula:
\[ 10\pi=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 15 \]
\[ 10\pi=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 30\pi \]
Dividimos por \(30\pi\):
\[ \frac{10}{30}=\frac{\alpha}{360^\circ} \]
\[ \frac{1}{3}=\frac{\alpha}{360^\circ} \]
\[ \alpha=120^\circ \]