CAPITULO 8 SECTORES DE CÍRCULO
5. 5. Área de un sector circular (cc)
Área de un sector circular
Objetivos
- Interpretar el sector como una fracción del círculo.
- Calcular el área de un sector circular.
- Resolver problemas directos e inversos con área de sector.
La misma fracción, ahora aplicada al área
Si un sector ocupa \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) del círculo, entonces su área es esa misma fracción del área total.
Fórmula del área de sector
Si \(r\) es el radio y \(\alpha\) el ángulo central en grados, entonces:
\[ A_{\text{sector}}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2 \]
Visualización
El sector sombreado representa una parte del área total del círculo.
Ejemplo: sector de \(120^\circ\)
Un sector tiene radio \(6\text{ cm}\) y ángulo central de \(120^\circ\).
\[ A_{\text{sector}}=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot \pi\cdot 6^2 \]
\[ A_{\text{sector}}=\frac{1}{3}\cdot 36\pi=12\pi \]
El área del sector es \(12\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 1
Calcula el área de un sector de radio \(10\text{ m}\) y ángulo central \(72^\circ\). Da la respuesta exacta.
\[ A_{\text{sector}}=\frac{72^\circ}{360^\circ}\cdot \pi\cdot 10^2 \]
\[ A_{\text{sector}}=\frac{1}{5}\cdot 100\pi=20\pi \]
El área es \(20\pi\text{ m}^2\).
Ejercicio 2
Un sector tiene área \(18\pi\text{ cm}^2\) y radio \(9\text{ cm}\). Determina su ángulo central.
\[ 18\pi=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi\cdot 9^2 \]
\[ 18\pi=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 81\pi \]
Dividimos por \(81\pi\):
\[ \frac{18}{81}=\frac{\alpha}{360^\circ} \]
\[ \frac{2}{9}=\frac{\alpha}{360^\circ} \]
\[ \alpha=80^\circ \]