Libro semejanza, escalas y homotecia vectorial
7. Teorema de Euclides: catetos
Objetivos
- Aplicar el teorema de Euclides para calcular catetos.
- Relacionar catetos, hipotenusa y proyecciones.
- Resolver problemas geométricos y de contexto usando semejanza.
Catetos y proyecciones
En un triángulo rectángulo, la altura trazada desde el ángulo recto divide la hipotenusa en dos proyecciones.
Si \(AB\) es la hipotenusa, \(D\) es el pie de la altura y \(C\) es el vértice del ángulo recto, entonces:
\[ AB=c,\qquad AD=m,\qquad DB=n \]
El cateto \(AC\) se relaciona con la proyección \(AD\), y el cateto \(BC\) se relaciona con la proyección \(DB\).
Teorema de los catetos
En un triángulo rectángulo, si la hipotenusa mide \(c=m+n\), entonces cada cateto cumple:
\[ a^2=c\cdot m \qquad\text{y}\qquad b^2=c\cdot n \]
En forma geométrica:
\[ AC^2=AB\cdot AD \qquad\text{y}\qquad BC^2=AB\cdot DB \]
Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa completa y su proyección sobre ella.
Ejemplo 1: hipotenusa 25
La hipotenusa mide \(25\) cm y sus proyecciones miden \(9\) cm y \(16\) cm. Calcula los catetos.
Como \(c=25\), \(m=9\) y \(n=16\), aplicamos:
\[ a^2=c\cdot m=25\cdot 9=225 \]
\[ a=\sqrt{225}=15 \]
Para el otro cateto:
\[ b^2=c\cdot n=25\cdot 16=400 \]
\[ b=\sqrt{400}=20 \]
Los catetos miden \(15\) cm y \(20\) cm.
Ejemplo 2: encontrar una proyección
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide \(18\) cm y un cateto mide \(12\) cm. Calcula la proyección de ese cateto sobre la hipotenusa.
Usamos el teorema de los catetos:
\[ a^2=c\cdot m \]
Reemplazamos \(a=12\) y \(c=18\):
\[ 12^2=18m \]
\[ 144=18m \]
\[ m=8 \]
La proyección de ese cateto mide \(8\) cm.
Aplicación
Estas relaciones permiten resolver problemas de rampas, diagonales, soportes y diseños donde aparecen triángulos rectángulos, sin medir directamente todos los lados.
Ejercicio 1: reconocer catetos y proyecciones
Observa el triángulo rectángulo. La altura \(CD\) cae sobre la hipotenusa \(AB\).
- Identifica la hipotenusa \(c\).
- Identifica \(m\) y \(n\).
- Calcula los catetos \(AC\) y \(BC\).
- La hipotenusa es \(AB\). Como \(AD=4\) cm y \(DB=6\) cm: \[ c=AB=4+6=10 \]
- La proyección asociada al cateto \(AC\) es: \[ m=AD=4 \] La proyección asociada al cateto \(BC\) es: \[ n=DB=6 \]
- Calculamos: \[ AC^2=AB\cdot AD=10\cdot 4=40 \] \[ AC=\sqrt{40}=2\sqrt{10} \] Y: \[ BC^2=AB\cdot DB=10\cdot 6=60 \] \[ BC=\sqrt{60}=2\sqrt{15} \]
Ejercicio 2: calcular catetos
Calcula los catetos usando el teorema de los catetos. En los dos primeros casos trabaja de forma numérica; en los siguientes, identifica en la figura la hipotenusa completa y las proyecciones correspondientes.
- \(c=10\), \(m=4\), \(n=6\). Calcula \(a\) y \(b\).
- \(c=25\), \(m=9\), \(n=16\). Calcula \(a\) y \(b\).
-
En la figura, \(AB=20\) cm, \(AD=5\) cm y \(DB=15\) cm. Calcula \(AC\) y \(BC\).
-
En la figura, \(AB=25\) cm, \(AD=9\) cm y \(DB=16\) cm. Calcula \(AC\) y \(BC\).
-
En la figura, \(AB=17\) cm, \(AD=8\) cm y \(DB=9\) cm. Calcula \(AC\) y \(BC\).
-
En la figura, \(AB=40\) cm, \(AD=10\) cm y \(DB=30\) cm. Calcula \(AC\) y \(BC\).
-
\[ a^2=c\cdot m=10\cdot 4=40 \]
\[ a=\sqrt{40}=2\sqrt{10} \]
\[ b^2=c\cdot n=10\cdot 6=60 \]
\[ b=\sqrt{60}=2\sqrt{15} \]
-
\[ a^2=c\cdot m=25\cdot 9=225 \]
\[ a=15 \]
\[ b^2=c\cdot n=25\cdot 16=400 \]
\[ b=20 \]
-
En la figura, \(AB=20\), \(AD=5\) y \(DB=15\).
El cateto \(AC\) corresponde a la proyección \(AD\):
\[ AC^2=AB\cdot AD=20\cdot 5=100 \]
\[ AC=10 \]
El cateto \(BC\) corresponde a la proyección \(DB\):
\[ BC^2=AB\cdot DB=20\cdot 15=300 \]
\[ BC=10\sqrt{3} \]
-
En la figura, \(AB=25\), \(AD=9\) y \(DB=16\).
\[ AC^2=AB\cdot AD=25\cdot 9=225 \]
\[ AC=15 \]
\[ BC^2=AB\cdot DB=25\cdot 16=400 \]
\[ BC=20 \]
-
En la figura, \(AB=17\), \(AD=8\) y \(DB=9\).
\[ AC^2=AB\cdot AD=17\cdot 8=136 \]
\[ AC=\sqrt{136}=2\sqrt{34} \]
\[ BC^2=AB\cdot DB=17\cdot 9=153 \]
\[ BC=\sqrt{153}=3\sqrt{17} \]
-
En la figura, \(AB=40\), \(AD=10\) y \(DB=30\).
\[ AC^2=AB\cdot AD=40\cdot 10=400 \]
\[ AC=20 \]
\[ BC^2=AB\cdot DB=40\cdot 30=1200 \]
\[ BC=\sqrt{1200}=20\sqrt{3} \]
Ejercicio 3: datos inversos
Encuentra la proyección faltante o la hipotenusa. En los tres primeros casos trabaja de forma numérica; en los siguientes, identifica primero qué cateto y qué proyección se relacionan.
- \(a=12\), \(c=18\). Encuentra \(m\).
- \(b=15\), \(c=25\). Encuentra \(n\).
- \(a=10\), \(m=5\). Encuentra \(c\).
-
En la figura, \(AB=25\) cm y \(AC=15\) cm. Encuentra \(AD\) y luego \(DB\).
-
En la figura, \(AB=25\) cm y \(BC=15\) cm. Encuentra \(DB\) y luego \(AD\).
-
En la figura, \(AB=20\) cm y \(AC=10\) cm. Encuentra \(AD\) y \(DB\).
- \[ a^2=c\cdot m \] \[ 12^2=18m \] \[ 144=18m \] \[ m=8 \]
- \[ b^2=c\cdot n \] \[ 15^2=25n \] \[ 225=25n \] \[ n=9 \]
- \[ a^2=c\cdot m \] \[ 10^2=c\cdot 5 \] \[ 100=5c \] \[ c=20 \]
-
El cateto \(AC\) corresponde a la proyección \(AD\). Entonces:
\[ AC^2=AB\cdot AD \]
\[ 15^2=25\cdot AD \]
\[ 225=25\cdot AD \]
\[ AD=9 \]
Como \(AB=25\), entonces:
\[ DB=25-9=16 \]
-
El cateto \(BC\) corresponde a la proyección \(DB\). Entonces:
\[ BC^2=AB\cdot DB \]
\[ 15^2=25\cdot DB \]
\[ 225=25\cdot DB \]
\[ DB=9 \]
Luego:
\[ AD=25-9=16 \]
-
El cateto \(AC\) corresponde a \(AD\). Entonces:
\[ AC^2=AB\cdot AD \]
\[ 10^2=20\cdot AD \]
\[ 100=20\cdot AD \]
\[ AD=5 \]
Luego:
\[ DB=20-5=15 \]
Ejercicio 4: usar la hipotenusa completa
En cada caso, usa primero \(c=m+n\) cuando sea necesario. Luego aplica el teorema de los catetos.
- \(AB=25\) cm y \(AD=9\) cm. Calcula \(DB\), \(AC\) y \(BC\).
- \(AB=20\) cm y \(AD=5\) cm. Calcula \(DB\), \(AC\) y \(BC\).
- \(AB=18\) cm y \(DB=8\) cm. Calcula \(AD\), \(AC\) y \(BC\).
-
En la figura, \(AB=50\) cm y \(AD=18\) cm. Calcula \(DB\), \(AC\) y \(BC\).
-
En la figura, \(AB=25\) cm y \(DB=9\) cm. Calcula \(AD\), \(AC\) y \(BC\).
-
En la figura, \(AB=45\) cm y \(AD=20\) cm. Calcula \(DB\), \(AC\) y \(BC\).
-
Primero:
\[ DB=25-9=16 \]
Luego:
\[ AC^2=25\cdot 9=225 \qquad\Rightarrow\qquad AC=15 \]
\[ BC^2=25\cdot 16=400 \qquad\Rightarrow\qquad BC=20 \]
-
\[ DB=20-5=15 \]
\[ AC^2=20\cdot 5=100 \qquad\Rightarrow\qquad AC=10 \]
\[ BC^2=20\cdot 15=300 \qquad\Rightarrow\qquad BC=10\sqrt{3} \]
-
\[ AD=18-8=10 \]
\[ AC^2=18\cdot 10=180 \qquad\Rightarrow\qquad AC=6\sqrt{5} \]
\[ BC^2=18\cdot 8=144 \qquad\Rightarrow\qquad BC=12 \]
-
\[ DB=50-18=32 \]
\[ AC^2=50\cdot 18=900 \qquad\Rightarrow\qquad AC=30 \]
\[ BC^2=50\cdot 32=1600 \qquad\Rightarrow\qquad BC=40 \]
-
\[ AD=25-9=16 \]
\[ AC^2=25\cdot 16=400 \qquad\Rightarrow\qquad AC=20 \]
\[ BC^2=25\cdot 9=225 \qquad\Rightarrow\qquad BC=15 \]
-
\[ DB=45-20=25 \]
\[ AC^2=45\cdot 20=900 \qquad\Rightarrow\qquad AC=30 \]
\[ BC^2=45\cdot 25=1125 \qquad\Rightarrow\qquad BC=15\sqrt{5} \]
Ejercicio 5: asociar cada cateto con su proyección
En los tres primeros casos trabaja de forma numérica. En los siguientes, observa la figura antes de elegir la fórmula.
- Si \(c=25\) y la proyección asociada a \(a\) es \(m=9\), calcula \(a\).
- Si \(c=25\) y la proyección asociada a \(b\) es \(n=16\), calcula \(b\).
- Si \(c=18\) y la proyección asociada a \(b\) es \(n=8\), calcula \(b\).
- En un triángulo rectángulo, \(AB=25\), \(AD=9\) y \(DB=16\). ¿Qué cateto se calcula con \(25\cdot 9\)? Calcula ese cateto.
- En un triángulo rectángulo, \(AB=25\), \(AD=16\) y \(DB=9\). ¿Qué cateto se calcula con \(25\cdot 9\)? Calcula ese cateto.
- En un triángulo rectángulo, \(AB=20\), \(AD=5\) y \(DB=15\). Calcula ambos catetos y explica cuál corresponde a cada proyección.
- \[ a^2=c\cdot m=25\cdot 9=225 \] \[ a=15 \]
- \[ b^2=c\cdot n=25\cdot 16=400 \] \[ b=20 \]
- \[ b^2=18\cdot 8=144 \] \[ b=12 \]
-
La proyección \(AD\) corresponde al cateto \(AC\). Entonces \(25\cdot 9\) permite calcular \(AC^2\):
\[ AC^2=25\cdot 9=225 \]
\[ AC=15 \]
-
La proyección \(DB\) corresponde al cateto \(BC\). Entonces \(25\cdot 9\) permite calcular \(BC^2\):
\[ BC^2=25\cdot 9=225 \]
\[ BC=15 \]
-
El cateto \(AC\) corresponde a \(AD=5\):
\[ AC^2=20\cdot 5=100 \qquad\Rightarrow\qquad AC=10 \]
El cateto \(BC\) corresponde a \(DB=15\):
\[ BC^2=20\cdot 15=300 \qquad\Rightarrow\qquad BC=10\sqrt{3} \]
Ejercicio 6: detectar errores
Analiza cada afirmación y decide si es correcta o incorrecta. Justifica.
- Si \(c=25\) y \(m=9\), entonces el cateto asociado mide \(34\), porque \(25+9=34\).
- Si \(c=25\), \(m=9\) y \(n=16\), entonces los catetos miden \(15\) y \(20\).
- Si \(a=12\) y \(c=18\), entonces \(m=8\).
- Si \(AB=25\), \(AD=9\) y \(DB=16\), entonces \(AC^2=25\cdot 16\).
- Para calcular un cateto se usa la hipotenusa completa, no solo la otra proyección.
- Incorrecta. No se suma la hipotenusa con la proyección. Se usa: \[ a^2=c\cdot m=25\cdot 9=225 \] \[ a=15 \]
- Correcta, porque: \[ a^2=25\cdot 9=225 \qquad\Rightarrow\qquad a=15 \] \[ b^2=25\cdot 16=400 \qquad\Rightarrow\qquad b=20 \]
- Correcta. Como: \[ a^2=c\cdot m \] entonces: \[ 12^2=18m \] \[ 144=18m \] \[ m=8 \]
- Incorrecta. El cateto \(AC\) corresponde a \(AD\), no a \(DB\). Por lo tanto: \[ AC^2=AB\cdot AD=25\cdot 9 \]
- Correcta. El teorema de los catetos usa la hipotenusa completa y la proyección correspondiente: \[ a^2=c\cdot m \qquad\text{o}\qquad b^2=c\cdot n \]
Ejercicio 7: problema contextual
Una estructura triangular tiene forma de triángulo rectángulo. La barra principal corresponde a la hipotenusa y mide \(50\) cm. La altura desde el ángulo recto divide esa barra en dos proyecciones de \(18\) cm y \(32\) cm.
- Calcula el cateto asociado a la proyección de \(18\) cm.
- Calcula el cateto asociado a la proyección de \(32\) cm.
- Verifica que los catetos obtenidos forman un triángulo rectángulo con hipotenusa \(50\) cm.
- El cateto asociado a la proyección de \(18\) cm cumple: \[ a^2=50\cdot 18=900 \] \[ a=30 \] Por lo tanto, mide \(30\) cm.
- El cateto asociado a la proyección de \(32\) cm cumple: \[ b^2=50\cdot 32=1600 \] \[ b=40 \] Por lo tanto, mide \(40\) cm.
- Verificamos con el teorema de Pitágoras: \[ 30^2+40^2=900+1600=2500 \] \[ 50^2=2500 \] Como ambos valores coinciden, los catetos \(30\) cm y \(40\) cm corresponden a un triángulo rectángulo de hipotenusa \(50\) cm.
Cuidado con las letras
No memorices solo letras. Identifica qué medida es la hipotenusa completa y qué segmento es la proyección correspondiente al cateto que estás calculando.