Libro semejanza, escalas y homotecia vectorial
1. Modelos y semejanza en la realidad
Objetivos
- Comparar objetos reales con modelos y reconocer relaciones de forma y tamaño.
- Distinguir congruencia, equivalencia y semejanza en figuras sencillas.
- Usar lenguaje matemático para describir copias ampliadas o reducidas.
Modelos que conservan la forma
Un modelo a escala conserva la forma del objeto real, pero cambia su tamaño. Esto ocurre en maquetas, mapas, planos, fotografías, dibujos técnicos y representaciones científicas.
Cuando dos figuras tienen la misma forma, aunque no tengan el mismo tamaño, decimos que son semejantes.
Tres relaciones que conviene separar
| Relación | Qué conserva | Ejemplo |
|---|---|---|
| Congruencia | Forma y tamaño | Dos baldosas iguales |
| Equivalencia | Área, aunque cambie la forma | Un rectángulo y un triángulo con la misma área |
| Semejanza | Forma, pero no necesariamente tamaño | Un plano y una casa real |
Ejemplo: una maqueta de una sala
Una maqueta representa una sala rectangular. La sala real mide \(8\) m de largo y \(6\) m de ancho. La maqueta mide \(40\) cm de largo y \(30\) cm de ancho.
Comparamos las razones entre largo y ancho:
\[ \frac{8}{6}=\frac{4}{3} \qquad\text{y}\qquad \frac{40}{30}=\frac{4}{3} \]
Como ambas razones son iguales, la maqueta conserva la forma rectangular de la sala.
Ejercicio 1: reconocer relaciones en figuras
Observa cada par de figuras. Guíate por la cuadrícula para confirmar las medidas y decide si la relación más precisa es congruencia, equivalencia o semejanza.
-
Par A
-
Par B
-
Par C
- Par A: congruencia. Los triángulos tienen la misma forma y el mismo tamaño; solo están ubicados en otro lugar.
- Par B: equivalencia. El primer rectángulo mide \(4\times 2\), por lo tanto su área es \(8\). El segundo mide \(1\times 8\), por lo tanto su área también es \(8\). Tienen la misma área, pero no la misma forma.
- Par C: semejanza. Ambos son cuadrados, por lo que conservan la forma, pero no tienen el mismo tamaño.
Observación: una figura congruente también conserva forma y área, pero cuando se pide la relación más precisa, conviene responder congruencia.
Ejercicio 2: ampliación, reducción o deformación
La figura de la izquierda es la original. Observa las dos copias: la del centro y la de la derecha. Indica cuál conserva la forma y cuál fue deformada.
Responde:
- ¿Cuál copia es semejante a la figura original?
- ¿Cuál copia no conserva la forma?
- ¿Cómo podrías justificar tu respuesta usando base y altura?
- La copia del centro es semejante a la figura original.
- La copia de la derecha no conserva la forma: fue estirada más en una dirección que en otra.
- En la figura original, la base mide \(2\) unidades y la altura mide \(2\) unidades, entonces la razón es \(2/2=1\). En la copia del centro, la base mide \(4\) y la altura mide \(4\), entonces \(4/4=1\). Se conserva la proporción. En la copia de la derecha, la base mide \(4\), pero la altura mide \(2\), entonces \(4/2=2\). No se conserva la proporción.
Ejercicio 3: verificar con razones
Decide si el modelo conserva la forma del objeto real. Para ello, compara la razón entre largo y ancho.
- Real: \(12\) m por \(8\) m; modelo: \(6\) cm por \(4\) cm.
- Real: \(15\) m por \(10\) m; modelo: \(9\) cm por \(6\) cm.
- Real: \(20\) m por \(8\) m; modelo: \(10\) cm por \(5\) cm.
- Real: \(18\) m por \(12\) m; modelo: \(3\) cm por \(2\) cm.
Comparamos largo/ancho en cada caso.
- \(12/8=3/2\) y \(6/4=3/2\). Conserva la forma.
- \(15/10=3/2\) y \(9/6=3/2\). Conserva la forma.
- \(20/8=5/2\), pero \(10/5=2\). No conserva la forma.
- \(18/12=3/2\) y \(3/2=3/2\). Conserva la forma.
Ejercicio 4: explicar con palabras
Responde brevemente.
- ¿Por qué una maqueta no suele ser congruente con el objeto real?
- ¿Puede una figura ser semejante a otra y no tener la misma área?
- ¿Puede una figura tener la misma área que otra y no ser semejante?
- ¿Qué dato revisarías primero para saber si una foto fue deformada?
- ¿Por qué un mapa necesita escala?
- ¿Qué significa que un modelo sea una reducción?
- Porque conserva la forma, pero normalmente cambia el tamaño.
- Sí. Si se amplía o reduce, el área cambia aunque la forma se conserve.
- Sí. Dos figuras distintas pueden tener igual área.
- Revisaría si las razones entre largo y ancho se mantienen.
- Porque representa distancias reales usando medidas pequeñas.
- Que todas sus medidas lineales son menores que las reales en un mismo factor.
Idea clave
En semejanza no basta con que algo se vea parecido: las medidas correspondientes deben mantener la misma proporción.