Libro semejanza, escalas y homotecia vectorial
8. Homotecia: centro, factor y orientación
Objetivos
- Representar una homotecia mediante centro y factor.
- Reconocer ampliaciones, reducciones y cambios de orientación según el signo de \(k\).
- Interpretar la relación entre preimagen e imagen.
Homotecia
Una homotecia transforma una figura desde un centro \(O\), multiplicando las distancias al centro por un factor \(k\).
Si \(P\) es un punto de la figura y \(P'\) es su imagen, entonces \(O\), \(P\) y \(P'\) quedan alineados.
\[ \overrightarrow{OP'}=k\cdot \overrightarrow{OP} \]
Para las distancias se usa el valor absoluto del factor:
\[ OP'=|k|\cdot OP \]
Factor positivo y factor negativo
El valor absoluto \(|k|\) indica si la figura se amplía, se reduce o conserva su tamaño. El signo de \(k\) indica hacia qué lado del centro queda la imagen.
| Factor | Distancia al centro | Orientación respecto de \(O\) |
|---|---|---|
| \(k>1\) | Aumenta | Misma dirección |
| \(0<k<1\) | Disminuye | Misma dirección |
| \(k<-1\) | Aumenta | Dirección opuesta |
| \(-1<k<0\) | Disminuye | Dirección opuesta |
| \(k=-1\) | Se conserva | Dirección opuesta |
Ejemplo 1: homotecia con \(k>0\)
Un punto \(A\) está a \(3\) cm del centro \(O\). Se aplica una homotecia de factor \(k=2\).
La distancia de la imagen al centro es:
\[ OA'=|2|\cdot 3=6 \]
Como \(k>0\), \(A'\) queda en la misma dirección que \(A\) respecto de \(O\).
Ejemplo 2: homotecia con \(k<0\)
Un punto \(B\) está a \(4\) cm del centro \(O\). Se aplica una homotecia de factor \(k=-\frac{1}{2}\).
La distancia de la imagen al centro es:
\[ OB'=\left|-\frac{1}{2}\right|\cdot 4=2 \]
Como \(k<0\), \(B'\) queda en la dirección opuesta a \(B\) respecto de \(O\).
Idea clave
En homotecia, el centro organiza todo: cada punto, su imagen y el centro están alineados. El número \(|k|\) cambia el tamaño, mientras que el signo de \(k\) determina si la imagen queda al mismo lado o al lado opuesto del centro.
Ejercicio 1: distancia al centro
Calcula la distancia \(OP'\). En los dos primeros casos trabaja de forma numérica; en los siguientes, interpreta la situación geométrica.
Ejercicio 1.1
Si \(OP=4\) cm y \(k=3\), calcula \(OP'\). Indica si \(P'\) queda en la misma dirección o en dirección opuesta respecto de \(O\).
Ejercicio 1.2
Si \(OP=10\) cm y \(k=\frac{1}{2}\), calcula \(OP'\). Indica si \(P'\) queda en la misma dirección o en dirección opuesta respecto de \(O\).
Ejercicio 1.3
En la figura, \(OP=6\) cm y se aplica una homotecia de centro \(O\) y factor \(k=-2\). Calcula \(OP'\) e indica hacia qué lado queda \(P'\).
Ejercicio 1.4
En la figura, \(OP=12\) cm y se aplica una homotecia de centro \(O\) y factor \(k=-\frac{1}{3}\). Calcula \(OP'\) e indica hacia qué lado queda \(P'\).
Solución 1.1
\[ OP'=|3|\cdot 4=12 \]
Como \(k>0\), \(P'\) queda en la misma dirección que \(P\) respecto de \(O\).
Solución 1.2
\[ OP'=\left|\frac{1}{2}\right|\cdot 10=5 \]
Como \(k>0\), \(P'\) queda en la misma dirección que \(P\) respecto de \(O\).
Solución 1.3
\[ OP'=|-2|\cdot 6=12 \]
Como \(k<0\), \(P'\) queda en dirección opuesta a \(P\) respecto de \(O\).
Solución 1.4
\[ OP'=\left|-\frac{1}{3}\right|\cdot 12=4 \]
Como \(k<0\), \(P'\) queda en dirección opuesta a \(P\) respecto de \(O\).
Ejercicio 2: interpretar el factor
Clasifica cada homotecia como ampliación, reducción o caso especial. Además, indica si la imagen queda en la misma dirección o en dirección opuesta respecto del centro.
Ejercicio 2.1
\(k=4\).
Ejercicio 2.2
\(k=\frac{1}{5}\).
Ejercicio 2.3
\(k=-3\).
Ejercicio 2.4
\(k=-\frac{1}{2}\).
Solución 2.1
\(k=4\): ampliación, porque \(|k|=4>1\). La imagen queda en la misma dirección respecto del centro.
Solución 2.2
\(k=\frac{1}{5}\): reducción, porque \(0<|k|<1\). La imagen queda en la misma dirección respecto del centro.
Solución 2.3
\(k=-3\): ampliación, porque \(|k|=3>1\). La imagen queda en dirección opuesta respecto del centro.
Solución 2.4
\(k=-\frac{1}{2}\): reducción, porque \(0<|k|<1\). La imagen queda en dirección opuesta respecto del centro.
Ejercicio 3: encontrar el factor de homotecia
Determina el factor \(k\). Recuerda que el signo depende de si \(P'\) queda en la misma dirección o en dirección opuesta respecto de \(O\).
Ejercicio 3.1
\(OP=3\), \(OP'=9\), y \(P'\) queda en la misma dirección que \(P\). Determina \(k\).
Ejercicio 3.2
En la figura, \(OP=8\) cm y \(OP'=4\) cm. Determina el factor \(k\).
Ejercicio 3.3
En la figura, \(OP=4\) cm y \(OP'=10\) cm. Determina el factor \(k\).
Ejercicio 3.4
En la figura, \(OP=9\) cm y \(OP'=9\) cm. Determina el factor \(k\).
Solución 3.1
Como están en la misma dirección, \(k>0\):
\[ k=\frac{OP'}{OP}=\frac{9}{3}=3 \]
Solución 3.2
En la figura, \(P'\) queda en dirección opuesta a \(P\), entonces \(k<0\).
\[ |k|=\frac{OP'}{OP}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]
Por lo tanto:
\[ k=-\frac{1}{2} \]
Solución 3.3
En la figura, \(P'\) queda en la misma dirección que \(P\), entonces \(k>0\).
\[ k=\frac{OP'}{OP}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2} \]
Solución 3.4
En la figura, \(P'\) queda en dirección opuesta a \(P\), entonces \(k<0\).
Como las distancias al centro son iguales:
\[ |k|=\frac{9}{9}=1 \]
Por lo tanto:
\[ k=-1 \]
Ejercicio 4: ubicar la imagen de un punto
En cada caso, determina la distancia \(OP'\) y describe dónde debe ubicarse \(P'\) respecto del centro \(O\).
Ejercicio 4.1
En la figura, \(OP=3\) cm y \(k=2\). Determina \(OP'\) y la dirección en que se ubica \(P'\).
Ejercicio 4.2
En la figura, \(OP=8\) cm y \(k=-\frac{1}{2}\). Determina \(OP'\) y la dirección en que se ubica \(P'\).
Ejercicio 4.3
En la figura, \(OP=5\) cm y \(k=-1\). Determina \(OP'\) y la dirección en que se ubica \(P'\).
Ejercicio 4.4
En la figura, \(OP=2\) cm y \(k=3\). Determina \(OP'\) y la dirección en que se ubica \(P'\).
Solución 4.1
\[ OP'=|2|\cdot 3=6 \]
Como \(k>0\), \(P'\) queda en la misma dirección que \(P\), al doble de distancia del centro.
Solución 4.2
\[ OP'=\left|-\frac{1}{2}\right|\cdot 8=4 \]
Como \(k<0\), \(P'\) queda en dirección opuesta a \(P\), a \(4\) cm del centro.
Solución 4.3
\[ OP'=|-1|\cdot 5=5 \]
Como \(k=-1\), \(P'\) queda al lado opuesto del centro y a la misma distancia que \(P\).
Solución 4.4
\[ OP'=|3|\cdot 2=6 \]
Como \(k>0\), \(P'\) queda en la misma dirección que \(P\), al triple de distancia del centro.
Ejercicio 5: homotecia de una figura
Responde considerando que en una homotecia todas las distancias al centro se multiplican por \(|k|\), y que todos los puntos de la figura se alinean con el centro y su imagen.
Las líneas de guía muestran la alineación entre el centro, cada punto de la figura original y su imagen.
Ejercicio 5.1
En la figura, la imagen queda al mismo lado del centro y al doble de distancia. Determina \(k\).
Ejercicio 5.2
En la figura, la imagen queda al lado opuesto del centro y a la mitad de distancia. Determina \(k\).
Ejercicio 5.3
Un lado de la figura original mide \(12\) cm. Se aplica una homotecia de factor \(k=-\frac{1}{2}\). ¿Cuánto mide el lado correspondiente de la imagen?
Ejercicio 5.4
Si \(OA=3\) cm, \(OB=4\) cm y \(OC=5\) cm, se aplica una homotecia de centro \(O\) y factor \(k=-2\). Calcula \(OA'\), \(OB'\) y \(OC'\).
Solución 5.1
La imagen queda al mismo lado del centro, entonces \(k>0\). Además, las distancias al centro se duplican.
\[ k=2 \]
Solución 5.2
La imagen queda al lado opuesto del centro, entonces \(k<0\). Además, las distancias al centro se reducen a la mitad.
\[ k=-\frac{1}{2} \]
Solución 5.3
Las longitudes se multiplican por \(|k|\):
\[ \left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2} \]
\[ 12\cdot\frac{1}{2}=6 \]
El lado correspondiente de la imagen mide \(6\) cm.
Solución 5.4
Las distancias al centro se multiplican por \(|-2|=2\):
\[ OA'=3\cdot 2=6 \]
\[ OB'=4\cdot 2=8 \]
\[ OC'=5\cdot 2=10 \]
Como \(k<0\), los puntos imagen quedan en dirección opuesta respecto del centro \(O\).
Ejercicio 6: detectar errores
Analiza cada afirmación y decide si es correcta o incorrecta. Justifica.
Ejercicio 6.1
Si \(OP=4\) cm y \(k=-2\), entonces \(OP'=-8\) cm.
Ejercicio 6.2
Si \(k=\frac{1}{2}\), la imagen queda al lado opuesto del centro.
Ejercicio 6.3
Si \(|k|>1\), la figura se amplía, aunque \(k\) sea negativo.
Ejercicio 6.4
Si \(k=-3\), la figura se reduce porque el factor es negativo.
Solución 6.1
Incorrecta. La distancia no puede ser negativa.
\[ OP'=|-2|\cdot 4=8 \]
El signo negativo indica dirección opuesta, no una longitud negativa.
Solución 6.2
Incorrecta. Como \(k=\frac{1}{2}>0\), la imagen queda en la misma dirección respecto del centro. Además, se reduce porque \(|k|<1\).
Solución 6.3
Correcta. El tamaño depende de \(|k|\). Si \(|k|>1\), las distancias al centro aumentan.
Solución 6.4
Incorrecta. Si \(k=-3\), entonces:
\[ |k|=3>1 \]
Por lo tanto, la figura se amplía. El signo negativo solo indica que la imagen queda en dirección opuesta.
Ejercicio 7: retina y orientación
Responde en el contexto de una imagen formada al otro lado de un centro óptico. Usa la homotecia para interpretar distancia y orientación.
Ejercicio 7.1
Un objeto está a \(20\) cm del centro óptico y se aplica \(k=-\frac{1}{10}\). ¿A qué distancia queda su imagen?
Ejercicio 7.2
¿La imagen anterior queda en la misma dirección o en dirección opuesta respecto del centro?
Ejercicio 7.3
Si un objeto está a \(30\) cm del centro y su imagen queda a \(2\) cm al lado opuesto, ¿cuál es el factor \(k\)?
Ejercicio 7.4
Explica qué informa el signo de \(k\) y qué informa \(|k|\).
Solución 7.1
\[ OP'=\left|-\frac{1}{10}\right|\cdot 20=2 \]
La imagen queda a \(2\) cm del centro.
Solución 7.2
Como \(k<0\), la imagen queda en dirección opuesta respecto del centro.
Solución 7.3
Como la imagen queda al lado opuesto, el factor es negativo.
\[ |k|=\frac{2}{30}=\frac{1}{15} \]
Por lo tanto:
\[ k=-\frac{1}{15} \]
Solución 7.4
El signo de \(k\) informa la orientación respecto del centro: misma dirección si \(k>0\), dirección opuesta si \(k<0\).
El valor \(|k|\) informa cuánto se multiplican las distancias al centro y los tamaños de la figura.
Error frecuente
No escribas distancias negativas. En homotecia, el signo de \(k\) no hace que una distancia sea negativa; indica que la imagen queda en dirección opuesta respecto del centro.