Libro sobre homotecias
7. cierre de homotecia y puente hacia Tales
Objetivos de la pagina
- Reconocer la homotecia como una transformacion que conserva forma y razones.
- Medir segmentos para conjeturar el factor de homotecia.
- Preparar la idea de proporcionalidad que se usara en el Teorema de Tales.
Idea central
En una homotecia, cada punto y su imagen quedan alineados con el centro. Las distancias al centro cambian por un mismo factor, por eso aparecen razones iguales.
\[ \frac{OP'}{OP}=|k| \]
Experimento breve
Usa una linterna, un objeto pequeno y una pared. La linterna representa una fuente puntual, el objeto es la preimagen y la sombra es la imagen.
- Mide la distancia desde la linterna al objeto.
- Mide la distancia desde la linterna a la pared.
- Mide una altura del objeto y la altura correspondiente de la sombra.
- Compara las razones entre las distancias y entre los tamanos.
Ejemplo: sombra proyectada
Una linterna esta a \(40\) cm de un lapiz y a \(120\) cm de la pared. El lapiz mide \(8\) cm de alto. Si modelamos la situacion con una homotecia, estima la altura de la sombra.
El centro de homotecia es la linterna. El factor de ampliacion se estima comparando las distancias al centro:
\[ |k|=\frac{120}{40}=3 \]
Entonces la altura de la sombra es aproximadamente:
\[ 8\cdot 3=24 \]
La sombra mide aproximadamente \(24\) cm de alto.
Lo que se conserva
| Propiedad | Que significa |
|---|---|
| Alineacion | El centro, un punto y su imagen estan sobre una misma recta. |
| Angulos | La figura conserva su forma. |
| Razones | Las medidas correspondientes cambian por el mismo factor. |
| Paralelismo | Los lados correspondientes de una figura y su imagen quedan paralelos. |
Ejercicio 1: medir y conjeturar
En una homotecia de centro \(O\), se tiene \(OA=3\) cm y \(OA'=9\) cm. Ademas, \(OB=5\) cm.
- Determina el valor de \(|k|\).
- Calcula \(OB'\).
- Explica por que \(AB\) y \(A'B'\) deberian ser paralelos si la construccion es correcta.
Calculamos el factor usando las distancias correspondientes:
\[ |k|=\frac{OA'}{OA}=\frac{9}{3}=3 \]
Entonces:
\[ OB'=3\cdot 5=15 \]
Los segmentos \(AB\) y \(A'B'\) son correspondientes en una homotecia. Como la homotecia conserva angulos y forma, esos lados quedan paralelos.
Ejercicio 2: anticipar Tales
Imagina dos rayos que salen de un mismo punto \(O\). Sobre un rayo estan \(A\) y \(C\); sobre el otro estan \(B\) y \(D\). Si \(A\) se transforma en \(C\) y \(B\) se transforma en \(D\) por una misma homotecia de centro \(O\), responde:
- Que razon debe ser igual a \(\frac{OC}{OA}\)?
- Que puedes decir de los segmentos \(AB\) y \(CD\)?
- Por que esta situacion prepara el Teorema de Tales?
Como la misma homotecia transforma \(A\) en \(C\) y \(B\) en \(D\), se cumple:
\[ \frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB} \]
Ademas, \(AB\) y \(CD\) son segmentos correspondientes, por lo que deben ser paralelos.
Esto prepara Tales porque el teorema estudia justamente razones iguales que aparecen cuando dos rectas secantes son cortadas por segmentos paralelos.
Puente al siguiente libro
La homotecia explica por que aparecen razones iguales en una figura ampliada o reducida. En el siguiente libro veremos que, cuando rectas paralelas cortan dos rectas secantes, esas mismas razones aparecen de manera natural: esa sera la entrada al Teorema de Tales.