Libro sobre homotecias

Solución: El factor de homotecia, \(k\), es como el "control de zoom" de la transformación. Nos dice cuánto más grande o más pequeña será la figura transformada en comparación con la original.

• Si \(|k| > 1\), la figura se agranda. Es como usar una lupa.
• Si \(0 < |k| < 1\), la figura se reduce. Es como alejar un objeto: lo vemos más pequeño.
• Si \(k\) es negativo, la figura se invierte respecto al centro \(O\), además de agrandarse o achicarse. Imagina que la figura "cruza" el centro y se da vuelta.

Solución: La forma de una figura está determinada por sus ángulos y por las *proporciones* entre sus lados. La homotecia conserva los ángulos (los deja iguales) y, aunque cambia el tamaño de los lados, los cambia a todos *en la misma proporción* (todos se multiplican por el mismo número, \(|k|\)). Como las proporciones se mantienen, la forma general no cambia.

Solución: Que estén alíneados significa que los tres puntos están sobre la misma línea recta. Esto es importante porque nos dice que la transformación se hace "directamente hacia afuera" o "directamente hacia adentro" desde el centro \(O\). Cada punto y su imagen están conectados por una línea que pasa por el centro.

Solución:

1. Desde el centro \(O\), traza líneas rectas que pasen por cada uno de los vértices del cuadrado original.
2. Mide la distancia desde \(O\) a cada vértice.
3. Multiplica cada una de esas distancias por 3 (porque \(k = 3\)).
4. Marca los nuevos vértices (las imágenes) a esas distancias *triplicadas*, sobre las líneas que ya dibujaste.
5. Une los nuevos vértices para formar el cuadrado ampliado.

El lado del nuevo cuadrado medirá \(2 \text{ cm} \times 3 = 6 \text{ cm}\).

Solución: Un proyector de diapositivas o de cine es un buen ejemplo. La imagen pequeña en la diapositiva (o en el archivo digital) se agranda mucho al proyectarse en la pantalla. La lámpara del proyector actúa como el centro de homotecia, y la distancia entre la lámpara y la pantalla determina el factor de ampliación. Otro ejemplo es una lupa: la lupa (centro de la homotecia) agranda la imagen del objeto que estás observando.

Solución:

1. Elige un punto cualquiera como centro \(O\).
2. Dibuja líneas rectas desde \(O\) hasta cada uno de los vértices del triángulo (llamémoslos \(A\), \(B\), y \(C\)).
3. Mide la distancia \(OA\).
4. Divide esa distancia entre 2 (porque \(k = \frac{1}{2}\)).
5. Marca un punto \(A'\) sobre la línea \(OA\), a la distancia \(OA/2\) de \(O\).
6. Repite los pasos 3, 4 y 5 para los puntos \(B\) y \(C\), obteniendo \(B'\) y \(C'\).
7. Une \(A'\), \(B'\), y \(C'\) para formar el triángulo reducido. Este triángulo será exactamente la mitad del tamaño del original, y estará en la misma orientación.

Solución: La distancia \(OP'\) será igual a la distancia \(OP\) multiplicada por \(|k|\). En este caso, \(OP' = 5 \text{ cm} \times 2 = 10 \text{ cm}\). El punto \(P'\) quedará a 10 cm de \(O\).

Solución: Si \(k = 0\), *todos* los puntos de la figura se transforman en el centro \(O\). La figura "desaparece" o, más precisamente, se colapsa en un solo punto. Por ejemplo, si tienes un triángulo \(ABC\) y aplicas una homotecia con centro \(O\) y \(k = 0\), los puntos \(A'\), \(B'\), y \(C'\) *todos* coincidirán con \(O\). El triángulo se convierte en un punto.

Solución:

1. Mide la distancia \(OP\).
2. Multiplica esa distancia por 2 (porque \(|k| = 2\)).
3. Como \(k\) es negativo, \(P'\) estará en la *dirección opuesta* a \(P\) respecto a \(O\). Es decir, \(P'\) estará en la misma línea que \(O\) y \(P\), pero *al otro lado* de \(O\).
4. Marca el punto \(P'\) a una distancia \(2 \cdot OP\) de \(O\), pero en el lado opuesto a \(P\).

Solución: En este experimento, la linterna es el centro de homotecia. El factor de homotecia está determinado por la *relación entre las distancias*. Específicamente:

• Distancia de la linterna al objeto (bloque).
• Distancia de la linterna a la pared.

Si llamamos \(d_1\) a la distancia de la linterna al objeto, y \(d_2\) a la distancia de la linterna a la pared, entonces el valor absoluto del factor de homotecia es \(|k| = \frac{d_2}{d_1}\). Si la pared está más lejos de la linterna que el objeto (\(d_2 > d_1\)), entonces \(|k| > 1\) y la sombra será más grande que el objeto. Si acercas el objeto a la linterna (disminuyendo \(d_1\)), la sombra también se agranda.

Solución: Como el factor de homotecia es 2, todas las distancias desde el centro se duplican. Por lo tanto:

• \(OA' = 2 \cdot OA = 2 \cdot 3 \text{ cm} = 6 \text{ cm}\)
• \(OB' = 2 \cdot OB = 2 \cdot 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm}\)
• \(OC' = 2 \cdot OC = 2 \cdot 5 \text{ cm} = 10 \text{ cm}\)

Los vértices del triángulo transformado quedarán a 6 cm, 8 cm y 10 cm de \(O\), respectivamente.

Solución (Guía):

1. Dibuja un triángulo (o cuadrado) en tu cuaderno.
2. Elige un punto \(O\) como centro de homotecia. Puede estar dentro o fuera de la figura, pero para que la inversión se vea más clara, es mejor elegirlo fuera.
3. Dibuja líneas rectas desde \(O\) hasta cada uno de los vértices de la figura original.
4. Mide la distancia desde \(O\) a cada vértice.
5. Multiplica cada una de esas distancias por 3 (porque \(|k| = 3\)).
6. Como \(k\) es negativo, marca los nuevos vértices (las imágenes) a esas distancias *triplicadas*, pero *al otro lado* de \(O\), sobre las líneas que ya dibujaste.
7. Une los nuevos vértices para formar la figura transformada. Verás que la figura es tres veces más grande que la original y está "dada vuelta" con respecto a \(O\).

Solución: Para demostrar que la homotecia *no* cambia la forma, necesitamos mostrar que los ángulos se mantienen iguales y que las proporciones entre los lados también se mantienen. Podemos hacer lo siguiente:

1. Dibuja un rectángulo. Mide sus ángulos (todos deben ser de 90 grados). Mide la longitud de sus lados (largo y ancho).
2. Calcula la *razón* entre el largo y el ancho del rectángulo original (divide el largo entre el ancho).
3. Aplica una homotecia al rectángulo (elige un centro \(O\) y un factor \(k\), por ejemplo, \(k = 2\)).
4. Mide los ángulos del rectángulo transformado (deberían seguir siendo de 90 grados).
5. Mide los lados del rectángulo transformado.
6. Calcula la razón entre el largo y el ancho del rectángulo transformado. Esta razón debe ser *igual* a la razón que calculaste en el paso 2.

Si los ángulos se mantienen y la razón entre los lados se mantiene, entonces la forma no ha cambiado; solo el tamaño.

Solución:

*Primera homotecia:* Después de la primera homotecia, el punto \(P\) se transforma en un punto \(P'\) que está a una distancia \(OP' = 2.5 \text{ cm} \times 4 = 10 \text{ cm}\) de \(O\).

*Segunda homotecia:* Ahora, aplicamos una homotecia a \(P'\) con factor \(\frac{1}{4}\). El punto resultante, llamémoslo \(P''\), estará a una distancia \(OP'' = 10 \text{ cm} \times \frac{1}{4} = 2.5 \text{ cm}\) de \(O\).

¡El punto \(P''\) está en la misma posición que el punto original \(P\)! Esto sucede porque las dos homotecias "se cancelan" entre sí. Multiplicar por 4 y luego por \(\frac{1}{4}\) es lo mismo que multiplicar por 1.