3. Segundo Teorema de Tales (cc)

Objetivos

  • Comprender el segundo Teorema de Tales.
  • Relacionar segmentos paralelos con distancias desde el vértice.
  • Usar figuras y applets existentes para interpretar la propiedad.

Segundo Teorema en una figura rotada

El segundo teorema compara los segmentos paralelos con las distancias desde el vértice.

Segundo Teorema de Tales

Segundo Teorema de Tales

Si un haz de rectas es cortado por dos o más paralelas, los trazos paralelos interceptados están en la misma razón que los respectivos segmentos determinados sobre una misma recta del haz.

Hipótesis: \(\; AB \parallel CD\)

Tesis:

Figura Segundo Teorema de Tales

\(\displaystyle \frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD}\)
\(\displaystyle \frac{AB}{CD} = \frac{OA}{OC}\)

Demostración

Demostraremos la primera proporción (\(\;\frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD}\); la segunda es análoga):

Prueba:

I. Se trazará por B un segmento paralelo a \(OC\), determinando el punto E.
II. El triángulo \(\triangle ODC\) es cortado por las paralelas \(BE\) y \(OC\), así que podemos usar el Primer Teorema de Tales para establecer:

Figura de la demostración T.2

\(\displaystyle \frac{OB}{OD} = \frac{CE}{CD}.\)

III. Observa que con el segmento BE se forma el paralelogramo CEBA, por lo que \(\; CE = AB\).

Paralelogramo CEBA

Entonces, reemplazando \(CE\) por \(AB\) en la proporción anterior:

\(\displaystyle \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}\quad (\text{Q.E.D.})\)

Paralelas opuestas por el vértice

Si las paralelas están opuestas por el vértice, puede demostrarse de forma análoga (giro de 180°) que se cumplen las mismas relaciónes.

Figura opuestas vértice - Segundo Teorema de Tales

\(\displaystyle \frac{QP}{RS} = \frac{OP}{OS}\), \quad \(\displaystyle \frac{QP}{RS} = \frac{OQ}{OR}\).

Puedes girar la figura 180° moviendo el desplazador para observar cómo se deduce la propiedad en este caso.