Libro Probabilidad de sucesos
6. Paseos aleatorios y cierre de la unidad
Objetivos de la pagina
- Mostrar que comprenden el concepto de azar.
- Elaboran arboles o redes de caminos para representar paseos aleatorios.
- Reconocen que varios caminos pueden llegar a una misma meta.
- Usan frecuencias relativas y probabilidades para describir comportamientos azarosos.
Paseos aleatorios
Un paseo aleatorio es un proceso en etapas donde en cada paso se elige una direccion o accion al azar. Aunque cada camino particular puede tener la misma probabilidad, algunas metas pueden recibir mas caminos que otras.
Ejemplo
Una ficha parte en \(0\). En cada paso avanza \(+1\) si sale cara y \(-1\) si sale sello. Despues de 3 lanzamientos hay \(2^3=8\) caminos posibles.
| Meta final | Caminos que llegan | Probabilidad |
|---|---|---|
| \(3\) | \(CCC\) | \(\frac{1}{8}\) |
| \(1\) | \(CCS, CSC, SCC\) | \(\frac{3}{8}\) |
| \(-1\) | \(CSS, SCS, SSC\) | \(\frac{3}{8}\) |
| \(-3\) | \(SSS\) | \(\frac{1}{8}\) |
Lectura global
La probabilidad no solo sirve para calcular un numero. Tambien permite comparar caminos, describir comportamientos que se repiten y tomar decisiones cuando hay incertidumbre.
Ejercicio 1
En el paseo aleatorio del ejemplo, calcula la probabilidad de terminar en una posicion positiva.
Las posiciones positivas son \(1\) y \(3\). Sus probabilidades son \(\frac{3}{8}\) y \(\frac{1}{8}\). Entonces:
\[ P(\text{posicion positiva})=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 2
Explica por que la meta \(1\) es mas probable que la meta \(3\) en el paseo de tres pasos.
La meta \(3\) solo se alcanza con el camino \(CCC\). En cambio, la meta \(1\) se alcanza con tres caminos: \(CCS\), \(CSC\) y \(SCC\). Como cada camino tiene probabilidad \(\frac{1}{8}\), la meta con mas caminos tiene mayor probabilidad.
Ejercicio 3
Un grupo simula 100 paseos de tres pasos y termina en posicion \(1\) un total de 41 veces. Calcula la frecuencia relativa y comparala con la probabilidad teorica.
La frecuencia relativa es \(\frac{41}{100}=0{,}41\). La probabilidad teorica de terminar en \(1\) es \(\frac{3}{8}=0{,}375\). Los valores son cercanos, aunque no iguales, porque 100 repeticiones todavia pueden mostrar variacion aleatoria.
Proyecto breve
Diseña un experimento aleatorio de dos o tres etapas. Define el espacio muestral, elige un suceso compuesto y calcula su probabilidad usando arbol, tabla o listado ordenado.
Una respuesta completa debe incluir: experimento, resultados posibles, representacion organizada, suceso pedido, calculo de probabilidades de caminos favorables y conclusion en una frase. Por ejemplo, si se lanzan dos monedas y se pide "al menos una cara", se pueden listar \(CC, CS, SC, SS\), marcar tres casos favorables y concluir \(P=\frac{3}{4}\).