Capitulo 6 sistemas de ecuaciones
3. Sistemas de Ecuaciones: Introducción y Método Gráfico
Sistemas de Ecuaciones: Introducción y Método Gráfico
¿Qué es un sistema de ecuaciones?
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que deben cumplirse al mismo tiempo. En esta clase estudiaremos sistemas \(2 \times 2\): dos ecuaciones con dos incógnitas.
La forma general es:
\[ \begin{cases} ax+by=c\\ dx+ey=f \end{cases} \]
La solución: el punto exacto del sistema
La solución de un sistema es el par ordenado \((x,y)\) que hace verdaderas ambas ecuaciones al mismo tiempo.
Gráficamente, corresponde al punto donde se intersectan las rectas asociadas a las ecuaciones.
Interpretación gráfica
Cada ecuación lineal representa una recta en el plano cartesiano. Al graficar ambas rectas, pueden ocurrir tres casos:
| Caso posible | Descripción gráfica | Número de soluciones |
|---|---|---|
| Sistema compatible determinado | Las rectas se intersectan en un solo punto. | Una única solución. |
| Sistema incompatible | Las rectas son paralelas y no se intersectan. | Ninguna solución. |
| Sistema compatible indeterminado | Las rectas coinciden: una está exactamente sobre la otra. | Infinitas soluciones. |
Método gráfico
Procedimiento para resolver por método gráfico
- Despejar \(y\): escribe ambas ecuaciones en la forma \(y=mx+n\).
- Graficar la primera recta: usa su intercepto \(n\) y su pendiente \(m\).
- Graficar la segunda recta: repite el procedimiento en el mismo plano cartesiano.
- Identificar la intersección: si las rectas se cruzan, el punto de intersección es la solución.
- Verificar: reemplaza el par ordenado en ambas ecuaciones originales.
Ojo con la precisión
El método gráfico ayuda a comprender el significado de la solución, pero puede ser impreciso cuando el punto de intersección no tiene coordenadas enteras. Por eso, más adelante conviene complementar este método con procedimientos algebraicos.
Ejemplos
Ejemplo 1: solución única
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 2x+y=5\\ x-y=1 \end{cases} \]
1. Despejamos \(y\):
\[ 2x+y=5 \Rightarrow y=-2x+5 \]
\[ x-y=1 \Rightarrow y=x-1 \]
2. Graficamos ambas rectas:
3. Identificamos la intersección: las rectas se cruzan en \((2,1)\).
4. Verificamos:
\[ 2(2)+1=5 \]
\[ 2-1=1 \]
Solución: el sistema tiene solución única \((2,1)\).
Ejemplo 2: sin solución
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 2x+y=4\\ 2x+y=1 \end{cases} \]
1. Despejamos \(y\):
\[ 2x+y=4 \Rightarrow y=-2x+4 \]
\[ 2x+y=1 \Rightarrow y=-2x+1 \]
Ambas rectas tienen la misma pendiente, \(-2\), pero distinto intercepto. Por lo tanto, son paralelas.
Conclusión: como las rectas no se intersectan, no existe un par ordenado que satisfaga ambas ecuaciones.
Solución: el sistema no tiene solución.
Ejemplo 3: infinitas soluciones
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} x-y=3\\ 2x-2y=6 \end{cases} \]
1. Despejamos \(y\):
\[ x-y=3 \Rightarrow y=x-3 \]
\[ 2x-2y=6 \Rightarrow -2y=6-2x \Rightarrow y=x-3 \]
Las dos ecuaciones representan la misma recta.
Conclusión: todo punto de la recta \(y=x-3\) satisface ambas ecuaciones.
Solución: el sistema tiene infinitas soluciones.
Ejercicios
Parte 1: Identificación de soluciones
Ejercicio 1
¿Cuál de los siguientes pares ordenados es solución del sistema?
\[ \begin{cases} 3x-y=5\\ x+y=3 \end{cases} \]
- \((1,-2)\)
- \((2,1)\)
- \((3,4)\)
- \((-1,-8)\)
Respuesta: b) \((2,1)\).
Verificamos en la primera ecuación:
\[ 3(2)-1=6-1=5 \]
Verificamos en la segunda ecuación:
\[ 2+1=3 \]
Como el par ordenado cumple ambas ecuaciones, \((2,1)\) es solución del sistema.
Ejercicio 2
¿Es el punto \((0,3)\) una solución del sistema?
\[ \begin{cases} x+2y=6\\ 4x-y=-3 \end{cases} \]
- Sí
- No
Respuesta: a) Sí.
Reemplazamos \(x=0\) e \(y=3\) en la primera ecuación:
\[ 0+2(3)=6 \]
Reemplazamos en la segunda ecuación:
\[ 4(0)-3=-3 \]
Como ambas igualdades son verdaderas, \((0,3)\) sí es solución del sistema.
Ejercicio 3
¿Cuántas soluciones tiene un sistema cuyas rectas son paralelas?
- Una
- Dos
- Infinitas
- Ninguna
Respuesta: d) Ninguna.
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente y distinto intercepto. Por eso no se intersectan en ningún punto.
Entonces, no existe un par ordenado \((x,y)\) que satisfaga ambas ecuaciones al mismo tiempo.
Parte 2: Resolución por método gráfico
Ejercicio 4
Resuelve gráficamente:
\[ \begin{cases} x+y=4\\ 2x-y=2 \end{cases} \]
1. Despejamos \(y\):
\[ x+y=4 \Rightarrow y=-x+4 \]
\[ 2x-y=2 \Rightarrow y=2x-2 \]
Las rectas se intersectan en \((2,2)\).
Solución: \((2,2)\).
Ejercicio 5
Resuelve gráficamente:
\[ \begin{cases} 2x-y=3\\ 4x-2y=6 \end{cases} \]
1. Despejamos \(y\):
\[ 2x-y=3 \Rightarrow y=2x-3 \]
\[ 4x-2y=6 \Rightarrow -2y=6-4x \Rightarrow y=2x-3 \]
Ambas ecuaciones representan la misma recta.
Solución: el sistema tiene infinitas soluciones.
Ejercicio 6
Resuelve gráficamente:
\[ \begin{cases} x+y=2\\ 2x+2y=6 \end{cases} \]
1. Despejamos \(y\):
\[ x+y=2 \Rightarrow y=-x+2 \]
\[ 2x+2y=6 \Rightarrow x+y=3 \Rightarrow y=-x+3 \]
Las rectas tienen la misma pendiente, \(-1\), pero distinto intercepto. Por lo tanto, son paralelas.
Solución: el sistema no tiene solución.
Ejercicio 7
Resuelve gráficamente:
\[ \begin{cases} x+y=3\\ x-y=1 \end{cases} \]
1. Despejamos \(y\):
\[ x+y=3 \Rightarrow y=-x+3 \]
\[ x-y=1 \Rightarrow y=x-1 \]
Las rectas se intersectan en \((2,1)\).
Solución: \((2,1)\).