3. Sistemas de Ecuaciones: Introducción y Método Gráfico

Sistemas de Ecuaciones: Introducción y Método Gráfico

🤓 ¿Qué es un Sistema de Ecuaciones?

Imagina que tienes dos pistas o condiciones que debe cumplir un tesoro escondido (nuestras incógnitas 'x' e 'y'). Un sistema de ecuaciones es simplemente un conjunto de dos o más de estas pistas (ecuaciones) que deben ser verdaderas al mismo tiempo. Nosotros nos enfocaremos en los sistemas 2x2: dos ecuaciones con dos incógnitas.

La forma general es:
\( ax + by = c \)
\( dx + ey = f \)

La Solución: El Punto Exacto del Tesoro

La solución de un sistema es el único par de valores (x, y) que resuelve el misterio, es decir, que hace que ambas "pistas" (ecuaciones) sean verdaderas. Gráficamente, es el punto donde los caminos de ambas pistas se cruzan.

💡 Interpretación Gráfica: ¿Qué nos dice el dibujo?

Cada ecuación lineal es una recta en el plano. Cuando dibujamos ambas rectas juntas, pueden pasar tres cosas. ¡Entender esto es clave!

Caso Posible Descripción Gráfica Número de Soluciones
Sistema Compatible Determinado Las rectas se intersectan en un solo punto. Una única solución.
Sistema Incompatible Las rectas son paralelas, nunca se tocan. Ninguna solución.
Sistema Compatible Indeterminado Una recta está exactamente encima de la otra (son la misma). Infinitas soluciones.

Método Gráfico: Resolviendo con la Vista

Este método consiste en dibujar ambas rectas y encontrar visualmente el punto donde chocan.

📐 Procedimiento para resolver por método gráfico
  1. Preparar las ecuaciones: Despeja la 'y' en ambas ecuaciones para dejarlas en la forma \(y = mx + n\).
  2. Graficar la primera recta: Ubica el punto 'n' (el intercepto) en el eje Y. Desde ahí, usa la pendiente 'm' para encontrar un segundo punto (ej: si m=2/3, subes 2 y avanzas 3). Traza la línea.
  3. Graficar la segunda recta: Repite el mismo proceso en el mismo plano cartesiano.
  4. Encontrar la solución: Las coordenadas (x, y) del punto exacto donde se cruzan las rectas es la solución del sistema.
  5. Verificar (opcional, pero recomendado): Reemplaza los valores de 'x' e 'y' de la solución en las ecuaciones originales. ¡Ambas deberían dar un resultado verdadero!
⚠️ ¡Ojo con la precisión! El método gráfico es excelente para entender qué está pasando, pero puede ser impreciso si el punto de cruce no tiene coordenadas enteras (ej: (2.1, -3.5)). Para eso, más adelante veremos métodos algebraicos que son exactos.

Ejemplo Resuelto

Resolvamos el sistema:
\( 2x + y = 5 \)
\( x - y = 1 \)

1. Despejar "y":
Ecuación 1: \( y = -2x + 5 \) (Intercepto n=5, Pendiente m=-2)
Ecuación 2: \( y = x - 1 \) (Intercepto n=-1, Pendiente m=1)

2. Graficar:
- Para la Recta 1 (azul), partimos en el 5 del eje Y. Como la pendiente es -2 (o -2/1), bajamos 2 unidades y avanzamos 1 a la derecha. Unimos los puntos.
- Para la Recta 2 (roja), partimos en el -1 del eje Y. Como la pendiente es 1 (o 1/1), subimos 1 unidad y avanzamos 1 a la derecha. Unimos los puntos.

3. Identificar el punto de intersección:
Visualmente, las rectas se cruzan en el punto (2, 1).

4. Verificar:
Ecuación 1: \( 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 \) (✔️ Verdadero)
Ecuación 2: \( (2) - 1 = 1 \) (✔️ Verdadero)

Solución: El par ordenado (2, 1) es la solución del sistema.

Ejemplo 1: Solución Única (El caso más común)

Resolvamos el sistema:
\( 2x + y = 5 \)
\( x - y = 1 \)

1. Despejar "y":
Ecuación 1: \( y = -2x + 5 \) (Intercepto n=5, Pendiente m=-2)
Ecuación 2: \( y = x - 1 \) (Intercepto n=-1, Pendiente m=1)

2. Análisis y Gráfico:
Como las pendientes (m) son diferentes (-2 y 1), sabemos que las rectas se cruzarán en algún punto.

- Para la Recta 1, partimos en el 5 del eje Y, bajamos 2 y avanzamos 1.
- Para la Recta 2, partimos en el -1 del eje Y, subimos 1 y avanzamos 1.

3. Identificar el punto de intersección:
Visualmente, las rectas se cruzan en el punto (2, 1).

4. Verificar:
Ecuación 1: \( 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 \) (✔️ Verdadero)
Ecuación 2: \( (2) - 1 = 1 \) (✔️ Verdadero)

Solución: El par ordenado (2, 1) es la única solución del sistema.

Ejemplo 2: Sin Solución (Rectas Paralelas)

Resolvamos el sistema:
\( 2x + y = 4 \)
\( 2x + y = 1 \)

1. Despejar "y":
Ecuación 1: \( y = -2x + 4 \) (Intercepto n=4, Pendiente m=-2)
Ecuación 2: \( y = -2x + 1 \) (Intercepto n=1, Pendiente m=-2)

🤓 ¿Qué está pasando aquí?

¡Ojo! Fíjate que ambas rectas tienen la misma pendiente (m = -2), lo que significa que tienen exactamente la misma inclinación. Sin embargo, sus coeficientes de posición son distintos (n=4 y n=1). Por definición, dos rectas con la misma pendiente y distinto intercepto son paralelas.

2. Análisis y Gráfico:
Al graficar, verás dos rectas que nunca se tocan, como las líneas de un ferrocarril.

3. Conclusión:
Como las rectas paralelas nunca se cruzan, no existe un punto (x, y) que pueda satisfacer ambas ecuaciones al mismo tiempo.

Solución: El sistema no tiene solución.

Ejemplo 3: Infinitas Soluciones (Rectas Coincidentes)

Resolvamos el sistema:
\( x - y = 3 \)
\( 2x - 2y = 6 \)

1. Despejar "y" en la primera ecuación:
\( x - y = 3 \)
\( -y = 3 - x \)
\( y = x - 3 \) (Intercepto n=-3, Pendiente m=1)

2. Despejar "y" en la segunda ecuación:
\( 2x - 2y = 6 \)
\( -2y = 6 - 2x \)
\( y = \frac{6 - 2x}{-2} \)
\( y = -3 + x \), que es lo mismo que \( y = x - 3 \) (Intercepto n=-3, Pendiente m=1)

🤓 ¿Qué está pasando aquí?

¡Sorpresa! Al despejar 'y' en ambas ecuaciones, llegamos a una expresión idéntica: \(y = x - 3\). Esto nos dice que la segunda ecuación es solo una versión "disfrazada" de la primera (es la primera multiplicada por 2). En realidad, no son dos rectas distintas, sino la misma recta.

2. Análisis y Gráfico:
Si intentas graficar ambas, te darás cuenta de que dibujas la primera línea y, al dibujar la segunda, trazas exactamente sobre la primera. Son rectas coincidentes.

3. Conclusión:
Como una recta está perfectamente encima de la otra, cualquier punto que es solución para la primera ecuación también lo es para la segunda. Todos los puntos de la línea son soluciones.

Solución: El sistema tiene infinitas soluciones.

Ejercicios

Parte 1: Identificación de Soluciones

1. ¿Cuál de los siguientes pares ordenados es la solución del sistema?
\( 3x - y = 5 \)
\( x + y = 3 \)

  1. (1, -2)
  2. (2, 1)
  3. (3, 4)
  4. (-1, -8)

2. ¿Es el punto (0, 3) una solución del sistema?
\( x + 2y = 6 \)
\( 4x - y = -3 \)

  1. Sí
  2. No

3. ¿Cuántas soluciones tiene un sistema cuyas rectas son paralelas?

  1. Una
  2. Dos
  3. Infinitas
  4. Ninguna

Parte 2: Resolución por Método Gráfico

4. Resuelve gráficamente:
\( x + y = 4 \)
\( 2x - y = 2 \)

5. Resuelve gráficamente:
\( 2x - y = 3 \)
\( 4x - 2y = 6 \)

6. Resuelve gráficamente:
\( x + y = 2 \)
\( 2x + 2y = 6 \)

7. Resuelve gráficamente:
\( x + y = 3\)
\( x - y = 1 \)