Capitulo 6 sistemas de ecuaciones
1. Graficando Ecuaciones Lineales: ¡El Primer Paso! (cc)
Graficando Ecuaciones Lineales: ¡El Primer Paso!
Objetivos
- Ubicar pares ordenados en el plano cartesiano.
- Construir una tabla de valores para una ecuación lineal.
- Reconocer que los puntos generados por una ecuación lineal forman una recta.
Idea central
Antes de estudiar sistemas de ecuaciones, es importante dominar una herramienta clave: graficar una ecuación lineal. Una ecuación puede verse como una regla que genera puntos, y esos puntos permiten construir una recta en el plano cartesiano.
Pares ordenados
Todo punto en el plano cartesiano tiene dos coordenadas: un valor en el eje horizontal, llamado coordenada \(x\), y un valor en el eje vertical, llamado coordenada \(y\). A esta pareja de valores la llamamos par ordenado y se escribe \((x,y)\).
Ejemplo 1: Ubicar puntos sueltos en el plano
Si tenemos puntos dados, los ubicamos según sus coordenadas. En este caso, los puntos no necesariamente siguen una misma regla.
| Punto | Coordenada \(x\) | Coordenada \(y\) | Par ordenado |
|---|---|---|---|
| A | 2 | 5 | \((2,5)\) |
| B | 3 | 4 | \((3,4)\) |
| C | -2 | 7 | \((-2,7)\) |
La ecuación como regla del juego
Una ecuación como \(y=2x+1\) es una instrucción precisa: para cada valor de \(x\), el valor de \(y\) será el doble de ese valor de \(x\), más uno.
Con una ecuación ya no trabajamos con puntos aislados: tenemos una regla que permite generar muchos puntos relacionados entre sí.
Procedimiento para graficar una ecuación lineal
- Escoge algunos valores simples para \(x\), por ejemplo \(-2,-1,0,1,2\).
- Reemplaza cada valor de \(x\) en la ecuación para calcular el valor correspondiente de \(y\).
- Forma los pares ordenados \((x,y)\).
- Ubica los puntos en el plano cartesiano.
- Une los puntos para observar la recta que representa la ecuación.
Ejemplo 2: Graficar \(y=2x+1\)
Aplicamos la regla \(y=2x+1\) a distintos valores de \(x\):
| Valor de \(x\) | Cálculo | Valor de \(y\) | Punto |
|---|---|---|---|
| -2 | \(y=2(-2)+1=-4+1\) | -3 | \((-2,-3)\) |
| -1 | \(y=2(-1)+1=-2+1\) | -1 | \((-1,-1)\) |
| 0 | \(y=2(0)+1=0+1\) | 1 | \((0,1)\) |
| 1 | \(y=2(1)+1=2+1\) | 3 | \((1,3)\) |
| 2 | \(y=2(2)+1=4+1\) | 5 | \((2,5)\) |
Al ubicar estos puntos, todos quedan sobre una misma línea recta. Esa recta es la gráfica de la ecuación \(y=2x+1\).
Un consejo útil
Para dibujar una recta bastan dos puntos, pero calcular un tercer punto ayuda a comprobar el trabajo. Si el tercer punto no queda en la misma línea, conviene revisar los cálculos.
Ejemplo 3: Graficar \(y=-x+3\)
Ahora la \(x\) tiene coeficiente negativo. Observa cómo eso cambia la dirección de la recta.
| Valor de \(x\) | Cálculo | Valor de \(y\) | Punto |
|---|---|---|---|
| -2 | \(y=-(-2)+3=2+3\) | 5 | \((-2,5)\) |
| -1 | \(y=-(-1)+3=1+3\) | 4 | \((-1,4)\) |
| 0 | \(y=-(0)+3=0+3\) | 3 | \((0,3)\) |
| 1 | \(y=-(1)+3=-1+3\) | 2 | \((1,2)\) |
| 2 | \(y=-(2)+3=-2+3\) | 1 | \((2,1)\) |
Al unir los puntos, la recta baja de izquierda a derecha. Esto ocurre por el signo negativo del coeficiente de \(x\).
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1: \(y=3x+1\)
Construye una tabla con al menos tres valores de \(x\), forma los pares ordenados y grafica la recta.
Tomemos \(x=-1,0,1\).
| \(x\) | \(y=3x+1\) | Punto |
|---|---|---|
| -1 | \(3(-1)+1=-2\) | \((-1,-2)\) |
| 0 | \(3(0)+1=1\) | \((0,1)\) |
| 1 | \(3(1)+1=4\) | \((1,4)\) |
La recta sube de izquierda a derecha y es más inclinada que \(y=2x+1\), porque el coeficiente de \(x\) es mayor.
Ejercicio 2: \(y=-2x+2\)
Construye una tabla con al menos tres valores de \(x\), forma los pares ordenados y grafica la recta.
Tomemos \(x=-1,0,1\).
| \(x\) | \(y=-2x+2\) | Punto |
|---|---|---|
| -1 | \(-2(-1)+2=4\) | \((-1,4)\) |
| 0 | \(-2(0)+2=2\) | \((0,2)\) |
| 1 | \(-2(1)+2=0\) | \((1,0)\) |
La recta baja de izquierda a derecha, porque el coeficiente de \(x\) es negativo.
Ejercicio 3: \(y=\frac{x}{2}+2\)
Construye una tabla con valores convenientes de \(x\), forma los pares ordenados y grafica la recta.
Como aparece \(\frac{x}{2}\), conviene elegir valores pares para \(x\). Tomemos \(x=-2,0,2\).
| \(x\) | \(y=\frac{x}{2}+2\) | Punto |
|---|---|---|
| -2 | \(\frac{-2}{2}+2=-1+2=1\) | \((-2,1)\) |
| 0 | \(\frac{0}{2}+2=2\) | \((0,2)\) |
| 2 | \(\frac{2}{2}+2=1+2=3\) | \((2,3)\) |
La recta sube de izquierda a derecha, pero con menor inclinación, porque el coeficiente de \(x\) es \(\frac{1}{2}\).
Aplicaciones de las ecuaciones lineales
Las ecuaciones lineales modelan situaciones donde una cantidad cambia a ritmo constante. Por ejemplo, pueden representar el costo de un plan de celular con cargo fijo más un precio por consumo, la distancia recorrida por un vehículo a velocidad constante o el crecimiento regular de una planta.