Capitulo 6 sistemas de ecuaciones
4. Sistemas de Ecuaciones: Método de Sustitución
Sistemas de Ecuaciones: Método de Sustitución
El método de sustitución es una técnica puramente algebraica para "pillar" la solución de un sistema. La idea es simple: despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y luego reemplazamos (o "sustituimos") esa expresión en la otra ecuación. Esto nos deja con una sola ecuación y una sola incógnita, ¡algo que ya sabemos resolver!
Procedimiento Paso a Paso
- Despejar una incógnita: Elige una de las ecuaciones y despeja una de las incógnitas.
- Sustituir: Reemplaza la expresión que obtuviste en la otra ecuación. ¡Ojo con los paréntesis al sustituir!
- Resolver: Resuelve esta nueva ecuación para encontrar el valor de una de las incógnitas.
- Encontrar la segunda incógnita: Usa el valor que acabas de encontrar y reemplázalo en la ecuación despejada del primer paso.
- Verificar (la prueba de fuego): Comprueba que tu solución (x, y) funciona en ambas ecuaciones originales.
Para hacerte la vida más fácil, en el primer paso siempre busca despejar la incógnita que parezca más "sencilla". Generalmente, es aquella que no tiene número (o tiene un 1) o que está positiva. Por ejemplo, en el sistema \(2x + y = 5\) y \(3x - 4y = 8\), es mucho más fácil despejar la 'y' de la primera ecuación.
Ejemplos Resueltos: Método de Sustitución
Ejemplo 1: Despeje Directo
Resolvamos el sistema:
\( 2x + y = 7 \)
\( x - y = 2 \)
1. Despejar: La 'y' de la primera ecuación está positiva y sin coeficiente, ¡es la candidata ideal!
\( y = 7 - 2x \)
2. Sustituir: Ahora, reemplazamos esta expresión para 'y' en la segunda ecuación.
\( x - (7 - 2x) = 2 \)
3. Resolver para 'x':
\( x - 7 + 2x = 2 \)
\( 3x = 9 \)
\( x = 3 \)
4. Encontrar 'y': Volvemos a la expresión despejada del paso 1 con nuestro nuevo valor de x.
\( y = 7 - 2(3) \)
\( y = 7 - 6 = 1 \)
Solución: El par ordenado (3, 1) es la solución del sistema.
Ejemplo 2: Despejando la 'x'
Resolvamos el sistema:
\( x + 3y = 6 \)
\( 5x - 2y = 13 \)
1. Despejar: En este caso, la 'x' de la primera ecuación es la más fácil de despejar.
\( x = 6 - 3y \)
2. Sustituir: Reemplazamos esta expresión para 'x' en la segunda ecuación.
\( 5(6 - 3y) - 2y = 13 \)
3. Resolver para 'y':
\( 30 - 15y - 2y = 13 \)
\( 30 - 17y = 13 \)
\( -17y = 13 - 30 \)
\( -17y = -17 \)
\( y = 1 \)
4. Encontrar 'x': Volvemos a la expresión despejada del paso 1.
\( x = 6 - 3(1) \)
\( x = 6 - 3 = 3 \)
Solución: El par ordenado (3, 1) es la solución del sistema.
Ejemplo 3: Despeje con Coeficientes
Resolvamos el sistema:
\( 2x + 3y = 1 \)
\( 3x - 4y = 10 \)
1. Despejar: Aquí ninguna incógnita está sola. Despejemos la 'x' de la primera ecuación.
\( 2x = 1 - 3y \)
\( x = \frac{1 - 3y}{2} \)
2. Sustituir: Reemplazamos esta fracción en la segunda ecuación.
\( 3\left(\frac{1 - 3y}{2}\right) - 4y = 10 \)
3. Resolver para 'y': Multiplicamos cada término por 2.
\( 2 \cdot 3\left(\frac{1 - 3y}{2}\right) - 2 \cdot 4y = 2 \cdot 10 \)
\( 3(1 - 3y) - 8y = 20 \)
\( 3 - 9y - 8y = 20 \)
\( 3 - 17y = 20 \)
\( -17y = 17 \)
\( y = -1 \)
4. Encontrar 'x': Volvemos a la expresión despejada.
\( x = \frac{1 - 3(-1)}{2} \)
\( x = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
Solución: El par ordenado (2, -1) es la solución del sistema.
Ejercicios Propuestos
Parte 1: Ejercicios con Números Enteros y Racionales
1. Resuelve:
\( x + y = 5 \)
\( 2x - y = 4 \)
Solución: (3, 2)
1. Despejar y: \( y = 5 - x \)
2. Sustituir: \( 2x - (5 - x) = 4 \)
3. Resolver: \( 3x - 5 = 4 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3 \)
4. Encontrar y: \( y = 5 - 3 = 2 \)
2. Resuelve:
\( 3x + y = 7 \)
\( 2x - 3y = 0 \)
Solución: (\( \frac{21}{11}, \frac{14}{11} \))
1. Despejar y: \( y = 7 - 3x \)
2. Sustituir: \( 2x - 3(7 - 3x) = 0 \)
3. Resolver: \( 2x - 21 + 9x = 0 \Rightarrow 11x = 21 \Rightarrow x = \frac{21}{11} \)
4. Encontrar y: \( y = 7 - 3(\frac{21}{11}) = \frac{14}{11} \)
3. Resuelve:
\( x + 2y = 8 \)
\( 3x - y = 3 \)
Solución: (2, 3)
1. Despejar x: \( x = 8 - 2y \)
2. Sustituir: \( 3(8 - 2y) - y = 3 \)
3. Resolver: \( 24 - 6y - y = 3 \Rightarrow -7y = -21 \Rightarrow y = 3 \)
4. Encontrar x: \( x = 8 - 2(3) = 2 \)
4. Resuelve:
\( \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 2 \)
\( x - 2y = -2 \)
Solución: (\( \frac{5}{2}, \frac{9}{4} \))
1. Despejar x: \( x = 2y - 2 \)
2. Sustituir: \( \frac{1}{2}(2y - 2) + \frac{1}{3}y = 2 \)
3. Resolver: \( y - 1 + \frac{1}{3}y = 2 \Rightarrow \frac{4}{3}y = 3 \Rightarrow y = \frac{9}{4} \)
4. Encontrar x: \( x = 2(\frac{9}{4}) - 2 = \frac{5}{2} \)
5. Resuelve:
\( 4x - y = 11 \)
\( 6x + 2y = 14 \)
Solución: (\( \frac{18}{7}, -\frac{5}{7} \))
1. Despejar y: \( y = 4x - 11 \)
2. Sustituir: \( 6x + 2(4x - 11) = 14 \)
3. Resolver: \( 14x - 22 = 14 \Rightarrow 14x = 36 \Rightarrow x = \frac{18}{7} \)
4. Encontrar y: \( y = 4(\frac{18}{7}) - 11 = -\frac{5}{7} \)
Parte 2: Ejercicios con Coeficientes Literales
6. Resuelve para x e y:
\( x + y = a \)
\( x - y = b \)
Solución: (\( \frac{a + b}{2}, \frac{a - b}{2} \))
1. Despejar y: \( y = a - x \)
2. Sustituir: \( x - (a - x) = b \)
3. Resolver: \( 2x - a = b \Rightarrow 2x = a + b \Rightarrow x = \frac{a + b}{2} \)
4. Encontrar y: \( y = a - (\frac{a + b}{2}) = \frac{2a - (a+b)}{2} = \frac{a - b}{2} \)
7. Resuelve para x e y (con \( ab \neq 1 \)):
\( ax + y = c \)
\( x + by = d \)
Solución: (\( \frac{d-bc}{1-ab}, \frac{c-ad}{1-ab} \))
1. Despejar y: \( y = c - ax \)
2. Sustituir: \( x + b(c - ax) = d \)
3. Resolver: \( x + bc - abx = d \Rightarrow x(1 - ab) = d - bc \Rightarrow x = \frac{d - bc}{1 - ab} \)
4. Encontrar y: \( y = c - a(\frac{d - bc}{1 - ab}) = \frac{c(1-ab) - a(d-bc)}{1-ab} = \frac{c - ad}{1 - ab} \)