Capitulo 6 sistemas de ecuaciones
4. Sistemas de Ecuaciones: Método de Sustitución
Sistemas de Ecuaciones: Método de Sustitución
¿Qué es el método de sustitución?
El método de sustitución es una técnica algebraica para resolver sistemas de ecuaciones. La idea consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y luego reemplazar esa expresión en la otra ecuación.
De esta manera, se obtiene una ecuación con una sola incógnita, que puede resolverse con procedimientos ya conocidos.
Procedimiento paso a paso
Pasos para resolver un sistema por sustitución
- Despejar una incógnita: elige una de las ecuaciones y despeja una de sus incógnitas.
- Sustituir: reemplaza la expresión obtenida en la otra ecuación. Es importante usar paréntesis cuando corresponda.
- Resolver: resuelve la nueva ecuación para encontrar el valor de una incógnita.
- Encontrar la segunda incógnita: reemplaza el valor encontrado en la ecuación despejada.
- Verificar: comprueba que el par ordenado obtenido satisface ambas ecuaciones originales.
Un tip de profe
Para facilitar el procedimiento, conviene despejar primero la incógnita que tenga coeficiente \(1\) o \(-1\). Por ejemplo, en el sistema \(2x+y=5\) y \(3x-4y=8\), es más sencillo despejar \(y\) desde la primera ecuación.
Ejemplos resueltos: método de sustitución
Ejemplo 1: despeje directo
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 2x+y=7\\ x-y=2 \end{cases} \]
1. Despejar: la \(y\) de la primera ecuación está positiva y tiene coeficiente \(1\), por lo tanto es una buena opción para despejar.
\[ 2x+y=7 \Rightarrow y=7-2x \]
2. Sustituir: reemplazamos \(y=7-2x\) en la segunda ecuación.
\[ x-(7-2x)=2 \]
3. Resolver para \(x\):
\[ x-7+2x=2 \]
\[ 3x-7=2 \]
\[ 3x=9 \]
\[ x=3 \]
4. Encontrar \(y\): reemplazamos \(x=3\) en \(y=7-2x\).
\[ y=7-2(3) \]
\[ y=7-6=1 \]
Verificación gráfica: las rectas se intersectan en \((3,1)\).
Solución: el par ordenado \((3,1)\) es la solución del sistema.
Ejemplo 2: despejando \(x\)
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} x+3y=6\\ 5x-2y=13 \end{cases} \]
1. Despejar: en este caso, la \(x\) de la primera ecuación es la más sencilla de despejar.
\[ x+3y=6 \Rightarrow x=6-3y \]
2. Sustituir: reemplazamos \(x=6-3y\) en la segunda ecuación.
\[ 5(6-3y)-2y=13 \]
3. Resolver para \(y\):
\[ 30-15y-2y=13 \]
\[ 30-17y=13 \]
\[ -17y=-17 \]
\[ y=1 \]
4. Encontrar \(x\): reemplazamos \(y=1\) en \(x=6-3y\).
\[ x=6-3(1) \]
\[ x=3 \]
Verificación gráfica: al escribir ambas ecuaciones como funciones, se obtiene \(y=-\frac{1}{3}x+2\) y \(y=\frac{5}{2}x-\frac{13}{2}\).
Solución: el par ordenado \((3,1)\) es la solución del sistema.
Ejemplo 3: despeje con coeficientes
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 2x+3y=1\\ 3x-4y=10 \end{cases} \]
1. Despejar: aquí ninguna incógnita está sola. Despejemos \(x\) desde la primera ecuación.
\[ 2x+3y=1 \]
\[ 2x=1-3y \]
\[ x=\frac{1-3y}{2} \]
2. Sustituir: reemplazamos \(x=\frac{1-3y}{2}\) en la segunda ecuación.
\[ 3\left(\frac{1-3y}{2}\right)-4y=10 \]
Tip para eliminar fracciones
Cuando aparece una fracción, se puede multiplicar toda la ecuación por el denominador común. En este caso, multiplicaremos por \(2\).
3. Resolver para \(y\):
\[ 2\cdot 3\left(\frac{1-3y}{2}\right)-2\cdot 4y=2\cdot 10 \]
\[ 3(1-3y)-8y=20 \]
\[ 3-9y-8y=20 \]
\[ 3-17y=20 \]
\[ -17y=17 \]
\[ y=-1 \]
4. Encontrar \(x\): reemplazamos \(y=-1\) en la expresión despejada.
\[ x=\frac{1-3(-1)}{2} \]
\[ x=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2 \]
Verificación gráfica: al escribir ambas ecuaciones como funciones, se obtiene \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\) y \(y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{2}\).
Solución: el par ordenado \((2,-1)\) es la solución del sistema.
Ejercicios propuestos
Parte 1: Ejercicios con números enteros y racionales
Ejercicio 1
Resuelve por sustitución:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ 2x-y=4 \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ y=5-x \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 2x-(5-x)=4 \]
\[ 2x-5+x=4 \]
\[ 3x=9 \]
\[ x=3 \]
Ahora reemplazamos en \(y=5-x\):
\[ y=5-3=2 \]
Solución: \((3,2)\).
Ejercicio 2
Resuelve por sustitución:
\[ \begin{cases} 3x+y=7\\ 2x-3y=0 \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ y=7-3x \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 2x-3(7-3x)=0 \]
\[ 2x-21+9x=0 \]
\[ 11x=21 \]
\[ x=\frac{21}{11} \]
Ahora reemplazamos en \(y=7-3x\):
\[ y=7-3\left(\frac{21}{11}\right) \]
\[ y=\frac{77}{11}-\frac{63}{11}=\frac{14}{11} \]
Solución: \(\left(\frac{21}{11},\frac{14}{11}\right)\).
Ejercicio 3
Resuelve por sustitución:
\[ \begin{cases} x+2y=8\\ 3x-y=3 \end{cases} \]
Despejamos \(x\) en la primera ecuación:
\[ x=8-2y \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 3(8-2y)-y=3 \]
\[ 24-6y-y=3 \]
\[ -7y=-21 \]
\[ y=3 \]
Ahora reemplazamos en \(x=8-2y\):
\[ x=8-2(3)=2 \]
Solución: \((2,3)\).
Ejercicio 4
Resuelve por sustitución:
\[ \begin{cases} \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2\\ x-2y=-2 \end{cases} \]
Despejamos \(x\) en la segunda ecuación:
\[ x=2y-2 \]
Sustituimos en la primera ecuación:
\[ \frac{1}{2}(2y-2)+\frac{1}{3}y=2 \]
\[ y-1+\frac{1}{3}y=2 \]
\[ \frac{4}{3}y=3 \]
\[ y=\frac{9}{4} \]
Ahora reemplazamos en \(x=2y-2\):
\[ x=2\left(\frac{9}{4}\right)-2 \]
\[ x=\frac{9}{2}-2=\frac{9}{2}-\frac{4}{2}=\frac{5}{2} \]
Solución: \(\left(\frac{5}{2},\frac{9}{4}\right)\).
Ejercicio 5
Resuelve por sustitución:
\[ \begin{cases} 4x-y=11\\ 6x+2y=14 \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ 4x-y=11 \]
\[ -y=11-4x \]
\[ y=4x-11 \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 6x+2(4x-11)=14 \]
\[ 6x+8x-22=14 \]
\[ 14x=36 \]
\[ x=\frac{18}{7} \]
Ahora reemplazamos en \(y=4x-11\):
\[ y=4\left(\frac{18}{7}\right)-11 \]
\[ y=\frac{72}{7}-\frac{77}{7}=-\frac{5}{7} \]
Solución: \(\left(\frac{18}{7},-\frac{5}{7}\right)\).
Parte 2: Ejercicios con coeficientes literales
Ejercicio 6
Resuelve para \(x\) e \(y\):
\[ \begin{cases} x+y=a\\ x-y=b \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ y=a-x \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ x-(a-x)=b \]
\[ x-a+x=b \]
\[ 2x-a=b \]
\[ 2x=a+b \]
\[ x=\frac{a+b}{2} \]
Ahora reemplazamos en \(y=a-x\):
\[ y=a-\frac{a+b}{2} \]
\[ y=\frac{2a-(a+b)}{2} \]
\[ y=\frac{a-b}{2} \]
Solución: \(\left(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2}\right)\).
Ejercicio 7
Resuelve para \(x\) e \(y\), con \(ab\neq 1\):
\[ \begin{cases} ax+y=c\\ x+by=d \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ y=c-ax \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ x+b(c-ax)=d \]
\[ x+bc-abx=d \]
Agrupamos los términos con \(x\):
\[ x-abx=d-bc \]
\[ x(1-ab)=d-bc \]
Como \(ab\neq 1\), entonces \(1-ab\neq 0\), por lo tanto podemos dividir:
\[ x=\frac{d-bc}{1-ab} \]
Ahora reemplazamos en \(y=c-ax\):
\[ y=c-a\left(\frac{d-bc}{1-ab}\right) \]
\[ y=\frac{c(1-ab)-a(d-bc)}{1-ab} \]
\[ y=\frac{c-abc-ad+abc}{1-ab} \]
\[ y=\frac{c-ad}{1-ab} \]
Solución: \(\left(\frac{d-bc}{1-ab},\frac{c-ad}{1-ab}\right)\).