Capitulo 6 sistemas de ecuaciones
5. Sistemas de Ecuaciones: Método de Igualación
Sistemas de Ecuaciones: Método de Igualación
Este es otro método algebraico muy potente. Su lógica es simple y directa: si tenemos dos expresiones que son iguales a una tercera cosa, entonces esas dos expresiones tienen que ser iguales entre sí. En un sistema, despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones y luego igualamos los resultados. Esto nos deja con una sola ecuación y una sola incógnita por resolver.
Procedimiento Paso a Paso
- Despejar la misma incógnita: Elige una incógnita (la que te parezca más fácil) y despéjala en ambas ecuaciones.
- Igualar: Crea una nueva ecuación igualando las dos expresiones que obtuviste en el paso anterior.
- Resolver: Resuelve esta nueva ecuación para encontrar el valor de una de las incógnitas.
- Encontrar la segunda incógnita: Reemplaza el valor que encontraste en cualquiera de las dos ecuaciones despejadas del primer paso.
- Verificar: Comprueba que tu solución (x, y) funciona en ambas ecuaciones originales.
El método de igualación brilla especialmente cuando la misma incógnita ya está despejada en ambas ecuaciones o es muy fácil de despejar en las dos (por ejemplo, si en ambas ecuaciones la 'y' no tiene coeficiente).
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Despejando 'y' con una fracción
Resolvamos el sistema:
\( 3x + 2y = 8 \)
\( x - y = 1 \)
1. Despejar la misma incógnita: Despejemos 'y' en ambas.
Ecuación 1: \( 2y = 8 - 3x \Rightarrow y = \frac{8 - 3x}{2} \)
Ecuación 2: \( -y = 1 - x \Rightarrow y = x - 1 \)
2. Igualar las expresiones:
\( \frac{8 - 3x}{2} = x - 1 \)
3. Resolver para 'x':
\( 8 - 3x = 2(x - 1) \)
\( 8 - 3x = 2x - 2 \)
\( 10 = 5x \Rightarrow x = 2 \)
4. Encontrar 'y': Usamos la segunda ecuación despejada, que es más fácil.
\( y = x - 1 \Rightarrow y = 2 - 1 = 1 \)
Solución: (2, 1)
Ejemplo 2: Despejando 'x' de forma sencilla
Resolvamos el sistema:
\( x - 2y = 4 \)
\( x + 3y = 9 \)
1. Despejar la misma incógnita: En este caso, la 'x' está muy fácil de despejar en ambas ecuaciones.
Ecuación 1: \( x = 4 + 2y \)
Ecuación 2: \( x = 9 - 3y \)
2. Igualar las expresiones:
\( 4 + 2y = 9 - 3y \)
3. Resolver para 'y':
\( 2y + 3y = 9 - 4 \)
\( 5y = 5 \Rightarrow y = 1 \)
4. Encontrar 'x': Usamos la primera ecuación despejada.
\( x = 4 + 2(1) \Rightarrow x = 6 \)
Solución: (6, 1)
Ejemplo 3: Despeje con Coeficientes en todas las incógnitas
Resolvamos el sistema:
\( 4x + 3y = 10 \)
\( 2x - 5y = -8 \)
1. Despejar la misma incógnita: Ninguna es trivial, pero despejar 'x' parece una buena opción.
Ecuación 1: \( 4x = 10 - 3y \Rightarrow x = \frac{10 - 3y}{4} \)
Ecuación 2: \( 2x = 5y - 8 \Rightarrow x = \frac{5y - 8}{2} \)
2. Igualar las expresiones:
\( \frac{10 - 3y}{4} = \frac{5y - 8}{2} \)
3. Resolver para 'y': Multiplicamos toda la ecuación por 4.
\( 4 \cdot \left(\frac{10 - 3y}{4}\right) = 4 \cdot \left(\frac{5y - 8}{2}\right) \)
\( 10 - 3y = 2(5y - 8) \)
\( 10 - 3y = 10y - 16 \)
\( 26 = 13y \Rightarrow y = 2 \)
4. Encontrar 'x': Usamos la segunda ecuación despejada.
\( x = \frac{5(2) - 8}{2} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
Solución: (1, 2)
Ejercicios Propuestos
Parte 1: Ejercicios con Números Enteros y Racionales
1. Resuelve:
\( x + y = 7 \)
\( x - y = 3 \)
Solución: (5, 2)
1. Despejar x: \( x = 7 - y \); \( x = 3 + y \)
2. Igualar: \( 7 - y = 3 + y \)
3. Resolver: \( 4 = 2y \Rightarrow y = 2 \)
4. Encontrar x: \( x = 7 - 2 = 5 \)
2. Resuelve:
\( 3x - y = 1 \)
\( 2x + 2y = 10 \)
Solución: (\( \frac{3}{2}, \frac{7}{2} \))
1. Despejar y: \( y = 3x - 1 \); \( y = 5 - x \)
2. Igualar: \( 3x - 1 = 5 - x \)
3. Resolver: \( 4x = 6 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \)
4. Encontrar y: \( y = 5 - \frac{3}{2} = \frac{7}{2} \)
3. Resuelve:
\( 5x - y = 1 \)
\( 2x + 3y = 8 \)
Solución: (\( \frac{11}{17}, \frac{38}{17} \))
1. Despejar y: \( y = 5x - 1 \); \( y = \frac{8 - 2x}{3} \)
2. Igualar: \( 5x - 1 = \frac{8 - 2x}{3} \)
3. Resolver: \( 15x - 3 = 8 - 2x \Rightarrow 17x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{17} \)
4. Encontrar y: \( y = 5(\frac{11}{17}) - 1 = \frac{38}{17} \)
4. Resuelve:
\( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 \)
\( \frac{x}{4} - y = \frac{-7}{4} \)
Solución: (\( \frac{5}{7}, \frac{27}{14} \))
1. Despejar y: \( y = 3 - \frac{3x}{2} \); \( y = \frac{x}{4} + \frac{7}{4} \)
2. Igualar: \( 3 - \frac{3x}{2} = \frac{x + 7}{4} \)
3. Resolver (multiplicando por 4): \( 12 - 6x = x + 7 \Rightarrow -7x = -5 \Rightarrow x = \frac{5}{7} \)
4. Encontrar y: \( y = \frac{(\frac{5}{7}) + 7}{4} = \frac{\frac{54}{7}}{4} = \frac{27}{14} \)
Parte 2: Ejercicios con Coeficientes Literales
5. Resuelve para x e y:
\( x + y = a \)
\( x - y = b \)
Solución: (\( \frac{a + b}{2}, \frac{a - b}{2} \))
1. Despejar x: \( x = a - y \); \( x = b + y \)
2. Igualar: \( a - y = b + y \)
3. Resolver para y: \( a - b = 2y \Rightarrow y = \frac{a - b}{2} \)
4. Encontrar x: \( x = a - (\frac{a - b}{2}) = \frac{a + b}{2} \)
6. Resuelve para x e y (con \( a^2 \neq -1 \)):
\( ax - y = 1 \)
\( x + ay = 1 \)
Solución: (\( \frac{a+1}{a^2+1}, \frac{a-1}{a^2+1} \))
1. Despejar y: \( y = ax - 1 \); \( y = \frac{1 - x}{a} \)
2. Igualar: \( ax - 1 = \frac{1 - x}{a} \)
3. Resolver para x: \( a^2x - a = 1 - x \Rightarrow x(a^2 + 1) = a + 1 \Rightarrow x = \frac{a + 1}{a^2 + 1} \)
4. Encontrar y: \( y = a(\frac{a + 1}{a^2 + 1}) - 1 = \frac{a^2 + a - (a^2+1)}{a^2+1} = \frac{a - 1}{a^2 + 1} \)