8. Resolviendo Problemas con Sistemas de Ecuaciones

Resolviendo Problemas con Sistemas de Ecuaciones

🌍 Las matemáticas en acción

Hasta ahora hemos practicado la mecánica para resolver sistemas. Ahora veremos lo más importante: ¿para qué sirven? Los sistemas de ecuaciones son una herramienta increíble para modelar y resolver problemas del mundo real, desde calcular precios y edades hasta mezclar sustancias químicas o planificar finanzas.

El Mapa para Resolver Cualquier Problema

Resolver problemas de planteo puede parecer difícil, pero si sigues un método ordenado, verás que es muy sistemático.

📐 Pasos para resolver problemas con sistemas de ecuaciones
  1. Leer y Comprender: Lee el problema con calma, más de una vez si es necesario. Identifica los datos que te dan y, más importante, qué te están preguntando.
  2. Definir las Incógnitas: Este es el paso más crucial. Asigna una letra (generalmente 'x' e 'y') a cada una de las dos cantidades que no conoces. Escribe claramente qué representa cada una (ej: "x = cantidad de conejos").
  3. Plantear el Sistema: Traduce las frases del problema al lenguaje algebraico. Cada condición o dato clave del problema se convertirá en una de las dos ecuaciones.
  4. Resolver el Sistema: Elige tu método favorito (sustitución, igualación o reducción) y resuelve para encontrar los valores de 'x' e 'y'.
  5. Responder y Verificar: Escribe la respuesta de forma clara en el contexto del problema (ej: "Hay 15 conejos y 20 gallinas"). Luego, comprueba si tu respuesta tiene sentido lógico.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Problema de Números

La suma de dos números es 25 y su diferencia es 5. ¿Cuáles son los números?

1. Incógnitas:
x = primer número
y = segundo número

2. Sistema:
\( x + y = 25 \)
\( x - y = 5 \)

3. Resolver (por Reducción):
Sumamos ambas ecuaciones: \( (x+y) + (x-y) = 25+5 \Rightarrow 2x = 30 \Rightarrow x=15 \)
Reemplazamos en la primera ecuación: \( 15 + y = 25 \Rightarrow y=10 \)

4. Respuesta: Los números son 15 y 10.

Ejemplo 2: Problema de Edades

La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo. Hace 5 años, la suma de sus edades era 46. ¿Qué edad tiene cada uno?

1. Incógnitas:
x = edad actual del hijo
y = edad actual del padre

2. Sistema:
La edad del padre es el triple: \( y = 3x \)
Suma de edades hace 5 años: \( (x-5) + (y-5) = 46 \)

3. Resolver (por Sustitución):
Sustituimos la primera en la segunda: \( (x-5) + (3x-5) = 46 \)
\( 4x - 10 = 46 \Rightarrow 4x = 56 \Rightarrow x=14 \)
Reemplazamos en la primera: \( y = 3(14) \Rightarrow y=42 \)

4. Respuesta: El hijo tiene 14 años y el padre tiene 42 años.

Paso Clave: Entendiendo Qué Representa Cada Letra

Antes de resolver, es fundamental saber interpretar el problema. Practiquemos identificando las incógnitas en diferentes situaciones.

Situación 1 (Cine): En un cine, las entradas de adulto cuestan $5 y las de niño $3. Se vendieron 400 entradas recaudando $1600. El sistema es:
\( x + y = 400 \)
\( 5x + 3y = 1600 \)
¿Qué representan 'x', 'y', '5x' y '3y'?

Situación 2 (Ahorro): Se invierten $10.000 en dos cuentas, una al 5% y otra al 7% de interés anual, ganando $580 en total. El sistema es:
\( x + y = 10000 \)
\( 0.05x + 0.07y = 580 \)
¿Qué representan 'x' e 'y'?

Ahora, ¡A Resolver Problemas!

1. En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 35 cabezas y 100 patas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay?

2. En una tienda, 3 kg de manzanas y 2 kg de naranjas cuestan $8. Además, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas cuestan $10. ¿Cuál es el precio por kg de cada fruta?

3. Un químico necesita 10 litros de una solución al 20% de ácido. Tiene dos soluciones, una al 15% y otra al 30%. ¿Cuántos litros de cada una debe mezclar?