En la ecuación ax + by = c, el valor de 'c' tiene un efecto especial en la gráfica de la recta. Al mantener 'a' y 'b' fijos y variar 'c', generamos una familia de rectas paralelas. Cada recta representa un "nivel" diferente, por lo que a estas rectas también se les llama líneas de nivel.

Experimenta con el Applet Interactivo

A continuación, te presentamos un applet interactivo que te permitirá visualizar el efecto de 'c'.

¿Qué observas?

Al variar 'c', notarás que se generan rectas paralelas. Todas estas rectas tienen la misma pendiente, que está determinada por 'a' y 'b'. Lo que cambia es la intersección con el eje y, o, en términos más generales, el "nivel" que representa la recta.

Tabla de Valores

Para comprender mejor la relación entre 'c' y la posición de la recta, completa la siguiente tabla. Usa el applet para encontrar las coordenadas de dos puntos que pertenezcan a la recta para cada valor de 'c' dado. Puedes mover el punto azul en la recta.

Ejercicios

Nivel Básico (Enteros)

1. Considera la ecuación \[2x + y = c\]. Grafica la recta para c = -2, c = 0, y c = 2. ¿Qué observas?

   Respuesta:

   Las tres rectas son paralelas. Al aumentar el valor de 'c', la recta se desplaza hacia arriba en el plano cartesiano.

   Para c=-2, la ecuación queda: \[2x+y=-2\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,-2), (-1,0).

   Para c=0, la ecuación queda: \[2x+y=0\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,0), (1,-2).

   Para c=2, la ecuación queda: \[2x+y=2\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,2), (1,0).

2. Considera la ecuación \[-3x + 2y = c\]. Grafica la recta para c = -3, c = 0, y c = 3. ¿Qué observas?

   Respuesta:

   Las tres rectas son paralelas. Al aumentar el valor de 'c', la recta se desplaza hacia arriba y a la derecha en el plano cartesiano.

   Para c=-3, la ecuación queda: \[-3x+2y=-3\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (1,0), (-1,-3).

   Para c=0, la ecuación queda: \[-3x+2y=0\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,0), (2,3).

   Para c=3, la ecuación queda: \[-3x+2y=3\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (1,3), (-1,0).

Nivel Intermedio (Racionales)

1. Considera la ecuación \[\frac{1}{2}x + y = c\]. Grafica la recta para c = -1, c = 0.5, y c = 2. Describe el patrón que observas.

   Respuesta:

   Las tres rectas son paralelas. Al aumentar el valor de 'c', la recta se desplaza hacia arriba en el plano cartesiano.

   Para c=-1, la ecuación queda: \[\frac{1}{2}x + y = -1\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,-1), (-2,0).

   Para c=0.5, la ecuación queda: \[\frac{1}{2}x + y = 0.5\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,0.5), (1,0).

   Para c=2, la ecuación queda: \[\frac{1}{2}x + y = 2\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,2), (4,0).

2. Considera la ecuación \[x - \frac{2}{3}y = c\]. Grafica la recta para c = -2, c = 0, y c = 2. Describe el patrón que observas.

   Respuesta:

   Las tres rectas son paralelas. Al aumentar el valor de 'c', la recta se desplaza hacia arriba y a la derecha en el plano cartesiano.

   Para c=-2, la ecuación queda: \[x - \frac{2}{3}y = -2\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,3), (-2,0).

   Para c=0, la ecuación queda: \[x - \frac{2}{3}y = 0\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,0), (2,3).

   Para c=2, la ecuación queda: \[x - \frac{2}{3}y = 2\]. Dos puntos que pasan por la recta son: (0,-3), (2,0).

Nivel Avanzado (Factores Literales)

1. Considera la ecuación \[ax + by = c\]. Manteniendo 'a' y 'b' constantes, ¿qué efecto tiene aumentar el valor de 'c' en la gráfica de la recta?

   Respuesta:

   Al aumentar el valor de 'c' mientras se mantienen 'a' y 'b' constantes, la recta se desplaza paralelamente a sí misma. La dirección del desplazamiento depende de los signos de 'a' y 'b'. Si 'a' y 'b' tienen el mismo signo, la recta se mueve en dirección opuesta al origen. Si 'a' y 'b' tienen signos opuestos, la recta se mueve hacia el origen.

2. ¿Para qué valor de 'c' la recta \[ax + by = c\] pasa por el origen?

   Respuesta:

   La recta pasa por el origen cuando c = 0. En este caso, la ecuación se convierte en \[ax + by = 0\], y el punto (0, 0) satisface la ecuación.