CAPITULO 7 funciones de R^2 en R: f(x,y)=z
1. De Ecuaciones a Gráficos: Recordando los Fundamentos
De Ecuaciones a Gráficos: Recordando los Fundamentos
Objetivo de aprendizaje
- Repasar las ecuaciones lineales y su representación gráfica en el plano cartesiano, usando la forma principal y la forma \(ax+by=c\).
Recordatorio inicial
En esta página repasaremos conceptos básicos de las ecuaciones lineales y su representación gráfica en el plano cartesiano. Esto servirá como base para comprender relaciones lineales en dos variables.
Nos enfocaremos en dos formas de representar la ecuación de una recta: la forma principal y la forma \(ax+by=c\).
La Ecuación de la Recta: Forma Principal
Forma principal
La forma principal de la ecuación de una recta es:
\[ y=mx+n \]
- \(m\) representa la pendiente de la recta, que indica su inclinación.
- \(n\) representa la intersección con el eje \(y\), es decir, el punto donde la recta corta al eje vertical.
Uso para graficar
Esta forma es útil para graficar una recta, porque permite identificar rápidamente el punto \((0,n)\) y usar la pendiente \(m\) para obtener otro punto de la recta.
De la Forma Principal a la Forma \(ax+by=c\)
Forma \(ax+by=c\)
También podemos expresar la ecuación de una recta como:
\[ ax+by=c \]
donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes, con \(a\) y \(b\) no ambos iguales a cero.
Procedimiento
- Partimos de la forma principal: \[ y=mx+n \]
- Movemos el término \(mx\) al lado izquierdo: \[ -mx+y=n \]
- Si hay fracciones, multiplicamos toda la ecuación por un número que elimine los denominadores.
- Finalmente, identificamos los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) en la forma: \[ ax+by=c \]
Ejemplo: de forma principal a forma \(ax+by=c\)
Supongamos que tenemos la ecuación:
\[ y=2x+3 \]
Movemos \(2x\) al lado izquierdo:
\[ -2x+y=3 \]
Por lo tanto, la ecuación en forma \(ax+by=c\) es:
\[ -2x+y=3 \]
En este caso:
\[ a=-2,\qquad b=1,\qquad c=3 \]
De la Forma \(ax+by=c\) a la Forma Principal
Procedimiento
Para pasar de la forma \(ax+by=c\) a la forma principal, despejamos \(y\).
- Partimos de: \[ ax+by=c \]
- Restamos \(ax\) en ambos lados: \[ by=-ax+c \]
- Dividimos por \(b\), suponiendo que \(b\neq 0\): \[ y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b} \]
Entonces, la pendiente es:
\[ m=-\frac{a}{b} \]
y la intersección con el eje \(y\) es:
\[ n=\frac{c}{b} \]
Atención
Si \(b=0\), la ecuación queda de la forma \(ax=c\), que representa una recta vertical cuando \(a\neq 0\).
En ese caso no puede escribirse como \(y=mx+n\), porque una recta vertical no tiene pendiente definida.
Ejemplo: de forma \(ax+by=c\) a forma principal
Consideremos la ecuación:
\[ 4x-2y=8 \]
Restamos \(4x\) en ambos lados:
\[ -2y=-4x+8 \]
Dividimos por \(-2\):
\[ y=2x-4 \]
Por lo tanto, la pendiente es \(m=2\) y la intersección con el eje \(y\) es \(n=-4\).
Cómo graficar desde la forma principal
Si una recta está escrita como \[ y=mx+n, \] puedes graficarla usando estos pasos:
- Marca el punto \((0,n)\), que es la intersección con el eje \(y\).
- Usa la pendiente \(m\) para avanzar horizontalmente y subir o bajar verticalmente.
- Une los puntos obtenidos con una recta.
Ejemplo gráfico: de la ecuación a la recta
Grafiquemos la recta:
\[ y=2x+3 \]
Primero construimos una pequeña tabla de valores:
| \(x\) | \(y=2x+3\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-1\) | \(1\) | \((-1,1)\) |
| \(0\) | \(3\) | \((0,3)\) |
| \(1\) | \(5\) | \((1,5)\) |
Luego ubicamos los puntos en el plano cartesiano y trazamos la recta que pasa por ellos.
Observa que el punto \((0,3)\) está sobre el eje \(y\). Ese punto corresponde a la intersección con el eje \(y\), porque en la ecuación \(y=mx+n\) se tiene \(n=3\).
Ejercicios
Nivel Básico
Ejercicio 1
Convierte la ecuación \[ y=-3x+5 \] a la forma \(ax+by=c\).
Partimos de:
\[ y=-3x+5 \]
Para escribirla como \(ax+by=c\), movemos \(-3x\) al lado izquierdo. Al cambiar de lado, cambia de signo:
\[ 3x+y=5 \]
Entonces:
\[ a=3,\qquad b=1,\qquad c=5 \]
Resultado: la forma \(ax+by=c\) es \[ 3x+y=5. \]
Ejercicio 2
Convierte la ecuación \[ 2x+4y=8 \] a la forma principal \(y=mx+n\) y señala dos puntos que permitan graficar la recta.
Partimos de:
\[ 2x+4y=8 \]
Restamos \(2x\) en ambos lados:
\[ 4y=-2x+8 \]
Dividimos por \(4\):
\[ y=-\frac{1}{2}x+2 \]
Por lo tanto:
\[ m=-\frac{1}{2},\qquad n=2 \]
Para graficar, usamos el punto de intersección con el eje \(y\):
\[ (0,2) \]
Como la pendiente es \(-\frac{1}{2}\), desde \((0,2)\) avanzamos \(2\) unidades a la derecha y bajamos \(1\) unidad. Así obtenemos:
\[ (2,1) \]
Resultado: la forma principal es \[ y=-\frac{1}{2}x+2, \] y la recta se puede graficar usando los puntos \((0,2)\) y \((2,1)\).
Ejercicio 3
Dada la ecuación \[ y=\frac{2}{3}x-1, \] encuentra los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) en la forma \(ax+by=c\), y señala dos puntos que permitan graficar la recta.
Partimos de:
\[ y=\frac{2}{3}x-1 \]
Multiplicamos toda la ecuación por \(3\) para eliminar el denominador:
\[ 3y=2x-3 \]
Movemos \(2x\) al lado izquierdo:
\[ -2x+3y=-3 \]
Entonces:
\[ a=-2,\qquad b=3,\qquad c=-3 \]
Para graficar, usamos la forma principal. La intersección con el eje \(y\) es:
\[ (0,-1) \]
Como la pendiente es \(\frac{2}{3}\), desde \((0,-1)\) avanzamos \(3\) unidades a la derecha y subimos \(2\) unidades. Así obtenemos:
\[ (3,1) \]
Resultado: una forma \(ax+by=c\) es \[ -2x+3y=-3, \] y la recta puede graficarse usando \((0,-1)\) y \((3,1)\).
Nivel Intermedio
Ejercicio 4
Convierte la ecuación \[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4} \] a la forma \(ax+by=c\).
Partimos de:
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4} \]
Multiplicamos toda la ecuación por \(4\), que elimina los denominadores \(2\) y \(4\):
\[ 4y=-2x+3 \]
Movemos \(-2x\) al lado izquierdo. Al cambiar de lado, queda positivo:
\[ 2x+4y=3 \]
Entonces:
\[ a=2,\qquad b=4,\qquad c=3 \]
Resultado: la forma \(ax+by=c\) es \[ 2x+4y=3. \]
Ejercicio 5
Convierte la ecuación \[ \frac{2}{5}x-\frac{1}{3}y=2 \] a la forma principal \(y=mx+n\) y señala dos puntos que permitan graficar la recta.
Partimos de:
\[ \frac{2}{5}x-\frac{1}{3}y=2 \]
Restamos \(\frac{2}{5}x\) en ambos lados:
\[ -\frac{1}{3}y=-\frac{2}{5}x+2 \]
Multiplicamos por \(-3\):
\[ y=\frac{6}{5}x-6 \]
Entonces:
\[ m=\frac{6}{5},\qquad n=-6 \]
Para graficar, usamos el punto:
\[ (0,-6) \]
Como la pendiente es \(\frac{6}{5}\), desde \((0,-6)\) avanzamos \(5\) unidades a la derecha y subimos \(6\) unidades. Así obtenemos:
\[ (5,0) \]
Resultado: la forma principal es \[ y=\frac{6}{5}x-6, \] y la recta puede graficarse usando los puntos \((0,-6)\) y \((5,0)\).
Desafío
Ejercicio 6
Expresa la ecuación \[ y=mx+n \] en la forma \(ax+by=c\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) estén en términos de \(m\) y \(n\).
Partimos de:
\[ y=mx+n \]
Movemos \(mx\) al lado izquierdo:
\[ -mx+y=n \]
Comparando con:
\[ ax+by=c \]
se obtiene:
\[ a=-m,\qquad b=1,\qquad c=n \]
Resultado: la forma \(ax+by=c\) es \[ -mx+y=n. \]
Ejercicio 7
Expresa la ecuación \[ \frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1 \] en la forma principal \(y=mx+n\), donde \(m\) y \(n\) estén en términos de \(p\) y \(q\). Considera \(p\neq 0\) y \(q\neq 0\).
Partimos de:
\[ \frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1 \]
Restamos \(\frac{x}{p}\) en ambos lados:
\[ \frac{y}{q}=1-\frac{x}{p} \]
Multiplicamos por \(q\):
\[ y=q-\frac{q}{p}x \]
Ordenamos en la forma \(y=mx+n\):
\[ y=-\frac{q}{p}x+q \]
Entonces:
\[ m=-\frac{q}{p},\qquad n=q \]
Resultado: la forma principal es \[ y=-\frac{q}{p}x+q. \]