Ya hemos visto cómo el valor de 'c' afecta la posición de la recta en el plano. Ahora, nos centraremos en 'a' y 'b', los coeficientes que determinan la pendiente de la recta. La pendiente es una medida de la inclinación de la recta, y nos dice cuánto cambia la coordenada 'y' por cada unidad que cambia la coordenada 'x'.

Calculando la Pendiente

En la ecuación \[ax + by = c\], la pendiente de la recta se calcula como:

Este valor nos indica la razón de cambio entre 'y' y 'x'. Una pendiente positiva significa que la recta asciende de izquierda a derecha, mientras que una pendiente negativa indica que desciende. Una pendiente de cero corresponde a una recta horizontal, y una pendiente indefinida (cuando b = 0) corresponde a una recta vertical.

Interpretando la Pendiente en el Applet

En el applet que usamos en la página anterior, puedes observar la pendiente de la recta de dos maneras:

1. Visualmente: El triángulo rectángulo que se forma (con catetos rojo y azul) te da una idea de la inclinación. El cateto vertical (azul) representa el cambio en 'y', y el cateto horizontal (rojo) representa el cambio en 'x'.
2. Numéricamente: La ecuación de la recta se muestra en la forma \[y = mx + n\], donde 'm' es la pendiente. Este valor coincide con el cálculo de -a/b. En el applet de la página anterior, también se muestra el valor de -a/b.

Recuerda que la pendiente también se puede interpretar como "el cambio en y por cada unidad de cambio en x".

Ejercicios

Nivel Básico (Enteros)

1. Para la ecuación \[3x - 2y = 6\], calcula la pendiente e indica si la recta asciende o desciende de izquierda a derecha.

   Respuesta:

   La pendiente es \[-\frac{a}{b} = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2}\]. Como la pendiente es positiva, la recta asciende de izquierda a derecha.

2. Para la ecuación \[-x + 4y = 8\], calcula la pendiente e indica si la recta asciende o desciende de izquierda a derecha.

   Respuesta:

   La pendiente es \[-\frac{a}{b} = -\frac{-1}{4} = \frac{1}{4}\]. Como la pendiente es positiva, la recta asciende de izquierda a derecha.

Nivel Intermedio (Racionales)

1. Para la ecuación \[\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}y = 1\], calcula la pendiente e indica si la recta asciende o desciende de izquierda a derecha.

   Respuesta:

   La pendiente es \[-\frac{a}{b} = -\frac{2/3}{1/2} = -\frac{4}{3}\]. Como la pendiente es negativa, la recta desciende de izquierda a derecha.

2. Para la ecuación \[-\frac{3}{4}x - \frac{1}{3}y = 2\], calcula la pendiente e indica si la recta asciende o desciende de izquierda a derecha.

   Respuesta:

   La pendiente es \[-\frac{a}{b} = -\frac{-3/4}{-1/3} = -\frac{9}{4}\]. Como la pendiente es negativa, la recta desciende de izquierda a derecha.

Nivel Avanzado (Factores Literales)

1. Considera la ecuación \[ax + by = c\]. Si 'a' y 'b' tienen el mismo signo, ¿la recta asciende o desciende de izquierda a derecha? ¿Y si tienen signos opuestos?

   Respuesta:

   La pendiente es -a/b. Si 'a' y 'b' tienen el mismo signo, entonces -a/b es negativo, y la recta desciende de izquierda a derecha. Si 'a' y 'b' tienen signos opuestos, entonces -a/b es positivo, y la recta asciende de izquierda a derecha.

2. ¿Qué relación deben tener 'a' y 'b' para que la recta \[ax + by = c\] tenga pendiente igual a 1? ¿Y para que tenga pendiente igual a -1?

   Respuesta:

   Para que la pendiente sea 1, necesitamos que -a/b = 1, lo que implica que a = -b. Para que la pendiente sea -1, necesitamos que -a/b = -1, lo que implica que a = b.

3. Si la recta \[ax + by = c\] es horizontal, ¿qué podemos decir sobre los valores de 'a' y 'b'? ¿Y si es vertical?

   Respuesta:

   Si la recta es horizontal, la pendiente es 0, lo que implica que a = 0 (y b ≠ 0). Si la recta es vertical, la pendiente es indefinida, lo que implica que b = 0 (y a ≠ 0).