CAPITULO 7 funciones de R^2 en R: f(x,y)=z
2. La Pendiente Revelada: Interpretando -a/b en el Plano
La Pendiente Revelada: Interpretando \(-\frac{a}{b}\) en el Plano
Idea inicial
Ya hemos visto cómo el valor de \(c\) afecta la posición de la recta en el plano. Ahora nos centraremos en \(a\) y \(b\), los coeficientes que determinan la pendiente de la recta.
La pendiente es una medida de la inclinación de la recta y nos dice cuánto cambia la coordenada \(y\) por cada unidad que cambia la coordenada \(x\).
Calculando la Pendiente
Pendiente en la ecuación \(ax+by=c\)
En la ecuación
\[ ax+by=c, \]
si \(b\neq 0\), podemos despejar \(y\):
\[ by=-ax+c \]
\[ y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b} \]
Por lo tanto, la pendiente de la recta es:
\[ m=-\frac{a}{b} \]
Interpretación de la pendiente
La pendiente indica la razón de cambio entre \(y\) y \(x\).
- Si \(m>0\), la recta asciende de izquierda a derecha.
- Si \(m<0\), la recta desciende de izquierda a derecha.
- Si \(m=0\), la recta es horizontal.
- Si \(b=0\), la recta es vertical y no tiene pendiente definida.
Atención
La fórmula \[ m=-\frac{a}{b} \] solo se puede usar cuando \(b\neq 0\).
Si \(b=0\), la ecuación queda de la forma \(ax=c\), que representa una recta vertical cuando \(a\neq 0\). Las rectas verticales no tienen pendiente definida.
Interpretando la Pendiente en el Plano
Visualización
En el plano cartesiano, la pendiente puede interpretarse como:
\[ m=\frac{\text{cambio en }y}{\text{cambio en }x} \]
Si la pendiente es \(\frac{3}{2}\), por cada \(2\) unidades que avanzamos en \(x\), subimos \(3\) unidades en \(y\).
Si la pendiente es \(-\frac{4}{3}\), por cada \(3\) unidades que avanzamos en \(x\), bajamos \(4\) unidades en \(y\).
Cómo leer la pendiente
Para interpretar una pendiente fraccionaria, piensa en ella como un desplazamiento:
- \(\frac{3}{2}\): avanzar \(2\) y subir \(3\).
- \(\frac{1}{4}\): avanzar \(4\) y subir \(1\).
- \(-\frac{4}{3}\): avanzar \(3\) y bajar \(4\).
Ejemplo guiado
Consideremos la ecuación:
\[ 2x+y=5 \]
Identificamos:
\[ a=2,\qquad b=1 \]
Entonces:
\[ m=-\frac{a}{b}=-\frac{2}{1}=-2 \]
Como la pendiente es negativa, la recta desciende de izquierda a derecha.
Ejemplo visual: comparar pendientes
En el siguiente plano se muestran cuatro rectas que pasan por el origen. La diferencia entre ellas está en su pendiente.
Una pendiente positiva indica que la recta asciende de izquierda a derecha. Una pendiente negativa indica que desciende. La pendiente \(0\) corresponde a una recta horizontal.
Ejercicio visual: leer la pendiente
Usando el gráfico anterior, responde:
- ¿Cuál recta crece más rápido?
- ¿Cuál recta desciende?
- ¿Cuál recta mantiene siempre el mismo valor de \(y\)?
La recta que crece más rápido es la de pendiente \(m=\frac{3}{2}\), porque por cada aumento de \(2\) unidades en \(x\), sube \(3\) unidades en \(y\).
La recta que desciende es la de pendiente \(m=-\frac{4}{3}\), ya que su pendiente es negativa.
La recta que mantiene siempre el mismo valor de \(y\) es la de pendiente \(m=0\), porque es horizontal.
Ejercicios
Nivel Básico
Ejercicio 1
Para la ecuación \[ 3x-2y=6, \] calcula la pendiente e indica si la recta asciende o desciende de izquierda a derecha.
Identificamos los coeficientes en la forma \(ax+by=c\):
\[ a=3,\qquad b=-2,\qquad c=6 \]
Como \(b\neq 0\), usamos:
\[ m=-\frac{a}{b} \]
Reemplazamos:
\[ m=-\frac{3}{-2} \]
\[ m=\frac{3}{2} \]
Como la pendiente es positiva, la recta asciende de izquierda a derecha.
Resultado: la pendiente es \(\frac{3}{2}\) y la recta asciende.
Ejercicio 2
Para la ecuación \[ -x+4y=8, \] calcula la pendiente e indica si la recta asciende o desciende de izquierda a derecha.
Identificamos los coeficientes:
\[ a=-1,\qquad b=4,\qquad c=8 \]
Usamos la fórmula:
\[ m=-\frac{a}{b} \]
Reemplazamos:
\[ m=-\frac{-1}{4} \]
\[ m=\frac{1}{4} \]
Como la pendiente es positiva, la recta asciende de izquierda a derecha.
Resultado: la pendiente es \(\frac{1}{4}\) y la recta asciende.
Ejercicio 3
Para la ecuación \[ 5x+2y=10, \] calcula la pendiente e indica si la recta asciende o desciende de izquierda a derecha.
Identificamos:
\[ a=5,\qquad b=2 \]
Calculamos:
\[ m=-\frac{a}{b} \]
\[ m=-\frac{5}{2} \]
Como la pendiente es negativa, la recta desciende de izquierda a derecha.
Resultado: la pendiente es \(-\frac{5}{2}\) y la recta desciende.
Nivel Intermedio
Ejercicio 4
Para la ecuación \[ \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=1, \] calcula la pendiente e indica si la recta asciende o desciende de izquierda a derecha.
Identificamos:
\[ a=\frac{2}{3},\qquad b=\frac{1}{2},\qquad c=1 \]
Calculamos la pendiente:
\[ m=-\frac{a}{b} \]
\[ m=-\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}} \]
Dividir por \(\frac{1}{2}\) equivale a multiplicar por \(2\):
\[ m=-\left(\frac{2}{3}\cdot 2\right) \]
\[ m=-\frac{4}{3} \]
Como la pendiente es negativa, la recta desciende de izquierda a derecha.
Resultado: la pendiente es \(-\frac{4}{3}\) y la recta desciende.
Ejercicio 5
Para la ecuación \[ -\frac{3}{4}x-\frac{1}{3}y=2, \] calcula la pendiente e indica si la recta asciende o desciende de izquierda a derecha.
Identificamos:
\[ a=-\frac{3}{4},\qquad b=-\frac{1}{3},\qquad c=2 \]
Calculamos la pendiente:
\[ m=-\frac{a}{b} \]
\[ m=-\frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{1}{3}} \]
Primero resolvemos la división:
\[ \frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{1}{3}} = \left(-\frac{3}{4}\right)(-3) = \frac{9}{4} \]
Luego aplicamos el signo negativo externo:
\[ m=-\frac{9}{4} \]
Como la pendiente es negativa, la recta desciende de izquierda a derecha.
Resultado: la pendiente es \(-\frac{9}{4}\) y la recta desciende.
Ejercicio 6
Para la ecuación \[ -4x+y=7, \] calcula la pendiente e interpreta el resultado como desplazamiento en el plano.
Identificamos:
\[ a=-4,\qquad b=1 \]
Calculamos:
\[ m=-\frac{a}{b} \]
\[ m=-\frac{-4}{1}=4 \]
Esto significa que, por cada \(1\) unidad que avanzamos en \(x\), subimos \(4\) unidades en \(y\).
Resultado: la pendiente es \(4\), por lo tanto la recta asciende rápidamente de izquierda a derecha.
Desafío
Ejercicio 7
Considera la ecuación \[ ax+by=c. \] Si \(a\) y \(b\) tienen el mismo signo, ¿la recta asciende o desciende de izquierda a derecha? ¿Y si tienen signos opuestos?
Si \(b\neq 0\), la pendiente es:
\[ m=-\frac{a}{b} \]
Si \(a\) y \(b\) tienen el mismo signo, entonces \(\frac{a}{b}\) es positivo. Al anteponer el signo negativo, se obtiene:
\[ -\frac{a}{b}<0 \]
Por lo tanto, la pendiente es negativa y la recta desciende de izquierda a derecha.
Si \(a\) y \(b\) tienen signos opuestos, entonces \(\frac{a}{b}\) es negativo. Al anteponer el signo negativo, se obtiene:
\[ -\frac{a}{b}>0 \]
Por lo tanto, la pendiente es positiva y la recta asciende de izquierda a derecha.
Conclusión: mismo signo produce pendiente negativa; signos opuestos producen pendiente positiva.
Ejercicio 8
¿Qué relación deben tener \(a\) y \(b\) para que la recta \[ ax+by=c \] tenga pendiente igual a \(1\)? ¿Y para que tenga pendiente igual a \(-1\)?
La pendiente es:
\[ m=-\frac{a}{b} \]
Para que la pendiente sea \(1\), debe cumplirse:
\[ -\frac{a}{b}=1 \]
Multiplicamos por \(b\), con \(b\neq 0\):
\[ -a=b \]
Entonces:
\[ a=-b \]
Para que la pendiente sea \(-1\), debe cumplirse:
\[ -\frac{a}{b}=-1 \]
Multiplicamos por \(b\):
\[ -a=-b \]
Entonces:
\[ a=b \]
Resultado: para \(m=1\), se requiere \(a=-b\). Para \(m=-1\), se requiere \(a=b\), considerando \(b\neq 0\).
Ejercicio 9
Si la recta \[ ax+by=c \] es horizontal, ¿qué podemos decir sobre los valores de \(a\) y \(b\)? ¿Y si es vertical?
Una recta horizontal tiene pendiente \(0\). Como:
\[ m=-\frac{a}{b}, \]
para que \(m=0\), debe cumplirse:
\[ a=0 \]
Además, debe cumplirse \(b\neq 0\), porque si \(b=0\) no se podría despejar \(y\).
Entonces, una recta horizontal se obtiene cuando:
\[ a=0,\qquad b\neq 0 \]
En cambio, una recta vertical ocurre cuando \(b=0\). En ese caso, la ecuación queda:
\[ ax=c \]
Si \(a\neq 0\), entonces:
\[ x=\frac{c}{a} \]
Esa es una recta vertical.
Resultado: si la recta es horizontal, \(a=0\) y \(b\neq 0\). Si la recta es vertical, \(b=0\) y \(a\neq 0\).