Hasta ahora, hemos explorado las relaciones lineales en el plano cartesiano. Pero, ¿sabías que estas relaciones también pueden ayudarnos a entender objetos tridimensionales? En esta página, veremos cómo un modelo 3D simple puede proyectarse en un plano 2D, y cómo las líneas resultantes se relacionan con la pendiente del modelo original.

Imagina una Rampa Escalonada

Considera una rampa escalonada como la que usan los patinadores o ciclistas. Cada escalón tiene un ancho constante, pero la altura de los escalones aumenta progresivamente. Visualiza la rampa en tu mente. Piensa que la estás mirando de costado.

Proyectando al Plano (Vista Superior)

Ahora, imagina que miras la rampa directamente desde arriba. Esta es la proyección al plano 2D. Lo que verás serán una serie de líneas rectas, cada una representando el borde de un escalón.

Conectando con las Líneas de Nivel

¿Te recuerdas de las líneas de nivel que discutimos en páginas anteriores? Las líneas que ves en la proyección de la rampa son precisamente líneas de nivel. Cada línea corresponde a un valor constante de altura (que en la ecuación \[ax + by = c\] correspondería a 'c').

La Densidad de Líneas y la Pendiente

Observa la proyección (Figura 2) con atención. Notarás que en las secciones de la rampa donde los escalones son más altos (mayor pendiente), las líneas en la proyección están más juntas. En cambio, donde los escalones son más bajos (menor pendiente), las líneas están más separadas.

Esto nos lleva a una conclusión importante: la densidad de las líneas de nivel en la proyección 2D es proporcional a la pendiente del modelo 3D original.

Mayor densidad de líneas = Mayor pendiente

Menor densidad de líneas = Menor pendiente

Ejercicios

Nivel Básico

1. Dibuja la vista superior (proyección) de una rampa con 4 escalones, donde cada escalón tiene el mismo ancho, pero la altura se duplica con cada escalón. ¿Qué observas sobre la densidad de las líneas?

   Respuesta:

   Al dibujar la vista superior, verás que las líneas que representan los bordes de los escalones se van juntando cada vez más. Esto se debe a que la altura, y por lo tanto la pendiente, aumenta con cada escalón.

2. Imagina una montaña con una pendiente suave en un lado y una pendiente pronunciada en el otro. ¿Cómo se verían las líneas de nivel en la proyección de esta montaña?

   Respuesta:

   En el lado de la pendiente suave, las líneas de nivel estarían más separadas. En el lado de la pendiente pronunciada, las líneas de nivel estarían mucho más juntas.

Nivel Intermedio

1. Supón que la proyección de una rampa tiene líneas de nivel que se van separando cada vez más. ¿Qué te dice esto sobre la forma de la rampa?

   Respuesta:

   Si las líneas de nivel se van separando, significa que la pendiente de la rampa está disminuyendo. La rampa se vuelve cada vez menos empinada.

2. Piensa en las capas de una formación rocosa. La proyección de estas capas se asemeja a líneas. ¿Qué nos diría una mayor densidad de líneas sobre la inclinación de las capas?

   Respuesta:

   Una mayor densidad de líneas en la proyección de las capas rocosas indicaría una mayor inclinación de las capas. Es decir, las capas estarían más cerca de ser verticales.

Nivel Avanzado

1. Imagina que estás mirando un mapa topográfico con líneas de nivel. Un conjunto de líneas muy juntas entre sí representa una zona con una gran pendiente. Ahora, piensa en la ecuación \[ax + by = c\]. ¿Cómo se relaciona el concepto de "líneas muy juntas" con los valores de 'a' y 'b' en esta ecuación?

   Respuesta:

   Líneas muy juntas en un mapa topográfico significan una gran pendiente. En la ecuación \[ax + by = c\], la pendiente está relacionada con -a/b. Un valor grande de -a/b (ya sea positivo o negativo) indica una gran pendiente. Por lo tanto, líneas muy juntas se relacionan con valores grandes (en magnitud) de 'a' y/o valores pequeños (en magnitud) de 'b'.

2. Si pudieras ver la proyección 2D de un objeto 3D desconocido, y observaras que las líneas de nivel forman círculos concéntricos cada vez más juntos, ¿qué podrías inferir sobre la forma del objeto 3D?

   Respuesta:

   Si las líneas de nivel forman círculos concéntricos cada vez más juntos, podrías inferir que el objeto 3D tiene una forma similar a un cono o una montaña puntiaguda. La densidad creciente de las líneas indica que la pendiente aumenta a medida que te acercas al centro de los círculos, sugiriendo una forma que se vuelve más empinada hacia la cima.