En las páginas anteriores, hemos visto cómo la ecuación \[ax + by = c\] representa una línea recta en el plano cartesiano. También exploramos cómo el valor de 'c' afecta la posición de la recta, y cómo 'a' y 'b' determinan su pendiente. Ahora, vamos a profundizar en el concepto de "familias de rectas" y, en particular, en lo que se conoce como un haz de rectas.

¿Qué es un Haz de Rectas?

Un haz de rectas es un conjunto de rectas que comparten una característica común. En el contexto de la ecuación \[ax + by = c\], un haz de rectas se puede generar al mantener constantes los valores de 'a' y 'b' y variar el valor de 'c'. Esto produce un conjunto de rectas paralelas, ya que todas tienen la misma pendiente \[-a/b\].

Visualizando un Haz de Rectas con el Applet

Retomemos el applet interactivo que usamos en páginas anteriores. En él, si fijas los valores de 'a' y 'b' y luego mueves el deslizador para 'c', verás cómo se genera un haz de rectas paralelas.

Instrucciones para interactuar con el applet (si se incluye):

1. Fija los valores de 'a' y 'b' a tu elección (por ejemplo, a = -1.2 y b = 4 como en la imagen de referencia).
2. Mueve el deslizador de 'c' y observa cómo se desplaza la recta en el plano.
3. Presta atención a la ecuación de la recta que se muestra. Observa que 'a' y 'b' se mantienen constantes, mientras que 'c' varía.

Ejemplo: Un Haz de Rectas Paralelas

Considera la ecuación \[-2x + 3y = c\]. Si le damos a 'c' diferentes valores, como -3, 0, 3 y 6, obtenemos las siguientes ecuaciones:

• \[-2x + 3y = -3\]
• \[-2x + 3y = 0\]
• \[-2x + 3y = 3\]
• \[-2x + 3y = 6\]

Todas estas rectas tienen la misma pendiente (2/3), pero diferentes intersecciones con el eje y. Al graficarlas, verás que forman un haz de rectas paralelas.

Ejercicios

Nivel Básico

1. Describe cómo se vería el haz de rectas generado por la ecuación \[x + y = c\] para diferentes valores de 'c'. ¿Cuál es la pendiente de todas las rectas en este haz?

   Respuesta:

   El haz de rectas generado por la ecuación \[x + y = c\] sería un conjunto de rectas paralelas con pendiente -1. Al variar 'c', las rectas se desplazarían a lo largo del plano, manteniendo su inclinación constante.

2. ¿Qué valor de 'c' en la ecuación \[4x - 2y = c\] produce una recta que pasa por el origen?

   Respuesta:

   Para que la recta pase por el origen (0, 0), los valores x = 0 e y = 0 deben satisfacer la ecuación. Sustituyendo estos valores, obtenemos \[4(0) - 2(0) = c\], lo que implica que c = 0.

Nivel Intermedio

1. Considera el haz de rectas \[2x + 3y = c\]. Encuentra la ecuación de la recta que pertenece a este haz y que pasa por el punto (1, -2).

   Respuesta:

   Para que la recta pase por el punto (1, -2), estos valores deben satisfacer la ecuación. Sustituyendo x = 1 e y = -2, obtenemos \[2(1) + 3(-2) = c\], lo que implica que c = -4. Por lo tanto, la ecuación de la recta es \[2x + 3y = -4\].

2. ¿Cómo podrías modificar la ecuación \[ax + by = c\] para generar un haz de rectas que, en lugar de ser paralelas, todas se intersecten en un punto común?

   Respuesta:

   Para que las rectas se intersecten en un punto común, se podría modificar la ecuación de manera que 'c' no sea un valor constante, sino que dependa de 'a' y 'b' de una manera específica. Por ejemplo, si hacemos que 'c' sea igual a 'a' + 'b', para distintos valores de a y b, se obtendrían rectas que se intersecan en un punto.

Nivel Avanzado

1. Demuestra que todas las rectas de la forma \[ax + by = a + b\] pasan por el punto (1, 1), donde a y b son constantes, y a y b no son simultáneamente cero.

   Respuesta:

   Para demostrar que todas las rectas de la forma \[ax + by = a + b\] pasan por el punto (1, 1), sustituimos x = 1 e y = 1 en la ecuación:

   \[a(1) + b(1) = a + b\]

   \[a + b = a + b\]

   Como la igualdad se cumple, el punto (1, 1) satisface la ecuación para cualquier valor de 'a' y 'b' (no ambos cero), lo que significa que todas las rectas de esta forma pasan por el punto (1, 1).

2. ¿Qué se puede decir sobre el haz de rectas generado por la ecuación \[y = mx + 2\], donde 'm' es una constante que puede variar?

   Respuesta:

   El haz de rectas generado por la ecuación \[y = mx + 2\] es un conjunto de rectas que todas pasan por el punto (0, 2). En este caso, 'm' representa la pendiente de cada recta. Al variar 'm', se obtienen rectas con diferentes inclinaciones, pero todas ellas intersectan el eje y en el mismo punto, y = 2.