CAPITULO 7 funciones de R^2 en R: f(x,y)=z
4. Familias de Rectas: Explorando Haces con f(x, y) = ax + by
Familias de Rectas: Explorando Haces con \(f(x,y)=ax+by\)
Idea inicial
En las páginas anteriores, hemos visto cómo la ecuación \[ ax+by=c \] representa una línea recta en el plano cartesiano. También exploramos cómo el valor de \(c\) afecta la posición de la recta, y cómo \(a\) y \(b\) determinan su pendiente.
Ahora estudiaremos familias de rectas, es decir, conjuntos de rectas que comparten alguna característica.
¿Qué es un Haz de Rectas?
Haz de rectas paralelas
Un haz de rectas es un conjunto de rectas que comparten una característica común.
En la ecuación \[ ax+by=c, \] si mantenemos constantes \(a\) y \(b\), y variamos \(c\), se obtiene una familia de rectas paralelas.
Esto ocurre porque todas tienen la misma pendiente:
\[ m=-\frac{a}{b} \]
siempre que \(b\neq 0\).
Atención
Cuando \(a\) y \(b\) se mantienen fijos y solo cambia \(c\), las rectas no se cortan entre sí: son paralelas.
También existen haces de rectas que pasan por un punto común. En esta página, el caso principal será el haz de rectas paralelas; el haz concurrente quedará como desafío.
Visualizando un Haz de Rectas
Haz generado al variar \(c\)
Si fijamos los valores de \(a\) y \(b\), y luego cambiamos el valor de \(c\), la recta se desplaza en el plano sin cambiar su inclinación.
Por ejemplo, para la familia \[ -2x+3y=c, \] al variar \(c\), todas las rectas mantienen la misma pendiente:
\[ m=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3} \]
Ejemplo: Un Haz de Rectas Paralelas
Ejemplo con \(-2x+3y=c\)
Consideremos la ecuación:
\[ -2x+3y=c \]
Si le damos a \(c\) diferentes valores, como \(-3\), \(0\), \(3\) y \(6\), obtenemos:
- \(-2x+3y=-3\)
- \(-2x+3y=0\)
- \(-2x+3y=3\)
- \(-2x+3y=6\)
Para analizar la pendiente, despejamos \(y\):
\[ -2x+3y=c \]
\[ 3y=2x+c \]
\[ y=\frac{2}{3}x+\frac{c}{3} \]
Todas las rectas tienen pendiente \(\frac{2}{3}\), pero distintas intersecciones con el eje \(y\), porque el término \(\frac{c}{3}\) cambia.
Conclusión: al variar \(c\), se forma un haz de rectas paralelas.
Comparación de valores de \(c\)
Para la familia \[ -2x+3y=c, \] se obtiene:
| Valor de \(c\) | Ecuación | Forma despejada | Pendiente |
|---|---|---|---|
| \(-3\) | \(-2x+3y=-3\) | \(y=\frac{2}{3}x-1\) | \(\frac{2}{3}\) |
| \(0\) | \(-2x+3y=0\) | \(y=\frac{2}{3}x\) | \(\frac{2}{3}\) |
| \(3\) | \(-2x+3y=3\) | \(y=\frac{2}{3}x+1\) | \(\frac{2}{3}\) |
La pendiente se mantiene igual. Solo cambia la intersección con el eje \(y\).
Ejercicios
Nivel Básico
Ejercicio 1
Describe cómo se vería el haz de rectas generado por la ecuación \[ x+y=c \] para diferentes valores de \(c\). ¿Cuál es la pendiente de todas las rectas en este haz?
Partimos de:
\[ x+y=c \]
Despejamos \(y\):
\[ y=-x+c \]
La pendiente de todas las rectas es:
\[ m=-1 \]
Como \(c\) cambia, también cambia la intersección con el eje \(y\), pero la inclinación se mantiene igual.
Resultado: el haz está formado por rectas paralelas de pendiente \(-1\).
Ejercicio 2
¿Qué valor de \(c\) en la ecuación \[ 4x-2y=c \] produce una recta que pasa por el origen?
El origen es el punto \((0,0)\).
Para que la recta pase por el origen, el punto debe satisfacer la ecuación:
\[ 4x-2y=c \]
Reemplazamos \(x=0\) e \(y=0\):
\[ 4(0)-2(0)=c \]
\[ 0=c \]
Resultado: la recta pasa por el origen cuando \(c=0\).
Ejercicio 3
Considera la familia \[ 3x+y=c. \] Escribe tres rectas de esta familia usando \(c=-2\), \(c=0\) y \(c=4\). Luego indica si son paralelas.
Reemplazamos cada valor de \(c\).
Para \(c=-2\):
\[ 3x+y=-2 \]
Para \(c=0\):
\[ 3x+y=0 \]
Para \(c=4\):
\[ 3x+y=4 \]
Despejamos la forma general:
\[ 3x+y=c \]
\[ y=-3x+c \]
Todas tienen pendiente \(-3\).
Resultado: las tres rectas son paralelas, porque tienen la misma pendiente.
Nivel Intermedio
Ejercicio 4
Considera el haz de rectas \[ 2x+3y=c. \] Encuentra la ecuación de la recta que pertenece a este haz y que pasa por el punto \((1,-2)\).
Como la recta debe pertenecer al haz \[ 2x+3y=c, \] debemos encontrar el valor de \(c\).
La recta pasa por el punto \((1,-2)\), por lo tanto reemplazamos \(x=1\) e \(y=-2\):
\[ 2(1)+3(-2)=c \]
\[ 2-6=c \]
\[ -4=c \]
Entonces, la ecuación de la recta es:
\[ 2x+3y=-4 \]
Resultado: la recta buscada es \(2x+3y=-4\).
Ejercicio 5
Determina si las rectas \[ -2x+3y=6 \] y \[ -2x+3y=-3 \] pertenecen al mismo haz de rectas paralelas. Justifica tu respuesta.
Comparamos las dos ecuaciones:
\[ -2x+3y=6 \]
\[ -2x+3y=-3 \]
En ambas, los coeficientes de \(x\) e \(y\) son los mismos:
\[ a=-2,\qquad b=3 \]
Solo cambia el valor de \(c\).
Por lo tanto, ambas rectas pertenecen a la familia:
\[ -2x+3y=c \]
Resultado: sí pertenecen al mismo haz de rectas paralelas.
Ejercicio 6
Considera la familia \[ 5x-2y=c. \] ¿Cuál es la pendiente de todas las rectas de esta familia?
En una ecuación de la forma:
\[ ax+by=c, \]
la pendiente es:
\[ m=-\frac{a}{b} \]
En este caso:
\[ a=5,\qquad b=-2 \]
Entonces:
\[ m=-\frac{5}{-2} \]
\[ m=\frac{5}{2} \]
Resultado: todas las rectas de la familia tienen pendiente \(\frac{5}{2}\).
Desafío
Ejercicio 7
¿Cómo podrías modificar la idea de \[ ax+by=c \] para generar un haz de rectas que, en lugar de ser paralelas, todas pasen por un punto común?
Para que todas las rectas pasen por un punto común \((x_0,y_0)\), ese punto debe satisfacer todas las ecuaciones del haz.
Una forma general de lograrlo es:
\[ ax+by=ax_0+by_0 \]
donde \(a\) y \(b\) pueden variar, pero no pueden ser ambos cero.
Al reemplazar \(x=x_0\) e \(y=y_0\), se obtiene:
\[ a(x_0)+b(y_0)=ax_0+by_0 \]
La igualdad se cumple siempre. Por lo tanto, todas las rectas pasan por \((x_0,y_0)\).
Por ejemplo, si queremos que todas pasen por \((1,1)\), podemos usar:
\[ ax+by=a+b \]
Resultado: para generar un haz concurrente en \((x_0,y_0)\), se puede usar \(ax+by=ax_0+by_0\).
Ejercicio 8
Demuestra que todas las rectas de la forma \[ ax+by=a+b \] pasan por el punto \((1,1)\), donde \(a\) y \(b\) no son simultáneamente cero.
Para demostrar que todas las rectas pasan por \((1,1)\), reemplazamos \(x=1\) e \(y=1\) en la ecuación:
\[ ax+by=a+b \]
\[ a(1)+b(1)=a+b \]
\[ a+b=a+b \]
La igualdad se cumple para cualquier valor de \(a\) y \(b\), siempre que no sean ambos cero, porque si ambos fueran cero no se tendría una recta.
Conclusión: todas las rectas de la forma \(ax+by=a+b\) pasan por el punto \((1,1)\).
Ejercicio 9
¿Qué se puede decir sobre el haz de rectas generado por la ecuación \[ y=mx+2, \] donde \(m\) puede variar?
En la ecuación \[ y=mx+2, \] el número \(2\) representa la intersección con el eje \(y\).
Esto significa que todas las rectas pasan por el punto:
\[ (0,2) \]
Al variar \(m\), cambia la pendiente de cada recta. Por eso, las rectas no son paralelas entre sí, sino que giran alrededor del punto común \((0,2)\).
Resultado: es un haz de rectas concurrentes en el punto \((0,2)\).