CAPITULO 7 funciones de R^2 en R: f(x,y)=z
6. Más Allá de la Geometría: Modelando Fenómenos con Funciones Lineales
Más Allá de la Geometría: Modelando Fenómenos con Funciones Lineales
Idea inicial
Las funciones lineales en dos variables, representadas por una expresión como \[ f(x,y)=ax+by, \] no solo son útiles en geometría. También pueden servir para modelar situaciones donde dos cantidades aportan a un resultado total.
En esta página exploraremos cómo interpretar y resolver problemas donde intervienen dos variables.
Modelando con Funciones Lineales
Modelo lineal en dos variables
Una función lineal en dos variables relaciona dos variables independientes, \(x\) e \(y\), con un resultado \(f(x,y)\).
Su forma es:
\[ f(x,y)=ax+by \]
Los coeficientes \(a\) y \(b\) indican cuánto aporta cada variable al resultado total.
Interpretación de los coeficientes
En la expresión \[ f(x,y)=ax+by, \] el término \(ax\) representa el aporte de la variable \(x\), mientras que \(by\) representa el aporte de la variable \(y\).
Por ejemplo, si \(a=5\), cada unidad de \(x\) aporta \(5\) unidades al valor final. Si \(b=10\), cada unidad de \(y\) aporta \(10\) unidades al valor final.
Atención
En algunos problemas puede aparecer una cantidad fija, por ejemplo:
\[ f(x,y)=5000+1000x+1500y \]
En ese caso, \(5000\) representa un valor inicial o fijo. Lo importante es identificar qué significa cada parte del modelo.
Ejemplo geométrico: líneas de nivel
En un mapa topográfico, las líneas de nivel conectan puntos de igual elevación.
Si la elevación se modela mediante:
\[ f(x,y)=ax+by, \]
entonces una línea de nivel se obtiene al fijar un valor constante \(c\):
\[ ax+by=c \]
En este caso, \(c\) representa una elevación determinada, y \((x,y)\) representa una ubicación en el plano.
Ejemplos de Aplicaciones
Aplicaciones de modelos lineales
- Costos: el costo total puede depender de dos cantidades, como materia prima y mano de obra.
- Distancias: la distancia total puede calcularse sumando aportes de distintos trayectos.
- Producción: una cantidad producida puede depender de dos recursos distintos.
- Temperatura: en un modelo simplificado, la temperatura puede cambiar según la posición \((x,y)\).
Modelos simplificados
Muchos fenómenos reales son más complejos que un modelo lineal. En esta página usaremos modelos lineales como una aproximación escolar para estudiar relaciones simples entre variables.
Resolviendo Problemas con Funciones Lineales
Procedimiento
- Identifica qué representan \(x\), \(y\) y \(f(x,y)\).
- Reconoce cuánto aporta cada variable al resultado total.
- Escribe la función lineal correspondiente.
- Reemplaza los valores conocidos o despeja la incógnita.
- Interpreta el resultado en el contexto del problema.
Ejemplo guiado: costo de producción
Una pequeña empresa modela su costo de producción mediante:
\[ f(x,y)=4x+7y \]
donde \(x\) representa kilogramos de materia prima e \(y\) representa horas de trabajo.
Si usa \(10\) kg de materia prima y \(6\) horas de trabajo, entonces:
\[ f(10,6)=4(10)+7(6) \]
\[ f(10,6)=40+42=82 \]
Interpretación: el costo total es \(82\) unidades monetarias.
Ejemplo gráfico: líneas de igual costo
Consideremos el modelo de costo:
\[ f(x,y)=5x+10y \]
Si fijamos un costo total \(c\), se obtiene la ecuación:
\[ 5x+10y=c \]
Esto representa una recta en el plano cartesiano. Todos los puntos de una misma recta tienen el mismo costo total.
Por ejemplo, los puntos \((10,5)\) y \((0,10)\) están en la recta \(c=100\), porque:
\[ 5(10)+10(5)=100 \]
y también:
\[ 5(0)+10(10)=100. \]
Ejercicio gráfico: combinaciones con el mismo costo
En el modelo \(f(x,y)=5x+10y\), encuentra dos combinaciones distintas de \(x\) e \(y\) que produzcan costo \(150\). Luego interpreta esos puntos en el gráfico.
Debemos cumplir:
\[ 5x+10y=150 \]
Una opción es tomar \(x=10\):
\[ 5(10)+10y=150 \]
\[ 50+10y=150 \]
\[ y=10 \]
Entonces un punto es \((10,10)\).
Otra opción es tomar \(x=20\):
\[ 5(20)+10y=150 \]
\[ 100+10y=150 \]
\[ y=5 \]
Otro punto es \((20,5)\).
Ambos puntos están sobre la misma recta \(c=150\), por eso representan combinaciones distintas con el mismo costo total.
Ejercicios
Nivel Básico
Ejercicio 1
Un mapa topográfico tiene líneas de nivel representadas por la ecuación \[ 2x+3y=c, \] donde \(c\) es la elevación en metros. Si estás en el punto \((3,4)\), ¿cuál es tu elevación? Si te mueves al punto \((6,2)\), ¿habrás ascendido o descendido?
La elevación está dada por:
\[ f(x,y)=2x+3y \]
En el punto \((3,4)\):
\[ f(3,4)=2(3)+3(4) \]
\[ f(3,4)=6+12=18 \]
La elevación es \(18\) metros.
En el punto \((6,2)\):
\[ f(6,2)=2(6)+3(2) \]
\[ f(6,2)=12+6=18 \]
Ambas elevaciones son iguales.
Resultado: no habrás ascendido ni descendido, porque en ambos puntos la elevación es \(18\) metros.
Ejercicio 2
El costo total de producción de un bien está dado por la función \[ f(x,y)=5x+10y, \] donde \(x\) es la cantidad de materia prima en kilogramos e \(y\) es la cantidad de mano de obra en horas. Si se usan \(20\) kg de materia prima y \(15\) horas de mano de obra, ¿cuál es el costo total de producción?
Reemplazamos \(x=20\) e \(y=15\):
\[ f(20,15)=5(20)+10(15) \]
\[ f(20,15)=100+150 \]
\[ f(20,15)=250 \]
Resultado: el costo total de producción es \(250\) unidades monetarias.
Ejercicio 3
Un artesano fabrica sillas y mesas. La función que relaciona la cantidad de sillas \(x\) y mesas \(y\) que fabrica en una semana es \[ f(x,y)=2x+4y. \] Si en una semana fabrica \(5\) sillas y quiere obtener un total de producción de \(30\), ¿cuántas mesas deberá fabricar?
Sabemos que:
\[ x=5 \]
y queremos que:
\[ f(x,y)=30 \]
Reemplazamos:
\[ 30=2(5)+4y \]
\[ 30=10+4y \]
Restamos \(10\):
\[ 20=4y \]
Dividimos por \(4\):
\[ y=5 \]
Resultado: deberá fabricar \(5\) mesas.
Ejercicio 4
Para entrar a un parque de diversiones se debe pagar una entrada fija más un costo por cada juego. La función es \[ f(x,y)=5000+1000x+1500y, \] donde \(x\) es la cantidad de juegos mecánicos e \(y\) es la cantidad de juegos de destreza. Si una persona subió a \(3\) juegos mecánicos y a \(2\) juegos de destreza, ¿cuánto pagó en total?
En este caso:
\[ x=3,\qquad y=2 \]
Reemplazamos:
\[ f(3,2)=5000+1000(3)+1500(2) \]
\[ f(3,2)=5000+3000+3000 \]
\[ f(3,2)=11000 \]
Resultado: pagó en total \(\$11\,000\).
Nivel Intermedio
Ejercicio 5
Un vehículo realiza dos tipos de trayecto. En el primer tipo recorre \(4\) unidades de distancia por cada hora, y en el segundo tipo recorre \(3\) unidades de distancia por cada hora. Si \(x\) e \(y\) representan las horas dedicadas a cada trayecto, la distancia total recorrida puede modelarse como \[ f(x,y)=4x+3y. \] Si se mueve \(2\) horas en el primer trayecto y \(3\) horas en el segundo, ¿cuál es la distancia total recorrida?
Reemplazamos:
\[ x=2,\qquad y=3 \]
Entonces:
\[ f(2,3)=4(2)+3(3) \]
\[ f(2,3)=8+9 \]
\[ f(2,3)=17 \]
Resultado: la distancia total recorrida es \(17\) unidades de distancia.
Ejercicio 6
Una población de bacterias crece a razón de \(2\) unidades por cada unidad del nutriente A y \(3\) unidades por cada unidad del nutriente B. Si la función de crecimiento es \[ f(x,y)=2x+3y, \] ¿cuántas unidades debe tener el nutriente B para que la población crezca \(20\) unidades, si se dispone de \(4\) unidades del nutriente A?
Sabemos que:
\[ f(x,y)=20,\qquad x=4 \]
Reemplazamos:
\[ 20=2(4)+3y \]
\[ 20=8+3y \]
Restamos \(8\):
\[ 12=3y \]
Dividimos por \(3\):
\[ y=4 \]
Resultado: se necesitan \(4\) unidades del nutriente B.
Ejercicio 7
El perímetro de un rectángulo se calcula como \[ P(x,y)=2x+2y, \] donde \(x\) es el largo e \(y\) es el ancho. Si el largo de un rectángulo es el doble que el ancho, y el perímetro es \(30\) cm, ¿cuáles son sus dimensiones?
Sabemos que el largo es el doble del ancho:
\[ x=2y \]
Además:
\[ P(x,y)=30 \]
Usamos la fórmula:
\[ 30=2x+2y \]
Reemplazamos \(x=2y\):
\[ 30=2(2y)+2y \]
\[ 30=4y+2y \]
\[ 30=6y \]
\[ y=5 \]
Entonces:
\[ x=2(5)=10 \]
Resultado: el ancho mide \(5\) cm y el largo mide \(10\) cm.
Ejercicio 8
Un vehículo tiene un rendimiento de \(15\) km por litro en carretera y \(10\) km por litro en ciudad. Si la función de distancia recorrida es \[ f(x,y)=15x+10y, \] donde \(x\) son los litros usados en carretera e \(y\) los litros usados en ciudad, ¿cuántos kilómetros puede recorrer si gasta \(5\) litros en carretera y \(8\) litros en ciudad?
Reemplazamos:
\[ x=5,\qquad y=8 \]
Entonces:
\[ f(5,8)=15(5)+10(8) \]
\[ f(5,8)=75+80 \]
\[ f(5,8)=155 \]
Resultado: el vehículo puede recorrer \(155\) km.
Nivel Avanzado
Ejercicio 9
Supón que la temperatura en un punto de una placa de metal está dada por la función \[ T(x,y)=20+2x+3y, \] donde \(x\) e \(y\) son coordenadas en centímetros y \(T\) es la temperatura en grados Celsius. Si te mueves desde el punto \((1,2)\) hasta el punto \((4,6)\), ¿cuánto habrá cambiado la temperatura?
Calculamos primero la temperatura en \((1,2)\):
\[ T(1,2)=20+2(1)+3(2) \]
\[ T(1,2)=20+2+6=28 \]
Ahora calculamos la temperatura en \((4,6)\):
\[ T(4,6)=20+2(4)+3(6) \]
\[ T(4,6)=20+8+18=46 \]
El cambio de temperatura es:
\[ 46-28=18 \]
Resultado: la temperatura aumentó \(18^\circ\text{C}\).
Ejercicio 10
Una empresa produce usando dos recursos, R1 y R2. La función de producción es \[ f(x,y)=10x+15y, \] donde \(x\) es la cantidad de R1 e \(y\) es la cantidad de R2. Si la empresa tiene \(50\) unidades de R1 y \(60\) unidades de R2 disponibles, y se necesita producir al menos \(800\) unidades, ¿es posible alcanzar ese nivel? Da una combinación que produzca exactamente \(800\) unidades sin exceder los recursos disponibles.
Primero calculamos la producción usando todos los recursos disponibles:
\[ f(50,60)=10(50)+15(60) \]
\[ f(50,60)=500+900=1400 \]
Como \(1400\ge 800\), sí es posible alcanzar una producción de al menos \(800\) unidades.
Ahora buscamos una combinación que produzca exactamente \(800\):
\[ 10x+15y=800 \]
Podemos elegir \(x=50\). Entonces:
\[ 10(50)+15y=800 \]
\[ 500+15y=800 \]
\[ 15y=300 \]
\[ y=20 \]
Esta combinación usa \(50\) unidades de R1 y \(20\) unidades de R2, sin exceder los recursos disponibles.
Resultado: sí es posible. Una combinación posible es \(x=50\) e \(y=20\).
Desafío
Ejercicio 11
La función de utilidad de un consumidor está dada por \[ U(x,y)=ax+by, \] donde \(x\) e \(y\) son las cantidades de dos bienes, y \(a\) y \(b\) son constantes positivas. Si el consumidor tiene un ingreso \(I\), y los precios de los bienes son \(p\) y \(q\), respectivamente, ¿cómo puede decidir qué bien le conviene consumir para maximizar su utilidad?
La restricción presupuestaria es:
\[ px+qy=I \]
Como la utilidad es lineal, conviene comparar cuánta utilidad entrega cada bien por unidad monetaria.
Para el bien \(x\), la utilidad por unidad monetaria es:
\[ \frac{a}{p} \]
Para el bien \(y\), la utilidad por unidad monetaria es:
\[ \frac{b}{q} \]
Si \[ \frac{a}{p}>\frac{b}{q}, \] conviene gastar el presupuesto en el bien \(x\).
Si \[ \frac{a}{p}<\frac{b}{q}, \] conviene gastar el presupuesto en el bien \(y\).
Si \[ \frac{a}{p}=\frac{b}{q}, \] cualquier combinación que use todo el presupuesto entrega la misma utilidad.
Conclusión: se debe comparar la utilidad por unidad monetaria gastada en cada bien.
Ejercicio 12
La temperatura en una región del espacio está dada por la función \[ T(x,y)=a+bx+cy, \] donde \(x\) e \(y\) son coordenadas espaciales, y \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes. Si se sabe que la temperatura en el punto \((1,1)\) es \(10\) grados, en el punto \((2,3)\) es \(15\) grados, y en el punto \((4,1)\) es \(20\) grados, ¿cuáles son los valores de \(a\), \(b\) y \(c\)?
Usamos los tres datos para formar un sistema de ecuaciones.
En \((1,1)\):
\[ a+b+c=10 \]
En \((2,3)\):
\[ a+2b+3c=15 \]
En \((4,1)\):
\[ a+4b+c=20 \]
Restamos la primera ecuación a la segunda:
\[ (a+2b+3c)-(a+b+c)=15-10 \]
\[ b+2c=5 \]
Restamos la primera ecuación a la tercera:
\[ (a+4b+c)-(a+b+c)=20-10 \]
\[ 3b=10 \]
Entonces:
\[ b=\frac{10}{3} \]
Sustituimos en \(b+2c=5\):
\[ \frac{10}{3}+2c=5 \]
\[ 2c=5-\frac{10}{3} \]
\[ 2c=\frac{5}{3} \]
\[ c=\frac{5}{6} \]
Finalmente, sustituimos en \(a+b+c=10\):
\[ a+\frac{10}{3}+\frac{5}{6}=10 \]
\[ a+\frac{20}{6}+\frac{5}{6}=10 \]
\[ a+\frac{25}{6}=10 \]
\[ a=10-\frac{25}{6} \]
\[ a=\frac{35}{6} \]
Resultado:
\[ a=\frac{35}{6},\qquad b=\frac{10}{3},\qquad c=\frac{5}{6} \]