Las funciones lineales en dos variables, representadas por la ecuación \[f(x, y) = ax + by\], no solo son útiles en geometría, sino que también sirven como poderosas herramientas para modelar una gran variedad de fenómenos del mundo real. En esta página, exploraremos cómo estas funciones pueden ayudarnos a entender y resolver problemas en diferentes contextos.

Modelando con Funciones Lineales

Una función lineal en dos variables establece una relación entre dos variables, 'x' e 'y', y una variable dependiente, 'f(x, y)', que representa el resultado o la salida del modelo. Los coeficientes 'a' y 'b' determinan cómo las variables independientes influyen en el resultado.

Por ejemplo, en un mapa topográfico, las líneas de nivel conectan puntos de igual elevación. Estas líneas se pueden representar mediante la ecuación \[ax + by = c\], donde 'c' es la elevación, y 'x' e 'y' son las coordenadas en el mapa. En este caso, la función f(x, y) = ax + by nos daría la elevación en cualquier punto (x, y) del mapa.

Ejemplos de Aplicaciones

• Economía: El costo total de producción de un bien a menudo se puede modelar como una función lineal de dos variables: \[f(x, y) = ax + by\], donde 'x' es la cantidad de materia prima utilizada, 'y' es la cantidad de mano de obra empleada, 'a' es el costo unitario de la materia prima y 'b' es el costo unitario de la mano de obra.
• Física: La distancia recorrida por un objeto que se mueve a una velocidad constante en dos dimensiones se puede representar como \[f(x, y) = ax + by\], donde 'x' es el tiempo de movimiento en la dirección x, 'y' es el tiempo de movimiento en la dirección y, 'a' es la velocidad en la dirección x, y 'b' es la velocidad en la dirección y.
• Biología: El crecimiento de una población de bacterias en un medio con dos nutrientes limitantes se puede modelar como \[f(x, y) = ax + by\], donde 'x' es la cantidad del primer nutriente, 'y' es la cantidad del segundo nutriente, 'a' es la tasa de crecimiento por unidad del primer nutriente, y 'b' es la tasa de crecimiento por unidad del segundo nutriente.

Resolviendo Problemas con Funciones Lineales

Para resolver problemas usando funciones lineales, generalmente seguimos estos pasos:

1. Identificar las variables involucradas en el problema y asignarles las letras 'x', 'y', y 'f(x, y)' según corresponda.
2. Determinar los coeficientes 'a' y 'b' de la función lineal, basándose en la información proporcionada en el problema.
3. Escribir la ecuación de la función lineal: \[f(x, y) = ax + by\].
4. Usar la ecuación para responder preguntas específicas sobre el problema, como encontrar el valor de 'f(x, y)' para valores dados de 'x' e 'y', o encontrar los valores de 'x' e 'y' que producen un valor específico de 'f(x, y)'.

Ejercicios

Nivel Básico

1. Un mapa topográfico tiene líneas de nivel representadas por la ecuación \[2x + 3y = c\], donde 'c' es la elevación en metros. Si estás en el punto (3, 4) en el mapa, ¿cuál es tu elevación? Si te mueves al punto (6, 2), ¿habrás ascendido o descendido?

   Respuesta:

   En el punto (3, 4), la elevación es \[2(3) + 3(4) = 6 + 12 = 18\] metros. En el punto (6, 2), la elevación es \[2(6) + 3(2) = 12 + 6 = 18\] metros. Como la elevación es la misma en ambos puntos, no habrás ascendido ni descendido.

2. El costo total de producción de un bien está dado por la función \[f(x, y) = 5x + 10y\], donde 'x' es la cantidad de materia prima en kilogramos e 'y' es la cantidad de mano de obra en horas. Si se usan 20 kg de materia prima y 15 horas de mano de obra, ¿cuál es el costo total de producción?

   Respuesta:

   El costo total de producción es \[f(20, 15) = 5(20) + 10(15) = 100 + 150 = 250\] unidades monetarias.

3. Un artesano puede fabricar sillas y mesas. La función que relaciona la cantidad de sillas (x) y mesas que puede fabricar en una semana es \[f(x,y)= 2x+4y\]. Si en una semana fabrica 5 sillas, y quiere tener un total de producción de f(x,y)=30. ¿Cuántas mesas deberá fabricar?

   Respuesta:

   Si fabrica 5 sillas, entonces x=5. Queremos que f(x,y)=30. Reemplazamos en la función: \[30=2(5)+4y\] \[30=10+4y\] \[20=4y\] \[y=5\] Deberá fabricar 5 mesas.

4. Para entrar a un parque de diversiones, se debe pagar una entrada fija más un costo por cada juego al que se suba. La función es \[f(x,y)= 5000 + 1000x + 1500y\], donde x es la cantidad de juegos mecánicos e y es la cantidad de juegos de destreza. Si una persona subió a 3 juegos mecánicos y a 2 juegos de destreza, ¿cuánto pagó en total?

   Respuesta:

   Reemplazamos x=3 e y=2 en la función: \[f(3,2)= 5000 + 1000(3) + 1500(2)\] \[f(3,2)= 5000 + 3000 + 3000\] \[f(3,2)= 11000\] Pagó en total 11000.

Nivel Intermedio

1. Un avión se mueve en dos dimensiones. La distancia recorrida en la dirección x está dada por 4x, y la distancia recorrida en la dirección y está dada por 3y, donde 'x' e 'y' representan el tiempo en horas. Si el avión se mueve durante 2 horas en la dirección x y 3 horas en la dirección y, ¿cuál es la distancia total recorrida por el avión?

   Respuesta:

   La distancia total recorrida es la suma de las distancias en cada dirección: \[f(x, y) = 4x + 3y\]. Sustituyendo x = 2 e y = 3, obtenemos \[f(2, 3) = 4(2) + 3(3) = 8 + 9 = 17\] unidades de distancia.

2. Una población de bacterias crece a una tasa de 2 unidades por cada unidad del nutriente A y 3 unidades por cada unidad del nutriente B. Si la función de crecimiento es \[f(x, y) = 2x + 3y\], ¿cuántas unidades debe tener el nutriente B para que la población crezca 20 unidades, si se dispone de 4 unidades del nutriente A?

   Respuesta:

   Tenemos que f(x,y) = 20 y x = 4. Sustituyendo estos valores en la ecuación, obtenemos: \[20 = 2(4) + 3y\] \[20 = 8 + 3y\] \[12 = 3y\] \[y = 4\] Se necesitan 4 unidades del nutriente B.

3. El perímetro de un rectángulo se calcula como \[P(x, y) = 2x + 2y\], donde 'x' es el largo e 'y' es el ancho. Si el largo de un rectángulo es el doble que el ancho, y el perímetro es 30 cm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

   Respuesta:

   Sabemos que x = 2y y P(x, y) = 30. Sustituyendo x = 2y en la ecuación del perímetro, obtenemos: \[30 = 2(2y) + 2y\] \[30 = 4y + 2y\] \[30 = 6y\] \[y = 5\] Entonces, el ancho es 5 cm. Como el largo es el doble del ancho, el largo es 10 cm.

4. Un vehículo tiene un rendimiento de combustible que depende de la velocidad a la que se conduce en carretera y en ciudad. En carretera, el rendimiento es de 15 km por litro, y en ciudad es de 10 km por litro. Si la función de rendimiento es \[f(x,y) = 15x + 10y\] donde 'x' son los litros de combustible gastados en carretera e 'y' en ciudad, ¿cuántos kilómetros puede recorrer el vehículo si gasta 5 litros en carretera y 8 en ciudad?

   Respuesta:

   Reemplazamos x=5 e y=8 en la función: \[f(5,8) = 15(5) + 10(8) = 75 + 80 = 155\] El vehículo puede recorrer 155 km.

Nivel Avanzado

1. Supón que la temperatura en un punto de una placa de metal está dada por la función \[T(x, y) = 20 + 2x + 3y\], donde 'x' e 'y' son las coordenadas en centímetros y T es la temperatura en grados Celsius. Si te mueves desde el punto (1, 2) hasta el punto (4, 6), ¿cuánto habrá cambiado la temperatura?

   Respuesta:

   En el punto (1, 2), la temperatura es \[T(1, 2) = 20 + 2(1) + 3(2) = 20 + 2 + 6 = 28\] grados Celsius. En el punto (4, 6), la temperatura es \[T(4, 6) = 20 + 2(4) + 3(6) = 20 + 8 + 18 = 46\] grados Celsius. El cambio de temperatura es 46 - 28 = 18 grados Celsius.

2. Una empresa produce dos tipos de productos, A y B, que requieren diferentes cantidades de dos recursos, R1 y R2. La función de producción es \[f(x, y) = 10x + 15y\], donde 'x' es la cantidad de R1 y 'y' es la cantidad de R2. Si la empresa tiene 50 unidades de R1 y 60 unidades de R2 disponibles, y se sabe que la producción debe ser de al menos 800 unidades, ¿es posible alcanzar este nivel de producción? ¿Qué combinación de recursos permitiría alcanzar la producción de 800 unidades a un costo mínimo?

   Respuesta:

   Con 50 unidades de R1 y 60 unidades de R2, la producción máxima es \[f(50, 60) = 10(50) + 15(60) = 500 + 900 = 1400\] unidades, por lo que sí es posible alcanzar las 800 unidades. Para minimizar el costo, necesitamos encontrar una combinación de 'x' e 'y' tal que \[10x + 15y = 800\]. Como el costo unitario de R2 es mayor, para minimizar el costo se debe usar la mayor cantidad posible de R1 sin exceder las 50 unidades. Estableciendo x = 50, tenemos: \[10(50) + 15y = 800\] \[500 + 15y = 800\] \[15y = 300\] \[y = 20\] Entonces, se deben usar 50 unidades de R1 y 20 unidades de R2. Esto utilizará todos los recursos de R1 y una parte de los recursos de R2.

3. La función de utilidad de un consumidor está dada por \[U(x,y) = ax + by\], donde 'x' e 'y' son las cantidades de dos bienes que consume, y 'a' y 'b' son constantes positivas que representan la utilidad marginal de cada bien. Si el consumidor tiene un ingreso limitado de 'I' unidades monetarias, y los precios de los bienes son 'p' y 'q' respectivamente, ¿cómo puede el consumidor maximizar su utilidad?

   Respuesta:

   El consumidor enfrenta una restricción presupuestaria dada por \[px + qy = I\]. Para maximizar su utilidad, el consumidor debe elegir 'x' e 'y' de manera que la razón de las utilidades marginales sea igual a la razón de los precios, es decir, \[\frac{a}{b} = \frac{p}{q}\]. Además, la combinación elegida debe satisfacer la restricción presupuestaria. Resolviendo este sistema de ecuaciones, se puede encontrar la combinación óptima de 'x' e 'y' que maximiza la utilidad del consumidor.

4. La temperatura en una región del espacio está dada por la función \[T(x, y) = a + bx + cy\], donde 'x' e 'y' son las coordenadas espaciales, y 'a', 'b' y 'c' son constantes. Si se sabe que la temperatura en el punto (1, 1) es 10 grados, en el punto (2, 3) es 15 grados, y en el punto (4, 1) es 20 grados, ¿cuáles son los valores de 'a', 'b' y 'c'?

   Respuesta:

   Tenemos tres puntos y tres incógnitas. Podemos plantear un sistema de tres ecuaciones:

   \[a + b(1) + c(1) = 10\]

   \[a + b(2) + c(3) = 15\]

   \[a + b(4) + c(1) = 20\]

   Resolviendo este sistema, se obtienen los valores de 'a', 'b' y 'c'. Restando la primera ecuación de la segunda y la tercera, obtenemos:

   \[b + 2c = 5\]

   \[3b = 10\]

   De la última ecuación, b = 10/3. Sustituyendo en la anterior, obtenemos: \[10/3 + 2c = 5\] \[2c = 5 - 10/3 = 5/3\] \[c = 5/6\]

   Finalmente, sustituyendo los valores de 'b' y 'c' en la primera ecuación, obtenemos:

   \[a + 10/3 + 5/6 = 10\]

   \[a = 10 - 10/3 - 5/6 = 35/6\]

   Por lo tanto, los valores son: a = 35/6, b = 10/3, c = 5/6.