En la página anterior, exploramos cómo las funciones lineales en dos variables nos permiten modelar una variedad de fenómenos. Ahora, profundizaremos en la interpretación de los parámetros 'a', 'b' y 'c' en la ecuación \[f(x, y) = ax + by\] en el contexto de ejemplos específicos del mundo real.

Ejemplo 1: Propagación de Ondas en el Mar

Imagina una ola que se propaga en el mar. La altura de la ola en un punto determinado puede representarse mediante una función lineal de dos variables:

donde:

• H(x, y) es la altura de la ola en el punto (x, y).
• x es la distancia en la dirección principal de propagación de la ola.
• y es la distancia perpendicular a la dirección principal de propagación.
• 'a' representa la pendiente de la ola en la dirección principal de propagación. Un valor mayor de 'a' indica una ola más empinada en esa dirección.
• 'b' representa la pendiente de la ola en la dirección perpendicular.

En este modelo, 'c' (que no aparece explícitamente en la ecuación) podría representar la altura inicial de la ola o el nivel del mar en calma. Al variar 'a' y 'b', podemos modelar diferentes formas de olas y patrones de propagación. Si 'b' es cero, la altura de la ola solo depende de 'x', lo que significa que la ola se propaga uniformemente en la dirección 'x'.

Pregunta: Si la función que describe la altura de una ola es H(x, y) = 0.5x + 0.2y, ¿cómo interpretarías los valores de 'a' y 'b'?

Ejemplo 2: Formación de Capas de Rocas

En geología, la formación de capas de rocas sedimentarias puede modelarse, en algunos casos, mediante funciones lineales. Supongamos que el espesor de una capa de roca en un punto determinado está dado por:

donde:

• E(x, y) es el espesor de la capa en el punto (x, y).
• x es la distancia horizontal a lo largo de una línea de referencia.
• y es la distancia perpendicular a la línea de referencia.
• 'a' representa la tasa de cambio del espesor de la capa en la dirección x. Un valor positivo de 'a' indica que el espesor aumenta a medida que nos movemos en la dirección x, mientras que un valor negativo indica que el espesor disminuye.
• 'b' representa la tasa de cambio del espesor de la capa en la dirección y.

En este modelo, 'c' podría representar el espesor inicial de la capa de roca en el punto de referencia (x=0, y=0). Al variar 'a' y 'b', podemos modelar diferentes inclinaciones y variaciones en el espesor de las capas de rocas.

Pregunta: Si la función que describe el espesor de una capa de roca es E(x, y) = -0.1x + 0.05y + 2, ¿cómo interpretarías los valores de 'a', 'b' y 'c'?

Ejercicios

En los siguientes ejercicios considera la ecuación \[f(x,y)=ax+by+c\]

Nivel Básico

1. Si a = 0, ¿cómo se interpreta la función f(x, y) en términos de su gráfica?

   Respuesta:

   Si a = 0, la función se convierte en f(x, y) = by + c. Esto significa que la función solo depende de la variable 'y'. Gráficamente, esto representa un plano paralelo al eje x, o una serie de líneas paralelas al eje x si se consideran las líneas de nivel de f(x,y)=k, donde k es una constante.

2. Si b = 0, ¿cómo se interpreta la función f(x, y) en términos de su gráfica?

   Respuesta:

   Si b = 0, la función se convierte en f(x, y) = ax + c. Esto significa que la función solo depende de la variable 'x'. Gráficamente, esto representa un plano paralelo al eje y, o una serie de líneas paralelas al eje y si se consideran las líneas de nivel de f(x,y)=k, donde k es una constante.

Nivel Intermedio

1. Si 'a' y 'b' son ambos positivos, ¿en qué dirección aumenta el valor de f(x, y)?

   Respuesta:

   Si 'a' y 'b' son positivos, f(x, y) aumenta a medida que 'x' e 'y' aumentan. Esto significa que el valor de la función aumenta a medida que nos movemos en la dirección positiva de 'x' y en la dirección positiva de 'y'.

2. ¿Qué se puede decir sobre la relación entre las líneas de nivel de f(x,y) cuando solo cambia el valor de c?

   Respuesta:

   Las líneas de nivel de f(x,y) son líneas rectas paralelas entre sí. Cuando solo cambia el valor de 'c', las líneas de nivel se desplazan paralelamente a sí mismas, sin cambiar su pendiente.

Nivel Avanzado

1. Si 'a' es positivo y 'b' es negativo, ¿en qué cuadrantes del plano (x, y) la función f(x, y) = ax + by + c tomará valores positivos?

   Respuesta:

   La función f(x, y) tomará valores positivos en los cuadrantes donde el término 'ax' sea mayor en magnitud que el término 'by', de manera que la suma de 'ax' y 'c' sea mayor que el valor absoluto de 'by'. Esto dependerá del valor específico de 'c'. Sin embargo, en general, como 'a' es positivo y 'b' es negativo, la función tendrá valores positivos en el primer cuadrante (donde 'x' e 'y' son ambos positivos) y en el tercer cuadrante (donde 'x' e 'y' son ambos negativos), y posiblemente en el segundo o cuarto cuadrante dependiendo de la magnitud relativa de 'a', 'b' y 'c'.

2. Si se sabe que f(x, y) representa la temperatura en un punto (x, y) de una placa, y que f(x, y) = 2x - 3y + 5, ¿en qué dirección deberías moverte desde el punto (1, 1) para que la temperatura disminuya lo más rápidamente posible?

   Respuesta:

   La temperatura disminuye más rápidamente en la dirección opuesta al gradiente de la función. El gradiente de f(x, y) está dado por el vector (a, b), que en este caso es (2, -3). Por lo tanto, para que la temperatura disminuya lo más rápidamente posible, deberías moverte en la dirección opuesta a (2, -3), es decir, en la dirección (-2, 3).