¡Has llegado a la última página de esta serie! Aquí encontrarás una colección de ejercicios para poner a prueba tus conocimientos y enlaces a herramientas que te ayudarán a seguir explorando el fascinante mundo de las relaciones lineales.

Ejercicios de Repaso

Pon a prueba tus habilidades con los siguientes ejercicios. Recuerda los conceptos clave que hemos aprendido:

• La ecuación de una recta en su forma general: \[ax + by = c\]
• La pendiente de la recta: \[m = -\frac{a}{b}\]
• El significado de 'a', 'b' y 'c' en diferentes contextos.
• Cómo graficar rectas a partir de su ecuación.
• Cómo interpretar las líneas de nivel y su relación con la pendiente.
• Cómo modelar fenómenos del mundo real con funciones lineales de dos variables.

Nivel Básico

1. Dada la ecuación \[3x - 2y = 6\], encuentra la pendiente y la intersección con el eje y. Luego, grafica la recta.

   Respuesta:

   La pendiente es m = -a/b = -3/-2 = 3/2. Para encontrar la intersección con el eje y, establecemos x = 0 y resolvemos para y: -2y = 6, entonces y = -3. La intersección con el eje y es (0, -3).

2. Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 1) y (4, 5) en la forma \[ax + by = c\].

   Respuesta:

   Primero, encontramos la pendiente: m = (5 - 1)/(4 - 2) = 4/2 = 2. Luego, usamos la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación: y - 1 = 2(x - 2), que se simplifica a y = 2x - 3. En la forma requerida, la ecuación es \[-2x + y = -3\].

Nivel Intermedio

1. Un conjunto de líneas de nivel se describe mediante la ecuación \[-2x + y = c\]. Si una de las líneas de nivel pasa por el punto (3, 4), ¿cuál es el valor de 'c' para esa línea?

   Respuesta:

   Sustituimos x = 3 e y = 4 en la ecuación: -2(3) + 4 = c, entonces c = -2.

2. La temperatura en una placa de metal está dada por la función \[T(x, y) = 10 + 3x - 2y\]. Encuentra la ecuación de la línea de nivel que corresponde a una temperatura de 20 grados.

   Respuesta:

   Establecemos T(x, y) = 20 y resolvemos para la ecuación de la línea de nivel: 20 = 10 + 3x - 2y, que se simplifica a \[3x - 2y = 10\].

Nivel Avanzado

1. Considera la función \[f(x, y) = ax + by\], donde 'a' y 'b' son constantes. Si f(1, 0) = 2 y f(0, 1) = -3, ¿cuáles son los valores de 'a' y 'b'?

   Respuesta:

   Sustituyendo los puntos dados en la función, obtenemos dos ecuaciones: a(1) + b(0) = 2, que implica a = 2, y a(0) + b(1) = -3, que implica b = -3. Entonces, a = 2 y b = -3.

2. Un haz de rectas paralelas está dado por la ecuación \[2x - 5y = c\]. Encuentra la ecuación de la recta que pertenece a este haz y que es perpendicular a la recta \[x + 4y = 7\].

   Respuesta:

   La pendiente de la recta \[x + 4y = 7\] es -1/4. Una recta perpendicular a esta tendrá una pendiente de 4. La pendiente de las rectas en el haz \[2x - 5y = c\] es 2/5. Para que una recta del haz sea perpendicular a \[x + 4y = 7\], sus pendientes deben ser recíprocas negativas. Por lo tanto, necesitamos encontrar una recta con pendiente 4. Sin embargo el haz \[2x - 5y = c\] tiene pendiente 2/5. Se necesitaría modificar la ecuación del haz a una que permita una pendiente de 4. Esto significa que la recta perpendicular no pertenece al haz dado.

Herramientas para Seguir Aprendiendo

Aquí te dejamos algunos enlaces a herramientas que te pueden ser útiles:

• GeoGebra: Un software de matemáticas dinámicas que te permite graficar funciones, visualizar relaciones geométricas y mucho más. Puedes usarlo para crear tus propios applets interactivos y explorar las relaciones lineales.

• Khan Academy: Una plataforma de aprendizaje en línea con una gran cantidad de recursos sobre álgebra y otros temas matemáticos. Puedes encontrar lecciones y ejercicios sobre ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones y funciones.

• Wolfram Alpha: Un motor de conocimiento computacional que puede resolver ecuaciones, graficar funciones y realizar una gran variedad de cálculos matemáticos. Es una herramienta muy útil para verificar tus respuestas y explorar conceptos matemáticos más avanzados.

Recuerda reemplazar "URL de GeoGebra", "URL de Khan Academy" y "URL de Wolfram Alpha" con los enlaces reales a las páginas web correspondientes.

¡Esperamos que esta serie de páginas web te haya ayudado a comprender mejor las relaciones lineales en dos variables! Sigue practicando y explorando, y verás cómo estos conceptos se aplican en una gran variedad de situaciones.