Una circunferencia es una figura geométrica plana y cerrada que se caracteriza porque todos los puntos que la conforman se encuentran a la misma distancia del centro. Esta distancia se denomina radio.
Imagen aquí: Circunferencia con radio y diámetro señalados
El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es igual a dos veces el radio.
Deducción de las Fórmulas
Perímetro
El perímetro de una circunferencia, también llamado longitud de la circunferencia, se puede deducir intuitivamente. Imagina que "cortas" la circunferencia en un punto y la "extiendes" como una línea recta. La longitud de esa línea es el perímetro.
Imagen aquí: Ilustración de una circunferencia "cortada" y extendida
Desde la antigüedad, se observó que la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro era siempre la misma, sin importar el tamaño de la circunferencia. Esta constante se denominó \( \pi \). Por lo tanto, la longitud de la circunferencia (perímetro) es igual a \( \pi \) multiplicado por el diámetro:
\[ P = \pi \bullet d \]
Como el diámetro es dos veces el radio (\( d = 2r \)), también podemos expresar el perímetro en términos del radio:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \]
Área
Para deducir la fórmula del área de un círculo, podemos imaginar que dividimos el círculo en una gran cantidad de sectores circulares iguales, como si fueran rebanadas de una pizza. Luego, reorganizamos estos sectores para formar una figura que se aproxime a un paralelogramo.
Imagen aquí: Ilustración de un círculo dividido en sectores y reacomodados como un paralelogramo
Cuanto mayor sea la cantidad de sectores en que dividamos el círculo, más se asemejará la figura resultante a un paralelogramo. La base de este paralelogramo será aproximadamente la mitad de la longitud de la circunferencia (\( \frac{1}{2}P = \pi \bullet r \)), y la altura será aproximadamente igual al radio (\( r \)).
El área de un paralelogramo se calcula multiplicando la base por la altura. Por lo tanto, el área aproximada del círculo será:
\[ A \approx (\pi \bullet r) \bullet r = \pi \bullet r^2 \]
A medida que aumentamos el número de sectores, la aproximación se vuelve más precisa, y en el límite, cuando el número de sectores tiende a infinito, obtenemos la fórmula exacta del área del círculo:
\[ A = \pi \bullet r^2 \]
También podemos expresarla utilizando el diámetro, si \( d=2r \), entonces \( r = \frac{d}{2} \), y reemplazando en la formula:
\[ A = \pi \bullet (\frac{d}{2})^2 = \pi \bullet \frac{d^2}{4} = \frac{\pi \bullet d^2}{4} \]
Fórmulas
Resumiendo, para calcular el área y el perímetro de una circunferencia, utilizamos las siguientes fórmulas:
Perímetro (P) (Valor exacto): \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ P = \pi \bullet d \]
Donde:
\( P \) es el perímetro.
\( \pi \) es una constante matemática aproximadamente igual a 3.14159.
\( r \) es el radio de la circunferencia.
\( d \) es el diámetro de la circunferencia.
Área (A) (Valor exacto): \[ A = \pi \bullet r^2 \] \[ A = \frac{\pi \bullet d^2}{4} \]
Donde:
\( A \) es el área.
\( \pi \) es una constante matemática aproximadamente igual a 3.14159.
\( r \) es el radio de la circunferencia.
\( d \) es el diámetro de la circunferencia.
Ejercicios
Nivel 1: Cálculos directos
Números Naturales
Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con radio OA = 5.
Calcula el perímetro exacto y el área exacta de una circunferencia con diámetro AB = 5y.
Solución:
Si el diámetro es 5y, el radio es \[ r = \frac{d}{2} = \frac{5y}{2} \].
Perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (\frac{5y}{2}) = 5y \bullet \pi \]
Área:
\[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (\frac{5y}{2})^2 = \frac{25y^2}{4} \bullet \pi \]
Nivel 2: Problemas Inversos
Determinar radio o diámetro a partir del perímetro
El perímetro exacto de una circunferencia es \( 20 \pi \). Determina el radio OA.
Solución:
Usamos la fórmula del perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ 20 \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ r = \frac{20 \pi}{2 \pi} = 10 \]
El perímetro exacto de una circunferencia es \( 15 \pi \). Determina el diámetro AB.
Solución:
Usamos la fórmula del perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ 15 \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ r = \frac{15 \pi}{2 \pi} = 7.5 \]\[ d = 2 \bullet r = 2 \bullet (7.5) = 15 \]
El perímetro exacto de una circunferencia es \( 8 \pi \). Determina el radio OA.
Solución:
Usamos la fórmula del perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ 8 \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ r = \frac{8 \pi}{2 \pi} = 4 \]
El perímetro exacto de una circunferencia es \( 25 \pi \). Determina el diámetro AB.
Solución:
Usamos la fórmula del perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ 25 \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ r = \frac{25 \pi}{2 \pi} = 12.5 \]\[ d = 2 \bullet r = 2 \bullet (12.5) = 25 \]
El perímetro exacto de una circunferencia es \( \frac{5}{2} \pi \). Determina el radio OA.
Solución:
Usamos la fórmula del perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ \frac{5}{2} \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ r = \frac{\frac{5}{2} \pi}{2 \pi} = \frac{5}{4} = 1.25 \]
El perímetro exacto de una circunferencia es \( 6x \pi \). Determina el radio OA.
Solución:
Usamos la fórmula del perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ 6x \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ r = \frac{6x \pi}{2 \pi} = 3x \]
Determinar radio o diámetro a partir del área
El área exacta de una circunferencia es \( 36 \pi \). Determina el radio OA.
Solución:
Usamos la fórmula del área:
\[ A = \pi \bullet r^2 \]\[ 36 \pi = \pi \bullet r^2 \]\[ r^2 = \frac{36 \pi}{\pi} = 36 \]\[ r = \sqrt{36} = 6 \]
El área exacta de una circunferencia es \( 16 \pi \). Determina el diámetro AB.
Solución:
Usamos la fórmula del área:
\[ A = \pi \bullet r^2 \]\[ 16 \pi = \pi \bullet r^2 \]\[ r^2 = \frac{16 \pi}{\pi} = 16 \]\[ r = \sqrt{16} = 4 \]\[ d = 2r = 2(4) = 8 \]
El área exacta de una circunferencia es \( 9 \pi \). Determina el radio OA.
Solución:
Usamos la fórmula del área:
\[ A = \pi \bullet r^2 \]\[ 9 \pi = \pi \bullet r^2 \]\[ r^2 = \frac{9 \pi}{\pi} = 9 \]\[ r = \sqrt{9} = 3 \]
El área exacta de una circunferencia es \( 121 \pi \). Determina el diámetro AB.
Solución:
Usamos la fórmula del área:
\[ A = \pi \bullet r^2 \]\[ 121 \pi = \pi \bullet r^2 \]\[ r^2 = \frac{121 \pi}{\pi} = 121 \]\[ r = \sqrt{121} = 11 \]\[ d = 2r = 2(11) = 22 \]
El área exacta de una circunferencia es \( \frac{9}{4} \pi \). Determina el radio OA.
Solución:
Usamos la fórmula del área:
\[ A = \pi \bullet r^2 \]\[ \frac{9}{4} \pi = \pi \bullet r^2 \]\[ r^2 = \frac{\frac{9}{4} \pi}{\pi} = \frac{9}{4} \]\[ r = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1.5 \]
El área exacta de una circunferencia es \( 4x^2 \pi \). Determina el radio OA.
Solución:
Usamos la fórmula del área:
\[ A = \pi \bullet r^2 \]\[ 4x^2 \pi = \pi \bullet r^2 \]\[ r^2 = \frac{4x^2 \pi}{\pi} = 4x^2 \]\[ r = \sqrt{4x^2} = 2x \]
Determinar área a partir del perímetro
El perímetro exacto de una circunferencia es \( 12 \pi \). Determina su área exacta.
Solución:
Primero, encontramos el radio a partir del perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ 12 \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ r = \frac{12 \pi}{2 \pi} = 6 \]
Luego, calculamos el área:
\[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (6)^2 = 36 \pi \]
El perímetro exacto de una circunferencia es \( 18 \pi \). Determina su área exacta.
Solución:
Primero, encontramos el radio a partir del perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ 18 \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ r = \frac{18 \pi}{2 \pi} = 9 \]
Luego, calculamos el área:
\[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (9)^2 = 81 \pi \]
El perímetro exacto de una circunferencia es \( 7 \pi \). Determina su área exacta.
Solución:
Primero, encontramos el radio a partir del perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ 7 \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ r = \frac{7 \pi}{2 \pi} = 3.5 \]
Luego, calculamos el área:
\[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (3.5)^2 = 12.25 \pi \]
El perímetro exacto de una circunferencia es \( 4y \pi \). Determina su área exacta.
Solución:
Primero, encontramos el radio a partir del perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ 4y \pi = 2 \bullet \pi \bullet r \]\[ r = \frac{4y \pi}{2 \pi} = 2y \]
Luego, calculamos el área:
\[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (2y)^2 = 4y^2 \pi \]
Determinar perímetro a partir del área
El área exacta de una circunferencia es \( 64 \pi \). Determina su perímetro exacto.
Solución:
Primero, encontramos el radio a partir del área:
\[ A = \pi \bullet r^2 \]\[ 64 \pi = \pi \bullet r^2 \]\[ r^2 = \frac{64 \pi}{\pi} = 64 \]\[ r = \sqrt{64} = 8 \]
Luego, calculamos el perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (8) = 16 \pi \]
El área exacta de una circunferencia es \( 4 \pi \). Determina su perímetro exacto.
Solución:
Primero, encontramos el radio a partir del área:
\[ A = \pi \bullet r^2 \]\[ 4 \pi = \pi \bullet r^2 \]\[ r^2 = \frac{4 \pi}{\pi} = 4 \]\[ r = \sqrt{4} = 2 \]
Luego, calculamos el perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (2) = 4 \pi \]
El área exacta de una circunferencia es \( \frac{25}{4} \pi \). Determina su perímetro exacto.
Solución:
Primero, encontramos el radio a partir del área:
\[ A = \pi \bullet r^2 \]\[ \frac{25}{4} \pi = \pi \bullet r^2 \]\[ r^2 = \frac{\frac{25}{4} \pi}{\pi} = \frac{25}{4} \]\[ r = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2.5 \]
Luego, calculamos el perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (\frac{5}{2}) = 5 \pi \]
El área exacta de una circunferencia es \( 9a^2 \pi \). Determina su perímetro exacto.
Solución:
Primero, encontramos el radio a partir del área:
\[ A = \pi \bullet r^2 \]\[ 9a^2 \pi = \pi \bullet r^2 \]\[ r^2 = \frac{9a^2 \pi}{\pi} = 9a^2 \]\[ r = \sqrt{9a^2} = 3a \]
Luego, calculamos el perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (3a) = 6a \pi \]
Nivel 3: Problemas
Un jardinero quiere bordear una fuente circular con una valla. Si la fuente tiene un diámetro de 4 metros, ¿cuántos metros de valla necesitará? (Considera el valor exacto)
Solución:
El problema nos pide calcular el perímetro de la fuente circular.
Si el diámetro es 4 metros, el radio es: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
Dado que el radio es 2 metros, usamos la fórmula del perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (2) = 4 \pi \]
El jardinero necesitará \( 4 \pi \) metros de valla.
Se desea pintar la tapa de un tambor que tiene forma circular. Si el radio de la tapa es de 0.6 metros, ¿cuánta área se deberá pintar? (Considera el valor exacto)
Solución:
El problema nos pide calcular el área de la tapa circular del tambor.
Dado que el radio es 0.6 metros, usamos la fórmula del área:
\[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (0.6)^2 = 0.36 \pi \]
Se deberá pintar un área de \( 0.36 \pi \) metros cuadrados.
Una cabra está atada a un poste en el centro de un campo circular. Si la cuerda que la ata mide 5 metros de largo, ¿cuál es el área máxima que la cabra puede pastar? (Considera el valor exacto)
Solución:
El área máxima que la cabra puede pastar corresponde al área del círculo con radio igual a la longitud de la cuerda.
Dado que la cuerda mide 5 metros, usamos la fórmula del área:
\[ A = \pi \bullet r^2 = \pi \bullet (5)^2 = 25 \pi \]
La cabra puede pastar un área máxima de \( 25 \pi \) metros cuadrados.
Un reloj circular tiene una manecilla de minutos que mide 10 cm de largo. ¿Qué distancia recorre la punta de la manecilla en una hora? (Considera el valor exacto)
Solución:
En una hora, la manecilla de minutos da una vuelta completa alrededor del reloj, describiendo una circunferencia.
La distancia que recorre la punta de la manecilla es igual al perímetro de esta circunferencia, donde el radio es la longitud de la manecilla.
Dado que la manecilla mide 10 cm, usamos la fórmula del perímetro:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (10) = 20 \pi \]
La punta de la manecilla recorre \( 20 \pi \) cm en una hora.
Un disco de vinilo tiene un diámetro de 30 cm. Si el disco gira a una velocidad de 33 1/3 revoluciones por minuto (RPM), ¿qué distancia recorre un punto en el borde del disco en un minuto? (Considera el valor exacto)
Solución:
Primero, necesitamos encontrar el perímetro del disco. Si el diámetro es 30 cm, el radio es:
\[ r = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15 \] cm.
El perímetro es:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (15) = 30 \pi \] cm.
Si el disco gira a 33 1/3 RPM, en un minuto un punto en el borde recorre:
\[ 30 \pi \bullet 33\frac{1}{3} = 30 \pi \bullet \frac{100}{3} = 1000 \pi \] cm.
Se quiere construir una valla circular alrededor de un jardín. Si el área del jardín es de \( 16 \pi \) metros cuadrados, ¿cuántos metros de valla se necesitarán? (Considera el valor exacto)
Solución:
Primero, necesitamos encontrar el radio del jardín a partir de su área:
\[ A = \pi \bullet r^2 \]\[ 16 \pi = \pi \bullet r^2 \]\[ r^2 = \frac{16 \pi}{\pi} = 16 \]\[ r = \sqrt{16} = 4 \] metros.
Ahora, calculamos el perímetro (longitud de la valla) usando la fórmula:
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet \pi \bullet (4) = 8 \pi \]
Se necesitarán \( 8 \pi \) metros de valla.
