Área y Perímetro de una Circunferencia (Aproximado)

Explicaciones

Una circunferencia es una figura geométrica plana y cerrada que se caracteriza porque todos los puntos que la conforman se encuentran a la misma distancia del centro. Esta distancia se denomina radio.

El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es igual a dos veces el radio.

El número π (Pi) y sus aproximaciones

El número \( \pi \) (pi) es una constante matemática que representa la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es un número irracional, lo que significa que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten en un patrón. Por lo tanto, cualquier valor que usemos para \( \pi \) en cálculos prácticos será una aproximación.

Algunas aproximaciones comunes de \( \pi \) son:

• 3: Es una aproximación muy general, útil para cálculos mentales rápidos o estimaciones.
• 3.1: Una aproximación con un decimal, adecuada para algunos cálculos sencillos.
• 3.14: La aproximación más frecuente, con dos decimales, que ofrece un buen equilibrio entre precisión y facilidad de uso.
• 3.1416: Una aproximación con 4 decimales, adecuada para calculos de mayor precision.
• 22/7: Una aproximación racional usada frecuentemente, con un error del 0.04%

En esta página, usaremos estas aproximaciones para calcular el área y el perímetro de circunferencias. Recuerda que los resultados serán valores aproximados.

Reglas de Aproximación

Cuando se nos pide dar una respuesta con un número determinado de decimales, debemos seguir estas reglas de aproximación por redondeo:

1. Identificar el dígito a aproximar:
   • Si se pide a 0 decimales es el dígito de las unidades
   • Si se pide a 1 decimal es el dígito de las décimas
   • Si se pide a 2 decimales es el dígito de las centésimas
   • y así sucesivamente
2. Mirar el dígito a la derecha del dígito a aproximar:
   • Si es 0, 1, 2, 3 o 4, el dígito a aproximar se mantiene igual.
   • Si es 5, 6, 7, 8 o 9, el dígito a aproximar aumenta en 1.
3. Eliminar los dígitos a la derecha del dígito aproximado

Ejemplos:

• Aproximar 4.536 a 2 decimales: El dígito a aproximar es 3 (centésimas). El dígito a la derecha es 6 (mayor que 5), entonces 3 aumenta a 4. Resultado: 4.54
• Aproximar 12.814 a 1 decimal: El dígito a aproximar es 8 (décimas). El dígito a la derecha es 1 (menor que 5), entonces 8 se mantiene. Resultado: 12.8
• Aproximar 25.6 a 0 decimales: El dígito a aproximar es 5 (unidades). El dígito a la derecha es 6 (mayor que 5), entonces 5 aumenta a 6. Resultado: 26

Fórmulas

Para calcular el área y el perímetro de una circunferencia, utilizamos las siguientes fórmulas:

Perímetro (P) (Valor aproximado):
\[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \]
\[ P = \pi \bullet d \]
Donde:

• \( P \) es el perímetro.
• \( \pi \) es una constante matemática que aproximaremos a 3, 3.1, o 3.14.
• \( r \) es el radio de la circunferencia.
• \( d \) es el diámetro de la circunferencia.

Área (A) (Valor aproximado):
\[ A = \pi \bullet r^2 \]
\[ A = \frac{\pi \bullet d^2}{4} \]
Donde:

• \( A \) es el área.
• \( \pi \) es una constante matemática que aproximaremos a 3, 3.1, o 3.14.
• \( r \) es el radio de la circunferencia.
• \( d \) es el diámetro de la circunferencia.

Ejercicios

Nivel 1: Cálculos directos

1. Calcula el perímetro aproximado de una circunferencia con radio OA = 6, usando \( \pi \approx 3 \). Redondea a 0 decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet 3 \bullet (6) = 36 \]
   Respuesta: 36
2. Calcula el área aproximada de una circunferencia con radio OA = 4, usando \( \pi \approx 3.1 \). Redondea a 1 decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A = \pi \bullet r^2 = 3.1 \bullet (4)^2 = 3.1 \bullet 16 = 49.6 \]
   Respuesta: 49.6
3. Calcula el perímetro aproximado de una circunferencia con diámetro AB = 10, usando \( \pi \approx 3.14 \). Redondea a 2 decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Si el diámetro es 10, el radio es \[ r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]. \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet 3.14 \bullet (5) = 31.4 \]
   Respuesta: 31.40
4. Calcula el área aproximada de una circunferencia con diámetro AB = 7.2, usando \( \pi \approx 3.14 \). Redondea a 2 decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Si el diámetro es 7.2, el radio es \[ r = \frac{d}{2} = \frac{7.2}{2} = 3.6 \]. \[ A = \pi \bullet r^2 = 3.14 \bullet (3.6)^2 = 3.14 \bullet 12.96 = 40.6944 \]
   Respuesta: 40.69
5. Calcula el perímetro aproximado de una circunferencia con radio OA = 2/3, usando \( \pi \approx 3.14 \). Redondea a 2 decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet 3.14 \bullet (\frac{2}{3}) = 4.18666... \]
   Respuesta: 4.19
6. Calcula el área aproximada de una circunferencia con radio OA = 2y, usando \( \pi \approx 3 \). Redondea a 0 decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   \[ A = \pi \bullet r^2 = 3 \bullet (2y)^2 = 3 \bullet 4y^2 = 12y^2 \]
   Respuesta: \(12y^2\)

Nivel 2: Problemas Inversos

1. El perímetro aproximado de una circunferencia es \( 18.6 \) (usando \( \pi \approx 3.1 \)). Determina el radio OA redondeado a 1 decimal. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ 18.6 = 2 \bullet 3.1 \bullet r \] \[ r = \frac{18.6}{2 \bullet 3.1} = \frac{18.6}{6.2} = 3 \]
   Respuesta: 3.0
2. El área aproximada de una circunferencia es \( 78.5 \) (usando \( \pi \approx 3.14 \)). Determina el diámetro AB redondeado a 2 decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Usamos la fórmula del área: \[ A = \pi \bullet r^2 \] \[ 78.5 = 3.14 \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{78.5}{3.14} = 25 \] \[ r = \sqrt{25} = 5 \] \[ d = 2 \bullet r = 2 \bullet 5 = 10 \]
   Respuesta: 10.00
3. El perímetro aproximado de una circunferencia es \( 15.7 \) (usando \( \pi \approx 3.14 \)). Determina el área aproximada redondeada a 2 decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, encontramos el radio a partir del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r \] \[ 15.7 = 2 \bullet 3.14 \bullet r \] \[ r = \frac{15.7}{2 \bullet 3.14} = 2.5 \]
   Luego, calculamos el área: \[ A = \pi \bullet r^2 = 3.14 \bullet (2.5)^2 = 19.625 \]
   Respuesta: 19.63
4. El área aproximada de una circunferencia es \( 12y^2 \) (usando \( \pi \approx 3 \)). Determina el perímetro aproximado redondeado a 0 decimales. Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   Primero, encontramos el radio a partir del área: \[ A = \pi \bullet r^2 \] \[ 12y^2 = 3 \bullet r^2 \] \[ r^2 = \frac{12y^2}{3} = 4y^2 \] \[ r = \sqrt{4y^2} = 2y \]
   Luego, calculamos el perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet 3 \bullet (2y) = 12y \]
   Respuesta: \(12y\)

Nivel 3: Problemas

1. Un jardinero quiere bordear una fuente circular con una valla. Si la fuente tiene un diámetro de 5 metros, ¿cuántos metros de valla necesitará aproximadamente? (Usa \( \pi \approx 3.14 \) y redondea a 2 decimales) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   El problema nos pide calcular el perímetro de la fuente circular.
   Si el diámetro es 5 metros, el radio es: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \]
   Dado que el radio es 2.5 metros, usamos la fórmula del perímetro: \[ P = 2 \bullet \pi \bullet r = 2 \bullet 3.14 \bullet (2.5) = 15.7 \]
   Respuesta: 15.70 metros
2. Se desea pintar la tapa de un tambor que tiene forma circular. Si el radio de la tapa es de 0.8 metros, ¿cuánta área se deberá pintar aproximadamente? (Usa \( \pi \approx 3.1 \) y redondea a 1 decimal) Mostrar/Ocultar Respuesta
   Solución:
   El problema nos pide calcular el área de la tapa circular del tambor.
   Dado que el radio es 0.8 metros, usamos la fórmula del área: \[ A = \pi \bullet r^2 = 3.1 \bullet (0.8)^2 = 3.1 \bullet 0.64 = 1.984 \]
   Respuesta: 2.0 metros cuadrados