5. Proporciones entre Ángulo Central, Área y Longitud de Arco en Sectores Circulares

Proporciones entre Ángulo Central, Área y Longitud de Arco en Sectores Circulares

En un sector circular, existe una relación muy importante entre el ángulo central, el área del sector y la longitud del arco que lo delimita. Esta relación se basa en la proporcionalidad directa.

Proporcionalidad entre Área del Sector y Ángulo Central

El área de un sector circular es directamente proporcional a su ángulo central (\( \alpha \)). Esto significa que si aumentamos el ángulo central, el área del sector aumenta en la misma proporción. De manera similar, si disminuimos el ángulo central, el área del sector disminuye proporcionalmente.

Esta proporcionalidad se puede expresar de la siguiente manera:

\[ \frac{\text{Área del sector}}{\text{Área del círculo}} = \frac{\text{Ángulo central}}{360°} \]

Explicación: Un círculo completo tiene un ángulo central de 360°. Un sector circular con un ángulo central de \( \alpha \) grados representa una fracción (\( \frac{\alpha}{360°} \)) del círculo completo. Por lo tanto, el área del sector será esa misma fracción del área total del círculo (\( \pi r^2 \)).

Tabla de Ejemplo (Área del Sector)

Consideremos un círculo de radio \( r \). Veamos cómo cambia el área del sector en función de su ángulo central:

Ángulo Central (°)	Porción del Círculo	Área del Sector
360	1	\( \pi r^2 \)
180	1/2	\( \frac{1}{2} \pi r^2 \)
90	1/4	\( \frac{1}{4} \pi r^2 \)
60	1/6	\( \frac{1}{6} \pi r^2 \)
30	1/12	\( \frac{1}{12} \pi r^2 \)

Observación: Puedes notar que a medida que el ángulo central se reduce a la mitad, el área del sector también se reduce a la mitad.

Proporcionalidad entre Longitud del Arco y Ángulo Central

De manera similar, la longitud del arco de un sector circular es directamente proporcional a su ángulo central.

Esta proporcionalidad se expresa como:

\[ \frac{\text{Longitud del arco}}{\text{Perímetro del círculo}} = \frac{\text{Ángulo central}}{360°} \]

Explicación: La longitud del arco es una porción de la circunferencia total del círculo (perímetro = \( 2 \pi r \)). La fracción de la circunferencia que representa el arco es la misma que la fracción que representa el ángulo central con respecto a 360°.

Tabla de Ejemplo (Longitud del Arco)

Veamos cómo cambia la longitud del arco en función del ángulo central, manteniendo un radio \( r \):

Ángulo Central (°)	Porción del Círculo	Longitud del Arco
360	1	\( 2 \pi r \)
180	1/2	\( \pi r \)
90	1/4	\( \frac{1}{2} \pi r \)
60	1/6	\( \frac{1}{3} \pi r \)
45	1/8	\( \frac{1}{4} \pi r \)

Observación: Al igual que con el área, la longitud del arco disminuye proporcionalmente al ángulo central.

Fórmulas

A partir de estas proporciones, podemos escribir las fórmulas para calcular el área del sector y la longitud del arco:

Área del sector: \[ A_\text{sector} = \frac{\alpha}{360°} \bullet \pi r^2 \]

Longitud del arco: \[ L_\text{arco} = \frac{\alpha}{360°} \bullet 2 \pi r \]

Donde:

\(A_\text{sector}\) es el área del sector.
\(L_\text{arco}\) es la longitud del arco.
\(\alpha\) es el ángulo central en grados.
\(r\) es el radio del círculo.

Ejercicios para Practicar

Intenta completar las siguientes tablas para diferentes valores de radio y ángulo central, aplicando las proporciones y fórmulas que hemos aprendido.

Tabla 1: Radio = 5 cm

Ángulo Central (°)	Porción del Círculo	Área del Sector (cm²)	Longitud del Arco (cm)
30
45
120
150
210

Ángulo Central (°)	Porción del Círculo	Área del Sector (cm²)	Longitud del Arco (cm)
30	\( \frac{30}{360} = \frac{1}{12} \)	\( \frac{1}{12} \bullet 25\pi = \frac{25}{12}\pi \) ≈ 6.54	\( \frac{1}{12} \bullet 10\pi = \frac{5}{6}\pi \) ≈ 2.62
45	\( \frac{45}{360} = \frac{1}{8} \)	\( \frac{1}{8} \bullet 25\pi = \frac{25}{8}\pi \) ≈ 9.82	\( \frac{1}{8} \bullet 10\pi = \frac{5}{4}\pi \) ≈ 3.93
120	\( \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \)	\( \frac{1}{3} \bullet 25\pi = \frac{25}{3}\pi \) ≈ 26.18	\( \frac{1}{3} \bullet 10\pi = \frac{10}{3}\pi \) ≈ 10.47
150	\( \frac{150}{360} = \frac{5}{12} \)	\( \frac{5}{12} \bullet 25\pi = \frac{125}{12}\pi \) ≈ 32.72	\( \frac{5}{12} \bullet 10\pi = \frac{25}{6}\pi \) ≈ 13.09
210	\( \frac{210}{360} = \frac{7}{12} \)	\( \frac{7}{12} \bullet 25\pi = \frac{175}{12}\pi \) ≈ 45.81	\( \frac{7}{12} \bullet 10\pi = \frac{35}{6}\pi \) ≈ 18.33

Tabla 2: Radio = 8 cm

Ángulo Central (°)	Porción del Círculo	Área del Sector (cm²)	Longitud del Arco (cm)
40
72
90
135
240

Ángulo Central (°)	Porción del Círculo	Área del Sector (cm²)	Longitud del Arco (cm)
40	\( \frac{40}{360} = \frac{1}{9} \)	\( \frac{1}{9} \bullet 64\pi = \frac{64}{9}\pi \) ≈ 22.34	\( \frac{1}{9} \bullet 16\pi = \frac{16}{9}\pi \) ≈ 5.59
72	\( \frac{72}{360} = \frac{1}{5} \)	\( \frac{1}{5} \bullet 64\pi = \frac{64}{5}\pi \) ≈ 40.21	\( \frac{1}{5} \bullet 16\pi = \frac{16}{5}\pi \) ≈ 10.05
90	\( \frac{90}{360} = \frac{1}{4} \)	\( \frac{1}{4} \bullet 64\pi = 16\pi \) ≈ 50.27	\( \frac{1}{4} \bullet 16\pi = 4\pi \) ≈ 12.57
135	\( \frac{135}{360} = \frac{3}{8} \)	\( \frac{3}{8} \bullet 64\pi = 24\pi \) ≈ 75.40	\( \frac{3}{8} \bullet 16\pi = 6\pi \) ≈ 18.85
240	\( \frac{240}{360} = \frac{2}{3} \)	\( \frac{2}{3} \bullet 64\pi = \frac{128}{3}\pi \) ≈ 134.04	\( \frac{2}{3} \bullet 16\pi = \frac{32}{3}\pi \) ≈ 33.51

Tabla 3: Ángulo Central = 60°

Radio (cm)	Porción del Círculo	Área del Sector (cm²)	Longitud del Arco (cm)
3
6
9
12
15

Radio (cm)	Porción del Círculo	Área del Sector (cm²)	Longitud del Arco (cm)
3	\( \frac{1}{6} \)	\( \frac{1}{6} \bullet \pi (3)^2 = \frac{3}{2} \pi \) ≈ 4.71	\( \frac{1}{6} \bullet 2 \pi (3) = \pi \) ≈ 3.14
6	\( \frac{1}{6} \)	\( \frac{1}{6} \bullet \pi (6)^2 = 6\pi \) ≈ 18.85	\( \frac{1}{6} \bullet 2 \pi (6) = 2\pi \) ≈ 6.28
9	\( \frac{1}{6} \)	\( \frac{1}{6} \bullet \pi (9)^2 = \frac{27}{2} \pi \) ≈ 42.41	\( \frac{1}{6} \bullet 2 \pi (9) = 3\pi \) ≈ 9.42
12	\( \frac{1}{6} \)	\( \frac{1}{6} \bullet \pi (12)^2 = 24\pi \) ≈ 75.40	\( \frac{1}{6} \bullet 2 \pi (12) = 4\pi \) ≈ 12.57
15	\( \frac{1}{6} \)	\( \frac{1}{6} \bullet \pi (15)^2 = \frac{75}{2} \pi \) ≈ 117.81	\( \frac{1}{6} \bullet 2 \pi (15) = 5\pi \) ≈ 15.7

Tabla 4: Ángulo Central = 225°

Radio (cm)	Porción del Círculo	Área del Sector (cm²)	Longitud del Arco (cm)
2
4
6
8
10

Radio (cm)	Porción del Círculo	Área del Sector (cm²)	Longitud del Arco (cm)
2	\( \frac{5}{8} \)	\( \frac{5}{8} \bullet \pi (2)^2 = \frac{5}{2} \pi \) ≈ 7.85	\( \frac{5}{8} \bullet 2 \pi (2) = \frac{5}{2} \pi \) ≈ 7.85
4	\( \frac{5}{8} \)	\( \frac{5}{8} \bullet \pi (4)^2 = 10\pi \) ≈ 31.42	\( \frac{5}{8} \bullet 2 \pi (4) = 5\pi \) ≈ 15.71
6	\( \frac{5}{8} \)	\( \frac{5}{8} \bullet \pi (6)^2 = \frac{45}{2} \pi \) ≈ 70.69	\( \frac{5}{8} \bullet 2 \pi (6) = \frac{15}{2} \pi \) ≈ 23.56
8	\( \frac{5}{8} \)	\( \frac{5}{8} \bullet \pi (8)^2 = 40\pi \) ≈ 125.66	\( \frac{5}{8} \bullet 2 \pi (8) = 10\pi \) ≈ 31.42
10	\( \frac{5}{8} \)	\( \frac{5}{8} \bullet \pi (10)^2 = \frac{125}{2} \pi \) ≈ 196.35	\( \frac{5}{8} \bullet 2 \pi (10) = \frac{25}{2} \pi \) ≈ 39.27

(Puedes usar la aproximación \( \pi \approx 3.14 \) para tus cálculos o expresar los resultados en términos de \( \pi \))

Media 1

CAPITULO 8 SECTORES DE CÍRCULO